2017-2018学年吉林省辽源五中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版） 22页

‎2017-2018学年吉林省辽源五中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.‎ ‎1．（5分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．a2＞b2‎ C．a|c|＞b|c| D．‎ ‎2．（5分）为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为300的样本，已知每个学生被抽取的概率为0.25，且男女生的比例是3：2，则该校高一年级男生的人数是（　　）‎ A．600 B．1200 C．720 D．900‎ ‎3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（　　）‎ A．30° B．45° C．150° D．135°‎ ‎4．（5分）已知f（x）=，则不等式x+2xf（x+1）＞5的解集为（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞） D．（﹣5，1）‎ ‎5．（5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（　　）‎ A．33 B．72 C．84 D．189‎ ‎6．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最小值等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2‎ ‎7．（5分）等差数列x1，x2，x3…x9的公差为1，若以上述数据x1，x2，x3…x9为样本，则此样本的方差为（　　）‎ A． B． C．60 D．30‎ ‎8．（5分）已知正数组成的等比数列{an}，若a1•a20=100，那么a7+a14‎ 的最小值为（　　）‎ A．20 B．25 C．50 D．不存在 ‎9．（5分）执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣3‎ ‎10．（5分）在△ABC中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c．已知a2﹣c2=2b，且sinB=4cosAsinC，则b=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．（5分）要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（　　）‎ A．10m B．20m C．20m D．40m ‎12．（5分）已知在（﹣∞，1]上递减的函数f（x）=x2﹣2tx+1，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，则实数t的取值范围为（　　）‎ A． B． C．[2，3] D．[1，2]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为　 　．‎ ‎14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣3，，Sk=﹣15，则正整数k=　 　．‎ ‎15．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.5]=﹣2，[1.5]=1，则方程[x]2﹣[x]﹣2=0的解集为　 　．‎ ‎16．（5分）设a，b，c是正实数，满足b+c≤a，则的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）‎ ‎（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；‎ ‎（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；‎ ‎（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？‎ ‎18．（12分）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（n≠0）‎ ‎（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3），求a，b的值；‎ ‎（2）若f（1）=3，a＞0，b＞0，求的最小值．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足 ‎．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若，求△ABC面积的最大值．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，观察程序框图，若a1=3，k=3时，有S=‎ ‎（1）求数列{an}的通项；‎ ‎（2）令bn=2，求b1+b2+…+bn的值．‎ ‎21．（12分）已知x，‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC的内角A满足f（A）=2，而=，求证：BC≥﹣1．‎ ‎22．（12分）已知数列{an}，{bn}，其中，数列{an}的前n项和Sn=n2an（n≥1），数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立？若存在，求出m的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若数列{cn}满足当n是偶数时，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年吉林省辽源五中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.‎ ‎1．（5分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．a2＞b2‎ C．a|c|＞b|c| D．‎ ‎【分析】本题中a，b，c∈R，a＞b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．‎ ‎【解答】解：A选项不对，当a＞0＞b时不等式不成立，故排除；‎ B选项不对，当a=0，b=﹣1时不等式不成立，故排除；‎ C选项不对，当c=0时，不等式不成立，故排除；‎ D选项正确，由于，又a＞b故 故选D ‎【点评】本题考查不等式与不等式关系，考查不等式的性质，根据不等式的性质作出正确判断得出正确选项，本题易因考虑不全面选错答案，如武断认为a＞b得出致使出错．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为300的样本，已知每个学生被抽取的概率为0.25，且男女生的比例是3：2，则该校高一年级男生的人数是（　　）‎ A．600 B．1200 C．720 D．900‎ ‎【分析】先求出抽取男生的人数，再计算从高一学生中男生的人数．‎ ‎【解答】解：抽取的男生的人数位300×=180，‎ 则高一的男生人数为180÷0.25=720，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是容易题目．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（　　）‎ A．30° B．45° C．150° D．135°‎ ‎【分析】直接利用正弦定理求出结果．‎ ‎【解答】解：由于，‎ 则：‎ 即：，‎ 由于：0＜B＜π，‎ 则：B=，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知f（x）=，则不等式x+2xf（x+1）＞5的解集为（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞） D．（﹣5，1）‎ ‎【分析】根据分段函数f（x）的解析式，讨论x的取值，解对应的不等式即可．‎ ‎【解答】解：由f（x）=知，‎ 当x+1＞1，即x＞0时，不等式x+2xf（x+1）＞5可化为x+2•2x＞5，‎ 解得x＞1；‎ 当x+1≤1，即x≤0时，不等式x+2xf（x+1）＞5可化为x﹣2x＞5，‎ 解得x＜﹣5；‎ 综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数与不等式的解法和应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（　　）‎ A．33 B．72 C．84 D．189‎ ‎【分析】根据等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21‎ 故3+3q+3q2=21，‎ ‎∴q=2，‎ ‎∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能熟练灵活的应用．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最小值等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图：‎ 化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）等差数列x1，x2，x3…x9的公差为1，若以上述数据x1，x2，x3…x9为样本，则此样本的方差为（　　）‎ A． B． C．60 D．30‎ ‎【分析】等差数列x1，x2，x3…x9的公差为1，求出=x1+4，由此利用方差公式能求出结果．‎ ‎【解答】解：等差数列x1，x2，x3…x9的公差为1，‎ ‎∴=（9x1+）=x1+4，‎ ‎∴数据x1，x2，x3…x9为样本，‎ 此样本的方差：‎ S2=[（﹣4）2+（﹣3）2+（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22+32+42]=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查样本数据方差的计算，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知正数组成的等比数列{an}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（　　）‎ A．20 B．25 C．50 D．不存在 ‎【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a7+a14≥2=2=2=20．‎ ‎【解答】解：∵正数组成的等比数列{an}，a1•a20=100，‎ ‎∴a1•a20=a7•a14=100，‎ ‎∴a7+a14≥2=2=2=20．‎ 当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决本题的关键．注意均值定理的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣3‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 k=1，S=2‎ S=﹣3‎ 不满足条件k≥2019，执行循环体，k=2，S=﹣‎ 不满足条件k≥2019，执行循环体，k=3，S=‎ 不满足条件k≥2019，执行循环体，k=4，S=2‎ 不满足条件k≥2019，执行循环体，k=5，S=﹣3‎ 不满足条件k≥2019，执行循环体，k=6，S=﹣‎ ‎…‎ 观察规律可知S的取值周期为4，且2019=4×504+3，可得：‎ 不满足条件k≥2019，执行循环体，k=2019，S=，‎ 此时，满足条件k≥2019，退出循环，输出S的值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）在△ABC中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c．已知a2﹣c2=2b，且sinB=4cosAsinC，则b=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可化为b2=2（b2+c2﹣a2），把a2﹣c2=2b代入即可得出．‎ ‎【解答】解：由sinB=4cosAsinC，‎ 利用正弦定理和余弦定理可得：b=×c，‎ 化为b2=2（b2+c2﹣a2），‎ ‎∵a2﹣c2=2b，‎ ‎∴b2=2（b2﹣2b），化为b2﹣4b=0，‎ ‎∵b＞0，解得b=4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠‎ BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（　　）‎ A．10m B．20m C．20m D．40m ‎【分析】设出AB=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．‎ ‎【解答】解：由题可设AB=x，则 ，‎ 在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB 即：（）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°‎ 整理得：x2﹣20x﹣800=0‎ 解得x=40或x=﹣20（舍）‎ 所以，所求塔高为40米．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知在（﹣∞，1]上递减的函数f（x）=x2﹣2tx+1，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，则实数t的取值范围为（　　）‎ A． B． C．[2，3] D．[1，2]‎ ‎【分析】由条件利用二次函数的性质可得t≥1．故只要f（0）﹣f（t）≤‎ ‎2 即可，解不等式可求得t的范围．‎ ‎【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣2tx+1的图象的对称轴为x=t，‎ 函数f（x）=x2﹣2tx+1在区间（﹣∞，1]上单调递减，∴t≥1．‎ 则在区间∈[0，t+1]上，0离对称轴x=t最远，‎ 故要使对任意的x1，x2∈[0，t+1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，‎ 只要f（0）﹣f（t）≤2即可，即1﹣（t2﹣2t2+1）≤2，求得﹣≤t≤．‎ 再结合t≥1，可得1≤t≤．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要二次函数的性质，注意讨论对称轴和区间的关系，不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为　45　．‎ ‎【分析】先求出分组间隔为，再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码．‎ ‎【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，‎ 依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．‎ 分组间隔为，‎ ‎∵在第一组中随机抽取的号码为5，‎ ‎∴在第6组中抽取的号码为：5+5×8=45．‎ 故答案为：45．‎ ‎【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣3，，Sk=﹣15，则正整数k=　17　．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，a1=﹣3，，Sk=﹣15，可得﹣3+kd=，﹣3k+d=﹣15，联立解出即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=﹣3，，Sk=﹣15，‎ ‎∴﹣3+kd=，﹣3k+d=﹣15，‎ 解得k=17，d=．‎ 故答案为：17．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.5]=﹣2，[1.5]=1，则方程[x]2﹣[x]﹣2=0的解集为　[﹣1，0）∪[2，3）　．‎ ‎【分析】因式分解求解[x]的范围，根据[x]表示不超过x的最大整数，可得x的范围．‎ ‎【解答】解：方程[x]2﹣[x]﹣2=0，即（[x]﹣2）（[x]+1）=0，‎ 解得：[x]=﹣1，和[x]=2．‎ ‎∵[x]表示不超过x的最大整数，‎ ‎∴当[x]=﹣1，可是x∈[﹣1，0）‎ 当[x]=2．可是x∈[2，3）‎ ‎∴解集为[﹣1，0）∪[2，3）．‎ 故答案为：[﹣1，0）∪[2，3）．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解法和新定义的和应用．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设a，b，c是正实数，满足b+c≤a，则的最大值为　　．‎ ‎【分析】利用放缩法和基本不等式的性质进行求解．‎ ‎【解答】解：∵a，b，c是正实数，满足b+c≤a，‎ ‎∴≥==，‎ ‎∵+≥2=4当且仅当b+c=a且2b=c时取等号）‎ 那么≤=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式的应用和放缩法，属于中等题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）‎ ‎（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；‎ ‎（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；‎ ‎（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？‎ ‎【分析】（1）根据频率=小矩形的高×组距来求；‎ ‎（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数；‎ ‎（3）求出月收入在[2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；‎ ‎（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；‎ 第二组的频率为0.0004×500=0.2；‎ 第三组的频率为0.0005×500=0.25；‎ ‎∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．‎ ‎∴中位数为2400（元）‎ 由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，‎ 样本数据的平均数为2400（元）；‎ ‎（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），‎ ‎∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，‎ ‎∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法，是统计常规题型，解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（n≠0）‎ ‎（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3），求a，b的值；‎ ‎（2）若f（1）=3，a＞0，b＞0，求的最小值．‎ ‎【分析】（1）由不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；‎ ‎（2）由f（1）=3，得到a+b=2，将所求变形为 （a+b）（+）展开，整理为基本不等式的形式求最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）＞0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的两根，‎ 由根与系数的关系可得﹣1×3=，﹣1+3=﹣，‎ 解得 a=﹣1，b=4；‎ ‎（2）f（1）=3得a+b=2，‎ ‎∵a＞0，b＞0‎ ‎∴=（a+b）（）=（5++≥（5+2 ）=‎ 当且仅当b=2a=时取得等号．‎ ‎∴的最小值是．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）△ABC中，化简 求得cosC的值，从而求得C的值；‎ ‎（2）取BC的中点D，得|﹣|=||；‎ 利用余弦定理和基本不等式求得△ABC面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，，‎ ‎∴4cosC+2cos2C﹣1=2cosC（1+cosC），‎ 解得；‎ 由0＜C＜π，‎ 得；‎ ‎（2）取BC的中点D，则|﹣|=||=2；‎ 在△ADC中，AD2=AC2+CD2﹣2 AC•CDcosC ‎（注：也可将|﹣|=||=2两边平方），‎ 即，‎ ‎∴ab≤8，当且仅当a=4，b=2时取等号，‎ 此时，其最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，观察程序框图，若a1=3，k=3时，有S=‎ ‎（1）求数列{an}的通项；‎ ‎（2）令bn=2，求b1+b2+…+bn的值．‎ ‎【分析】（1）经过分析程序框图为当型循环结构，按照框图题意分析求出S，由已知利用裂项法可求d，进而可求{an}的通项．‎ ‎（2）根据（1）的结论，得到bn=2an=22n+1，然后代入求b1+b2+…+bm的值即可 ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）由程序框图可知：S=++…+ 且{an}是等差数列，公差为d，‎ 则有=（﹣），‎ ‎∴=‎ ‎∵若a1=3，k=3时，有S=，‎ ‎∴（﹣）=，得d=2，‎ 故an=3+（n﹣1）×2=2n+1，‎ ‎（2）∵bn=2，an=2n+1，‎ ‎∴bn=22n+1，‎ ‎∴b1+b2+…+bm=23+25+…+22m+1==‎ ‎【点评】本题考查程序框图，数列的概念及简单表示方法，数列的求和，通过对知识的熟练把握，分别进行求值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知x，‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC的内角A满足f（A）=2，而=，求证：BC≥﹣1．‎ ‎【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，再求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）由f（A）=2求得A的值，再由•=求得bc的值，‎ 再利用余弦定理和基本不等式求证a=BC≥﹣1．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎=2sinx•cosx+cos2x﹣sin2x ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin（2x+），‎ 由，‎ 得，‎ 故所求f（x）的单调递增区间为；‎ ‎（2）证明：由，‎ 得2A+=，‎ ‎∴；‎ 又•=，‎ 即bccosA=bc×=，‎ ‎∴bc=2，‎ 又△ABC中，a2=b2+c2﹣2bccosA ‎=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc ‎=（2﹣）bc ‎=（2﹣）×2‎ ‎=4﹣2，‎ ‎∴a=．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数化简与解三角形的应用问题，也考查了平面向量数量积应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知数列{an}，{bn}，其中，数列{an}的前n项和Sn=n2an（n≥1），数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立？若存在，求出m的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若数列{cn}满足当n是偶数时，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}‎ 的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）bn=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，由此能导出m的最小值．‎ ‎（Ⅲ）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为Sn=n2an（n≥1），‎ 当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2an﹣1．‎ 所以an=Sn﹣Sn﹣1=n2an﹣（n﹣1）2an﹣1．‎ 所以（n+1）an=（n﹣1）an﹣1．‎ 即．‎ 又，‎ 所以==．‎ 当n=1时，上式成立 因为b1=2，bn+1=2bn，‎ 所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn=2n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n．‎ 则．‎ 假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，‎ 即恒成立．‎ 由，解得m≥16．‎ 所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有 恒成立．此时m的最小值为16．‎ ‎（Ⅲ）当n是奇数时，‎ ‎=（2+4++n+1）+（22+24++2n﹣1）=‎ ‎=．‎ 当n是偶数时，‎ ‎=（2+4++n）+（22+24++2n）==．‎ 因此 ‎【点评】本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．‎ ‎　‎