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  • 2021-06-10 发布

2020届高考数学一轮复习(课时训练·文)第4章 三角函数解三角形18函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

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‎【课时训练】函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 一、选择题 ‎1.(2018临沂期末)函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为(  )‎ A. B.π C.2π D.4π ‎【答案】D ‎【解析】最小正周期为T==4π,故选D.‎ ‎2.(2018深圳模拟)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由题意得周期T=2=2π,所以2π=,即ω=1,所以f(x)=sin(x+φ),所以f=sin=±1.因为0<φ<π,所以<φ+<,即φ+=,φ=.故选A.‎ ‎3.(2019长春调研)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,那么|φ|的最小值为(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】依题意,得sin=±1,则+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),因此|φ|的最小值是,故选A.‎ ‎4.(2018山西四校联考)若函数y=2cos(2x+φ)是偶函数,且在内是增函数,则φ可能是(  )‎ A.- B.0‎ C. D.π ‎【答案】D ‎【解析】将各选项代入检验知,当φ=π时,函数y=2cos(2x+π)=-2cos 2x,此时函数是偶函数,且在内是增函数.故选D.‎ ‎5.(2018江西南昌模拟)设ω>0,函数 y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是(  )‎ A. B. C. D.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数 y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,所以是函数最小正周期T的k(k∈N*)倍.取特殊值T=,即T的最大值.‎ 由最小正周期公式,得T==,‎ 所以ω=,即ω的最小值是.故选C.‎ ‎6.(2018广西联考)已知x=是函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在上的最小值为(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.- D.- ‎【答案】B ‎【解析】因为x=是f(x)=2sin图象的一条对称轴,所以+φ=kπ+(k∈Z),因为0<φ<π, 所以φ=,则f(x)=2sin,所以g(x)=-2sin在上的最小值为g=-1.故选B.‎ ‎7.(2018青岛一模)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(  )‎ A.1 B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】观察图象可知A=1,T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).‎ 将代入上式,得sin=0,‎ 由|φ|<,得φ=,则f(x)=sin.‎ 函数图象的对称轴为x==.‎ 又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),‎ ‎∴=.∴x1+x2=.‎ ‎∴f(x1+x2)=sin=.‎ 故选D.‎ ‎8.(2018东北三省三校联考)函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移个单位后是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为(  )‎ A.- B.- C. D. ‎【答案】A ‎【解析】函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移个单位后得到函数为f=sin=sin,因为此时函数为奇函数,所以+φ=kπ(k∈Z).所以φ=-+kπ(k∈Z).因为|φ|<,所以当k=0时,φ=-.所以f(x)=sin.当0≤x≤时,-≤2x-≤,即当2x-=-时,函数f(x)=sin有最小值为sin=-.‎ ‎9.(2018重庆育才中学月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,其中A>0,ω>0,|φ|<,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(  )‎ A.对称轴方程是x=+2kπ(k∈Z)‎ B.φ=- C.最小正周期是π D.在内单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】由函数f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0的图象可得A=1,T=-=π,所以最小正周期T=2π.所以ω=1,排除C;又过点,所以f=sin=1,|φ|<,φ=,排除B;f(x)=sin,所以对称轴方程为x+=+kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z,排除A;当x∈时,x+∈,函数f(x)=sin单调递减,D正确,故选D.‎ ‎10.(2018江苏盐城期中考试)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是(  )‎ A.在上是增函数 B.其图象关于直线x=-对称 C.函数g(x)是奇函数 D.当x∈时,函数g(x)的值域是[-2,1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】f(x)=sin ωx+cos ωx=2sinωx+ ,由题设,知=,∴T=π,ω==2.∴f(x)=2sin.把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到g(x)=2sin=2sin=2cos 2x的图象,g(x)是偶函数且在上是减函数,其图象关于直线x=-不对称,所以A,B,C错误.当x∈时,2x∈,则g(x)min=2cos π=-2,g(x)max=2cos =1,即函数g(x)的值域是[-2,1],故选D.‎ 二、填空题 ‎11.(2018山西诊断)已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠C=90°,则f的值为________.‎ ‎【答案】- ‎【解析】依题意知,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边AB上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M=,=2,ω=π,则f(x)=cos(πx+φ).又函数f(x)是奇函数,于是有φ=kπ+,k∈Z.由0<φ<π,得φ=,故f(x)=-sin πx,‎ 所以f=-sin =-.‎ ‎12.(2018昆明摸底)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.‎ ‎【答案】π ‎【解析】因为f(x)在区间上具有单调性,‎ 所以≥-,即T≥.又f=f,‎ 所以x=和x=均不是f(x)的对称轴,其对称轴应为x==.又因为f=-f,且f(x)在区间上具有单调性,‎ 所以f(x)的一个对称中心的横坐标为=.‎ 故函数f(x)的最小正周期T=4×=π.‎

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