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- 2021-06-10 发布
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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题
1.在数学归纳法证明“”时,验证当时,等式的左边为( )
A. B. C. D.
答案:C
2.已知三次函数在上是增函数,则的取值范围为( )
A.或 B.
C. D.以上皆不正确
答案:C
3.设,若,则的值分别为( )
A.1,1,0,0 B.1,0,1,0 C.0,1,0,1 D.1,0,0,1
答案:D
4.已知抛物线通过点,且在点处的切线平行于直线,则抛物线方程为( )
A. B.
C. D.
答案:A
5.数列满足若,则的值为( )
A. B. C. D.
答案:C
6.已知是不相等的正数,,,则,的关系是( )
A. B. C. D.不确定
答案:B
7.复数不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:A
8.定义的运算分别对应下图中的(1),(2),(3),(4),那么,图中(A),(B)可能是下列( )的运算的结果( )
A., B.,
C., D.,
答案:B
9.用反证法证明命题“,如果可被5整除,那么,至少有1个能被5整除.”则假设的内容是( )
A.,都能被5整除
B.,都不能被5整除
C.不能被5整除
D.,有1个不能被5整除
答案:B
10.下列说法正确的是( )
A.函数有极大值,但无极小值
B.函数有极小值,但无极大值
C.函数既有极大值又有极小值
D.函数无极值
答案:B
11.对于两个复数,,有下列四个结论:①;②;③;④.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
12.设在上连续,则在上的平均值是( )
A. B. C. D.
答案:D
二、填空题
13.若复数为实数,则的值为 .
答案:4
14.一同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆,●表示实心圆)
○●○○●○○○●○○○○●
若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前2006年圆中有实心圆的个数为 .
答案:61
15.函数在区间上的最大值为3,最小值为,则,的值分别为 .
答案:2,3
16.由与直线所围成图形的面积为 .
答案:9
三、解答题
17.设且,求的值.(先观察时的值,归纳猜测的值.)
解:当时,;
当时,有;
当时,有,
而,
,.
.
当时,有.
由以上可以猜测,当时,可能有成立.
18.设关于的方程,
(1)若方程有实数根,求锐角和实数根;
(2)证明:对任意,方程无纯虚数根.
解:(1)设实数根为,则,
即.
由于,,那么
又,
得
(2)若有纯虚数根,使,
即,
由,,那么
由于无实数解.
故对任意,方程无纯虚数根.
19.设,点是函数与的图象的一个公共点,两函数的图象在点处有相同的切线.
(1)用表示;
(2)若函数在上单调递减,求的取值范围.
解:(1)因为函数,的图象都过点,所以,即.
因为,所以.
,即,所以.
又因为在点处有相同的切线,
所以,而,,所以.
将代入上式得.
因此.
故,,.
(2),.
当时,函数单调递减.
由,若,则;
若,则.
由题意,函数在上单调递减,则或.
所以或.
又当时,函数在上不是单调递减的.
所以的取值范围为.
20.下列命题是真命题,还是假命题,用分析法证明你的结论.命题:若,且,则.
解:此命题是真命题.
,,,.
要证成立,只需证,
即证,也就是证,
即证.
,,
成立,
故原不等式成立.
21.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为,且知当利率为0.012时,存款量为1.44亿;又贷款的利率为时,银行吸收的存款能全部放贷出去;若设存款的利率为,,则当为多少时,银行可获得最大收益?
解:由题意,存款量,又当利率为0.012时,存款量为1.44亿,即时,;由,得,那么,
银行应支付的利息,
设银行可获收益为,则,
由于,,则,即,得或.
因为,时,,此时,函数递增;
时,,此时,函数递减;
故当时,有最大值,其值约为0.164亿.
22.已知函数,数列满足,.
(1)求;
(2)猜想数列的通项,并予以证明.
解:(1)由,得,
,
.
(2)猜想:,
证明:(1)当时,结论显然成立;
(2)假设当时,结论成立,即;
那么,当时,由,
这就是说,当时,结论成立;
由(1),(2)可知,对于一切自然数都成立.
高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题
1.函数的导数是( )
A. B. C. D.
答案:D
2.设复数,则满足的大于1的正整数中,最小的是( )
A.7 B.4 C.3 D.2
答案:B
3.下列函数在点处没有切线的是( )
A. B.
C. D.
答案:C
4.( )
A. B. C. D.
答案:A
5.编辑一个运算程序:,则的输出结果为( )
A.4008 B.4006 C.4012 D.4010
答案:D
6.如下图为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从到有几条不同的旅游路线可走( )
A.15 B.16 C.17 D.18
答案:C
7.在复平面内,复数对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:B
8.在中,分别为边所对的角,若成等差数列,则的范围是( )
A. B. C. D.
答案:B
9.设,则( )
A.共有项,当时,
B.共有项,当时,
C.共有项,当时,
D.共有项,当时,
答案:D
10.若函数的极值点是,函数的极值点是,则有( )
A. B. C. D.与的大小不确定
答案:A
11.已知函数,,若恒成立,则实数的取值范围
是( )
A. B. C. D.
答案:A
12.如图,阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
答案:C
二、填空题
13.若复数为纯虚数,则实数的值等于 .
答案:0
14.若函数在区中上是单调递增函数,则实数的取值范围是 .
答案:-
15.类比等比数列的定义,我们可以给出“等积数列”的定义: .
答案:对,若(是常数),则称数列为等积数列;
16.已知函数在区间上的最大值是20,则实数的值等于
.
答案:
三、解答题
17.已知抛物线在点处的切线与直线垂直,求函数的最值.
解:由于,所以,所以抛物线在点)处的切线的斜率为,因为切线与直线垂直,所以,即,又因为点在抛物线上,所以,得.因为,于是函数没有最值,当时,有最小值.
18.已知数列满足条件,,令,求数列的通项公式.
解:在中,令,得;令,得;令,得2,所以.
将代入中,得,.
由此猜想:.以下用数学归纳法证明猜想正确.
(1)当和时,结论成立;
(2)假设当时,结论成立,即,所以,由已知有,因为,所以,于是,所以当时,结论也成立,根据和,对任意,均有.
19.已知数列1,11,111,1111,,,,写出该数列的一个通项公式,并用反证法证明该数列中每一项都不是完全平方数.
解:由于,所以该数列的一个通项公式是;
证明:假设是一个完全平方数,由于是一个奇数,所以它必须是一个奇数的平方,不妨设(为整数),于是.故此式中左边是奇数,右边是偶数,自相矛盾,所以不是一个完全平方数.
20.已知,,复数的虚部减去它的实部所得的差为,求实数.
解:.
;
,解得.
又因为,故.
21.已知函数.
(1)若,求函数在上的单调增区间;
(2)若函数在区间上是单调递减函数,求实数的取值范围.
解:(1)当时,,,
则,
由于,而,所以,因此由,可得,即,于是,故函数的单调增区间为;
(2).
因为函数在区是上是单调减函数,所以在上恒成立,而由于,所以,因此只要在上恒成立,即恒成立.
又,所以应有.
22.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从孔流入,经沉淀后从孔流出,设箱体的长为米,高为米.已知流出的水中该杂质的质量分数与,的乘积成反比,现有制箱材料60平方米,问当,各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(,孔的面积忽略不计).
解:设为流出的水中杂质的质量分数,则,
其中为比例系数,依题意,即所求的,值使值最小,根据题设,有得.
于是.
当时,或(舍去).
本题只有一个极值点,
当时,,
即当为6米,为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.