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  • 2021-06-10 发布

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练45+椭+圆

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课时分层训练(四十五) 椭 圆 ‎ (对应学生用书第272页)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为(  )‎ A.4    B.3‎ C.2 D.5‎ A [由题意知,在△PF1F2中,|OM|=|PF2|=3,∴|PF2|=6,∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.]‎ ‎2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. B [原方程化为+=1(m>0),‎ ‎∴a2=,b2=,则c2=a2-b2=,‎ 则e2=,∴e=.]‎ ‎3.(2018·衡水模拟)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为(  )‎ ‎ 【导学号:00090293】‎ A.+=1 B.-=1‎ C.-=1 D.+=1‎ D [由题意得|PA|=|PB|,∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=2>|AF|=2,∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆,且a=,c=1,∴b=,∴动点P的轨迹方程为+=1,故选D.]‎ ‎4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,若P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(  )‎ A.2 B.3‎ C.6 D.8‎ C [由题意知,O(0,0),F(-1,0),设P(x,y),则=(x,y),=(x+1,y),∴·=x(x+1)+y2=x2+y2+x.又∵+=1,∴y2=3-x2,‎ ‎∴·=x2+x+3=(x+2)2+2.‎ ‎∵-2≤x≤2,∴当x=2时,·有最大值6.]‎ ‎5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为(  )‎ A.+=1‎ B.+y2=1‎ C.+=1‎ D.+=1‎ A [∵+=1(a>b>0)的离心率为,∴=.‎ 又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点,△AF1B的周长为4,‎ ‎∴4a=4,∴a=,∴b=,‎ ‎∴椭圆方程为+=1.]‎ 二、填空题 ‎6.已知椭圆的方程是+=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1,则△ABF2的周长为__________.‎ ‎4 [∵a>5,∴椭圆的焦点在x轴上.‎ ‎∵|F1F2|=8,∴c=4,‎ ‎∴a2=25+c2=41,则a=.‎ 由椭圆定义,|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a,‎ ‎∴△ABF2的周长为4a=4.]‎ ‎7.(2017·湖南长沙一中月考)如图854,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为__________.‎ ‎ 【导学号:00090294】‎ 图854‎ +=1 [设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意可知,|OF|=c,|OB|=b,‎ ‎∴|BF|=A.∵∠OFB=,∴=,a=2B.‎ ‎∴S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b=(2b-b)b=2-,‎ 解得b2=2,则a=2b=2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为+=1.]‎ ‎8.(2018·赣州模拟)已知圆E:x2+2=经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,与椭圆在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,则该椭圆的方程为________.‎ +=1 [对于x2+2=,当y=0时,x=±,‎ ‎∴F1(-,0),F2(,0),∵E的坐标为,∴直线EF1的方程为=,即y=x+,由 得点A的坐标为(,1),‎ 则2a=|AF1|+|AF2|=4,∴a=2,∴b2=2,‎ ‎∴该椭圆的方程为+=1.]‎ 三、解答题 ‎9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.‎ ‎[解] (1)由题意,得解得 3分 ‎∴椭圆C的方程为+=1. 5分 ‎(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),‎ 由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,‎ Δ=96-8m2>0,∴-2b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB. ‎ ‎【导学号:00090295】‎ ‎[解] (1)由题设条件知,点M的坐标为, 2分 又kOM=,从而=.‎ 进而a=b,c==2b,故e==. 5分 ‎(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=.‎ ‎ 8分 又=(-a,b),‎ 从而有·=-a2+b2=(5b2-a2). 10分 由(1)的计算结果可知a2=5b2,‎ 所以·=0,故MN⊥AB. 12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为 ‎(  )‎ A.     B.1    ‎ C.2     D.4‎ C [圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,‎ 则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0),‎ ‎∴m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).‎ 又直线l过椭圆C的左焦点,且垂直于x轴,‎ ‎∴直线l的方程为x=-C.‎ 又∵直线l与圆M相切,‎ ‎∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2.]‎ ‎2.过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2,若b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.‎ 图855‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.‎ ‎ 【导学号:00090296】‎ ‎[解] (1)由题设知=,b=1,‎ 结合a2=b2+c2,解得a=. 3分 所以椭圆的方程为+y2=1. 5分 ‎(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 7分 由已知Δ>0,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,‎ 则x1+x2=,x1x2=. 9分 从而直线AP,AQ的斜率之和 kAP+kAQ=+=+ ‎=2k+(2-k)=2k+(2-k) ‎=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.‎ 所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2. 12分

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