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  • 2021-06-10 发布

高中数学 综合测试题1 新人教A版选修2-2

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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题 一、选择题 ‎1.在数学归纳法证明“”时,验证当时,等式的左边为(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:C ‎2.已知三次函数在上是增函数,则的取值范围为(  )‎ A.或 B.‎ C. D.以上皆不正确 答案:C ‎3.设,若,则的值分别为(  )‎ A.1,1,0,0 B.1,0,1,0 C.0,1,0,1 D.1,0,0,1‎ 答案:D ‎4.已知抛物线通过点,且在点处的切线平行于直线,则抛物线方程为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案:A ‎5.数列满足若,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:C ‎6.已知是不相等的正数,,,则,的关系是(  )‎ A. B. C. D.不确定 答案:B ‎7.复数不可能在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:A ‎8.定义的运算分别对应下图中的(1),(2),(3),(4),那么,图中(A),(B)可能是下列(  )的运算的结果(  )‎ A., B., ‎ C., D.,‎ 答案:B ‎9.用反证法证明命题“,如果可被5整除,那么,至少有1个能被5整除.”则假设的内容是(  )‎ A.,都能被5整除 B.,都不能被5整除 C.不能被5整除 D.,有1个不能被5整除 答案:B ‎10.下列说法正确的是(  )‎ A.函数有极大值,但无极小值 B.函数有极小值,但无极大值 C.函数既有极大值又有极小值 D.函数无极值 答案:B ‎11.对于两个复数,,有下列四个结论:①;②;③;④.其中正确的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案:B ‎12.设在上连续,则在上的平均值是(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:D 二、填空题 ‎13.若复数为实数,则的值为     .‎ 答案:4‎ ‎14.一同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆,●表示实心圆)‎ ‎○●○○●○○○●○○○○●‎ 若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前2006年圆中有实心圆的个数为     .‎ 答案:61‎ ‎15.函数在区间上的最大值为3,最小值为,则,的值分别为      .‎ 答案:2,3‎ ‎16.由与直线所围成图形的面积为     .‎ 答案:9‎ 三、解答题 ‎17.设且,求的值.(先观察时的值,归纳猜测的值.)‎ 解:当时,;‎ 当时,有;‎ 当时,有,‎ 而,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 当时,有.‎ 由以上可以猜测,当时,可能有成立.‎ ‎18.设关于的方程,‎ ‎(1)若方程有实数根,求锐角和实数根;‎ ‎(2)证明:对任意,方程无纯虚数根.‎ 解:(1)设实数根为,则,‎ 即.‎ 由于,,那么 又,‎ 得 ‎(2)若有纯虚数根,使,‎ 即,‎ 由,,那么 由于无实数解.‎ 故对任意,方程无纯虚数根.‎ ‎19.设,点是函数与的图象的一个公共点,两函数的图象在点处有相同的切线.‎ ‎(1)用表示;‎ ‎(2)若函数在上单调递减,求的取值范围.‎ 解:(1)因为函数,的图象都过点,所以,即.‎ 因为,所以.‎ ‎,即,所以.‎ 又因为在点处有相同的切线,‎ 所以,而,,所以.‎ 将代入上式得.‎ 因此.‎ 故,,.‎ ‎(2),.‎ 当时,函数单调递减.‎ 由,若,则;‎ 若,则.‎ 由题意,函数在上单调递减,则或.‎ 所以或.‎ 又当时,函数在上不是单调递减的.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎20.下列命题是真命题,还是假命题,用分析法证明你的结论.命题:若,且,则.‎ 解:此命题是真命题.‎ ‎,,,.‎ 要证成立,只需证,‎ 即证,也就是证,‎ 即证.‎ ‎,,‎ 成立,‎ 故原不等式成立.‎ ‎21.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为,且知当利率为0.012时,存款量为1.44亿;又贷款的利率为时,银行吸收的存款能全部放贷出去;若设存款的利率为,,则当为多少时,银行可获得最大收益?‎ 解:由题意,存款量,又当利率为0.012时,存款量为1.44亿,即时,;由,得,那么,‎ 银行应支付的利息,‎ 设银行可获收益为,则,‎ 由于,,则,即,得或.‎ 因为,时,,此时,函数递增;‎ 时,,此时,函数递减;‎ 故当时,有最大值,其值约为0.164亿.‎ ‎22.已知函数,数列满足,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)猜想数列的通项,并予以证明.‎ 解:(1)由,得,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)猜想:,‎ 证明:(1)当时,结论显然成立;‎ ‎(2)假设当时,结论成立,即;‎ 那么,当时,由,‎ 这就是说,当时,结论成立;‎ 由(1),(2)可知,对于一切自然数都成立.‎ 高中新课标数学选修(2-2)综合测试题 一、选择题 ‎1.函数的导数是(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:D ‎2.设复数,则满足的大于1的正整数中,最小的是(  )‎ A.7 B.4 C.3 D.2‎ 答案:B ‎3.下列函数在点处没有切线的是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案:C ‎4.(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:A ‎5.编辑一个运算程序:,则的输出结果为(  )‎ A.4008 B.4006 C.4012 D.4010‎ 答案:D ‎6.如下图为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从到有几条不同的旅游路线可走(  )‎ A.15 B.16 C.17 D.18‎ 答案:C ‎7.在复平面内,复数对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B ‎8.在中,分别为边所对的角,若成等差数列,则的范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:B ‎9.设,则(  )‎ A.共有项,当时,‎ B.共有项,当时,‎ C.共有项,当时,‎ D.共有项,当时,‎ 答案:D ‎10.若函数的极值点是,函数的极值点是,则有(  )‎ A. B. C. D.与的大小不确定 答案:A ‎11.已知函数,,若恒成立,则实数的取值范围 是(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:A ‎12.如图,阴影部分的面积是(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:C 二、填空题 ‎13.若复数为纯虚数,则实数的值等于     .‎ 答案:0‎ ‎14.若函数在区中上是单调递增函数,则实数的取值范围是  .‎ 答案:-‎ ‎15.类比等比数列的定义,我们可以给出“等积数列”的定义:     .‎ 答案:对,若(是常数),则称数列为等积数列;‎ ‎16.已知函数在区间上的最大值是20,则实数的值等于 ‎    .‎ 答案:‎ 三、解答题 ‎17.已知抛物线在点处的切线与直线垂直,求函数的最值.‎ 解:由于,所以,所以抛物线在点)处的切线的斜率为,因为切线与直线垂直,所以,即,又因为点在抛物线上,所以,得.因为,于是函数没有最值,当时,有最小值.‎ ‎18.已知数列满足条件,,令,求数列的通项公式.‎ 解:在中,令,得;令,得;令,得2,所以.‎ 将代入中,得,.‎ 由此猜想:.以下用数学归纳法证明猜想正确.‎ ‎(1)当和时,结论成立;‎ ‎(2)假设当时,结论成立,即,所以,由已知有,因为,所以,于是,所以当时,结论也成立,根据和,对任意,均有.‎ ‎19.已知数列1,11,111,1111,,,,写出该数列的一个通项公式,并用反证法证明该数列中每一项都不是完全平方数.‎ 解:由于,所以该数列的一个通项公式是;‎ 证明:假设是一个完全平方数,由于是一个奇数,所以它必须是一个奇数的平方,不妨设(为整数),于是.故此式中左边是奇数,右边是偶数,自相矛盾,所以不是一个完全平方数.‎ ‎20.已知,,复数的虚部减去它的实部所得的差为,求实数.‎ 解:.‎ ‎;‎ ‎,解得.‎ 又因为,故.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若,求函数在上的单调增区间;‎ ‎(2)若函数在区间上是单调递减函数,求实数的取值范围.‎ 解:(1)当时,,,‎ 则,‎ 由于,而,所以,因此由,可得,即,于是,故函数的单调增区间为;‎ ‎(2).‎ 因为函数在区是上是单调减函数,所以在上恒成立,而由于,所以,因此只要在上恒成立,即恒成立.‎ 又,所以应有.‎ ‎22.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为‎2米的无盖长方体沉淀箱,污水从孔流入,经沉淀后从孔流出,设箱体的长为米,高为米.已知流出的水中该杂质的质量分数与,的乘积成反比,现有制箱材料60平方米,问当,各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(,孔的面积忽略不计).‎ 解:设为流出的水中杂质的质量分数,则,‎ 其中为比例系数,依题意,即所求的,值使值最小,根据题设,有得.‎ 于是.‎ 当时,或(舍去).‎ 本题只有一个极值点,‎ 当时,,‎ 即当为‎6米,为‎3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. ‎

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