专题09 直线和圆的方程（捷进提升篇）-2017年高考数学备考中等生百日捷进提升系列 12页

‎【背一背重点知识】‎ ‎1．两直线平行与垂直 ‎（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有，特别地，当直线的斜率都不存在时，与的关系为平行．‎ ‎（2）两条直线垂直 ‎①如果两条直线的斜率存在，设为，则．‎ ‎②如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，与的关系为垂直．‎ ‎2．两直线的交点 直线和的公共点的坐标与方程组的解一一对应．‎ 相交方程组有一个解，交点坐标就是方程组的解；‎ 平行方程组无解；‎ 重合方程组有无数解．‎ ‎3．距离公式 ‎（1）两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为．‎ 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．‎ ‎（2）点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线（A，B不同时为0）的距离为．‎ ‎（3）两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线，（其中A，B不同时为0，且）间的距离．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ 1. 必备技能：‎ ‎1．解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．‎ ‎2．可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）．‎ ‎3．求两条平行线间的距离有两种思路：‎ ‎（1）利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ‎ ‎（2）直接应用两平行直线之间的距离公式．‎ ‎4．涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征．‎ 例1．【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】若直线与平行，则的值为（ ）‎ A．1 B．-3 C．0或 D．1或-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 例2．【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】设直线，直线，若//，则 ，若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因//，故，即；若，则，故．故应填答案．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】（文科）与直线垂直的直线的倾斜角为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可知所求直线的斜率为，故倾斜角为．‎ ‎2．【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，15】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 直线与圆的位置关系 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．直线与圆的位置关系 位置关系有三种：相离、相切、相交．‎ 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：‎ ‎（1）代数法：‎ 判别式．‎ ‎（2）几何法：利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系：相交弦长=，相切，相离．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ 必备技能：‎ ‎1．如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式．‎ ‎2．弦长的计算：方法一、设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长．‎ 方法二、设直线的斜率为，直线与圆的交点坐标为，则弦长．‎ 例1．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆和圆恰有三条公切线，若，且，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．3 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得两圆与相外切，即，所以，当且仅当 时取等号，所以选A．‎ ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．‎ 例2．【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】（本小题满分10分）已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) ；(2)，．‎ ‎【解析】‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）数学（理）试题】过点作圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：以为直径的圆方程为为圆与圆的公共弦， 所以方程为，化为，到的距离为，故答案为．‎ ‎2．【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试数学试题】已知圆：（）及圆上的点，过点的直线交圆于另一点，交轴于点，若，则直线的斜率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【2017届海南中学高三模拟十一】若直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A． -2 B． -1 C． D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为直线与直线平行，所以，解得，故选A．‎ ‎2．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】∵直线与垂直，∴，∴，故选C．‎ ‎3．已知直线，则“”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 ‎ ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎4．如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．2 B．6 C．3 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2．故选A．‎ ‎5．【河北邯郸2017届9月联考】以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎ 6．【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试数学（理）试题】已知圆截直线所得弦长为6，则实数的值为（ ）‎ A．8 B．11 C．14 D．17‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆，圆心，半径．故弦心距．再由弦长公式可得；故选B．‎ ‎7．过圆的圆心，作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形的面积满足，则直线有（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由于第二与第四部分面积确定，因此第三部分与第一部分的差也唯一确定，因此满足条件的直线有且仅有一条，选A．‎ ‎8．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 9．直线与圆（）交于两点，且弦的中点为，则直线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：圆化为标准方程为，圆心坐标为，因为弦的中点，所以，直线的斜率为，直线的方程为，故选B．‎ ‎10．【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，8】抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）‎ A ． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线与坐标轴的交点为，由圆一般方程，得 选D．‎ ‎11．【河北沧州一中校2017届高三11月月考】已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则=（ ）‎ A．2 B． C．6 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 12．【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，9】若是正数，直线被圆截得的弦长为，则取得最大值时的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为圆心到直线的距离，则直线被圆截得的弦长＝，所以．因为，当且仅当，解得，故选D．‎ ‎（二）选择题（4*5=20分）‎ ‎13．【四川省成都市2017届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎14．在平面直角坐标系中，点若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，∵，∴，∴，，化简可得，故，∴，解得，令，则，其中，故实数的取值范围是．‎ ‎15．已知，为实数，代数式的最小值是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】如下图所示，构造点，，，，‎ ‎∴，分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，∴，当且仅当，为连线与坐标轴的交点时，等号成立，故填：．‎ ‎16．若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎ ‎