2017-2018学年四川省成都石室中学高二4月月考数学（文）试题（Word版） 13页

‎2017-2018学年四川省成都石室中学高二4月月考 数学试卷（文科）‎ ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．‎ ‎1.若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)‎ A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i ‎2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是(　　)‎ ‎ ‎ ‎3．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(　　)‎ A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大 ‎4．如右图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是(　　)‎ A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．相关指数R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 ‎5．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是(　　)‎ A．实数分为有理数和无理数 B．π不是有理数 C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数 ‎6．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ）‎ ‎ A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人 ‎ C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人 ‎7．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；‎ ‎②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；‎ ‎③假设直线AC，BD是共面直线．‎ 则正确的序号顺序为(　　)‎ A．①②③　　　　B．③①② C．①③② D．②③①‎ ‎8．y＝cos x经过伸缩变换后，曲线方程变为(　　)‎ A．y′＝3cos 　　　B．y′＝3cos 2x′ C．y′＝cos D．y′＝cos 2x′‎ ‎9．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎10．若a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c ‎11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)‎ ‎ A.－＝1 B.－＝‎1 C.－＝1 D.－＝1‎ ‎12．设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为常数．若f(x)在(1，＋∞)上是减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，则a的取值范围是(　　)‎ ‎ A．(e，＋∞) B．[e，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)‎ 二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝ ‎ ‎14．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想第n(n≥2)个不等式 为 （用正整数n表示）‎ ‎15.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则椭圆C1的离心率为 .‎ ‎16．已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为_____.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0，0≤θ＜2π)．‎ ‎（Ⅰ）求圆C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当θ∈(0，π)时，求直线l与圆C的公共点的极坐标．‎ ‎18.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.‎ ‎ （Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎ （Ⅱ）若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．‎ ‎19.（本小题满分12分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：‎ ‎ （Ⅰ）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？‎ 不了解 了解 总计 女性 a b ‎50‎ 男性 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 总计 p q ‎100‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO浓度的数据，并制成如上图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO浓度y%与使用年限t线性相关，试确定y关于t的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的多少倍．‎ 附：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： ‎20．（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD中， AB＝3, BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎ （Ⅱ）求三棱锥A－BCD的体积．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的标准方程；[]‎ ‎ （Ⅱ）若上存在两个点，满足三点共线，椭圆上有两个点，满足三点共线，且，求四边形面积的最小值．‎ ‎22.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）若时，均有成立，求实数的所有取值组成的集合.‎ 成都石室中学2017—2018学年度下期高2019届4月月考 数学试卷（文科）‎ ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．‎ ‎1.若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)‎ A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i 解析：选A　∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.‎ ‎2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是(　　)‎ 解析：选D　在四幅图中，D图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D．‎ ‎3．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(　　)‎ A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大 解析：选B　K2的观测值k越大，“X与Y有关系”的可信程度越大．因此，A、C、D都不正确．‎ ‎4．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是(　　)‎ A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．相关指数R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 解析：选B　由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．‎ ‎5．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是(　　)‎ A．实数分为有理数和无理数 B．π不是有理数 C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数 解析：选C 演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C.‎ ‎6‎ ‎．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ）‎ ‎ A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人 ‎ C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人 解析：选C ‎ ‎7．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；‎ ‎②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；‎ ‎③假设直线AC，BD是共面直线．‎ 则正确的序号顺序为(　　)‎ A．①②③　　　　B．③①② C．①③② D．②③①‎ 解析：选B　根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.‎ ‎8．y＝cos x经过伸缩变换后，曲线方程变为(　　)‎ A．y′＝3cos 　　　B．y′＝3cos 2x′ C．y′＝cos D．y′＝cos 2x′‎ 解析：选A　由得又∵y＝cos x，∴y′＝cos ，即y′＝3cos .‎ ‎9．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D. 解析：选D　由可知，点(2，)的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cos θ的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心到点(1，)的距离为.‎ ‎10．若a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：选C　利用函数单调性．设f(x)＝，则f′(x)＝，∴0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝，∴b＞a＞c.‎ ‎11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C 的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)‎ ‎ A.－＝1 B.－＝‎1 C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选D　设A(x，y)，∵右焦点为F(c，0)，点B(0，b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且＝2，∴x＝，y＝，代入双曲线方程，得－＝1，且c2＝a2＋b2，∴b＝.‎ ‎∵||＝4，∴c2＋b2＝16，∴a＝2，b＝，∴双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎12．设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为常数．若f(x)在(1，＋∞)上是减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，则a的取值范围是(　　)‎ A．(e，＋∞) B．[e，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)‎ ‎ 解析　答案A f′(x)＝－a，g′(x)＝ex－a，由题意得，当x∈(1，＋∞)时f′(x)≤0恒成立，即x∈(1，＋∞)时a≥恒成立，则a≥1.因为g′(x)＝ex－a在(1，＋∞)上单调递增，所以g′(x)>g′(1)＝e－a.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，则必有e－a<0，即a>e.综上，a的取值范围是(e，＋∞)．‎ 二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝ ‎ 解析：∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍)．【答案】 ‎14．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想第n(n≥2)个不等式 为 （用正整数n表示）‎ 解析：观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋＜。‎ ‎15.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则椭圆C1的离心率为 .‎ ‎ 解析：设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，双曲线C2：－＝1，依题意c1＝c2＝c，且＝，‎ ‎∴＝，则a＝‎3m，①由圆锥曲线定义，得|PF1|＋|PF2|＝‎2a，且|PF1|－|PF2|＝‎2m，‎ ‎∴|PF1|＝‎4m，|PF2|＝‎2m.在△F1PF2中，由余弦定理，得：‎ ‎4c‎2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝‎12m2‎，∴c2＝‎3m2‎，则n2＝c2－m2＝‎2m2‎，‎ 因此双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0. 【答案】 ‎ ‎16．已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为_____.‎ ‎【答案】‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0，0≤θ＜2π)．‎ ‎（Ⅰ）求圆C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当θ∈(0，π)时，求直线l与圆C的公共点的极坐标．‎ ‎17．解（Ⅰ）圆C：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆C的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.……5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆C与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．.……10分 ‎18.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．‎ ‎18.解（Ⅰ）因为f(x)＝ax3＋bx＋c，所以f′(x)＝3ax2＋b.‎ 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，‎ 故有即解得.……6分 ‎（Ⅱ）由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(－∞，－2)上为增函数．当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2，2)上为减函数；‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．‎ 由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，‎ 在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，得c＝12，‎ 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，‎ 因此f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4. .……12分 ‎19.（本小题满分12分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：‎ ‎（Ⅰ）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？‎ 不了解 了解 总计 女性 a b ‎50‎ 男性 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 总计 p q ‎100‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO浓度的数据，并制成如上图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO浓度y%与使用年限t线性相关，试确定y关于t的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的多少倍．‎ 附：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： .‎ ‎19.解：（Ⅰ）设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A，‎ 由已知得P(A)＝＝，所以a＝25，b＝25，p＝40，q＝60.‎ K2的观测值k＝≈4.167>3.841，‎ 故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”. .……6分 ‎（Ⅱ）由折线图中所给数据计算，得t＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋0.7)＝0.42，‎ 故＝＝0.07，＝0.42－0.07×6＝0, 所以所求回归方程为＝0.07t.‎ 故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO浓度为0.2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的4.2倍. .……12分 ‎20．（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD中， AB＝3, BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥A－BCD的体积．‎ ‎20.（Ⅰ）证明　∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.‎ 又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.‎ 又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC. .……6分 ‎（Ⅱ）解　由(1)知，CD⊥平面ABC，‎ 又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，‎ ‎∴AB⊥平面ACD.∴VA－BCD＝VB－ACD＝·S△ACD·AB.又在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，‎ ‎∴AC＝＝＝，∴VA－BCD＝×××3×3＝..……12分 ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若上存在两个点，满足三点共线，椭圆上有两个点，满足三点共线，且，求四边形面积的最小值．‎ ‎.……4分 ‎（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得． 当直线 ‎……12分 ‎22.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若时，均有成立，求实数的所有取值组成的集合.‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间是，单调递减区间是;‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎ ……4分 所以实数的所有取值组成的集合为 ……12分