2020届二轮复习（文）专题五第3讲第2课时　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课件（17张） 17页

第2课时　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 总纲目录 考点一　定点问题 考点二　定值问题 考点三　存在性问题 考点一　定点问题 (2019课标全国Ⅲ理,21,12分)已知曲线 C : y =   , D 为直线 y =-   上的动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A , B . (1)证明:直线 AB 过定点; (2)若以 E   为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求四边形 ADBE 的面积. 解析 　本题考查直线与抛物线相切,弦的中点,直线与圆相切等知识点,通过 直线与抛物线的方程运算,考查了学生在解析几何中的运算求解能力,以直线 与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养. (1)设 D   , A ( x 1 , y 1 ),则   =2 y 1 . 由于 y '= x ,所以切线 DA 的斜率为 x 1 ,故   = x 1 . 整理得2 tx 1 -2 y 1 +1=0. 设 B ( x 2 , y 2 ),同理可得2 tx 2 -2 y 2 +1=0. 故直线 AB 的方程为2 tx -2 y +1=0. 所以直线 AB 过定点   . (2)由(1)得直线 AB 的方程为 y = tx +   . 由   可得 x 2 -2 tx -1=0. 于是 x 1 + x 2 =2 t , x 1 x 2 =-1, y 1 + y 2 = t ( x 1 + x 2 )+1=2 t 2 +1, | AB |=   | x 1 - x 2 |=   ×   =2( t 2 +1). 设 d 1 , d 2 分别为点 D , E 到直线 AB 的距离, 则 d 1 =   , d 2 =   . 因此,四边形 ADBE 的面积 S =   | AB |( d 1 + d 2 )=( t 2 +3)   . 设 M 为线段 AB 的中点,则 M   . 由于   ⊥   ,而   =( t , t 2 -2),   与向量(1, t )平行, 所以 t +( t 2 -2) t =0. 解得 t =0或 t = ± 1. 当 t =0时, S =3;当 t = ± 1时, S =4   . 因此,四边形 ADBE 的面积为3或4   . 总结提升 直线过定点问题的解题模型   (2019重庆七校联考)已知 O 为坐标原点,抛物线 C : y 2 =4 x ,点 A (-2,0),设直线 l 与 C 交于不同的两点 P , Q . (1)若直线 l ⊥ x 轴,求直线 PA 的斜率的取值范围; (2)若直线 l 不垂直于 x 轴,且∠ PAO =∠ QAO ,证明:直线 l 过定点. 解析 　(1)当点 P 在第一象限时,设 P ( t ,2   ), 则 k PA =   =   ≤   =   , ∴ k PA ∈   ,同理,当点 P 在第四象限时, k PA ∈   . 综上所述,直线 PA 的斜率 k PA ∈   ∪   . (2)证明:设直线 l 的方程为 y = kx + b ( k ≠ 0), 联立方程得   得 ky 2 -4 y +4 b =0, Δ =16-16 kb >0, 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 则 y 1 + y 2 =   , y 1 · y 2 =   , ∵∠ PAO =∠ QAO , ∴ k AP + k AQ =   +   =   =   =   =0, ∴ b =-2 k , y = kx -2 k = k ( x -2), ∴直线 l 恒过定点(2,0). 考点二　定值问题 (2015课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的离心率为   ,点(2,   )在 C 上. (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A , B ,线段 AB 的中点为 M .证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 解析 　(1)由题意有   =   ,   +   =1, 解得 a 2 =8, b 2 =4. 所以 C 的方程为   +   =1. (2)证明:设直线 l : y = kx + b ( k ≠ 0, b ≠ 0), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), M ( x M , y M ).将 y = kx + b 代入   +   =1得(2 k 2 +1) x 2 +4 kbx +2 b 2 -8=0. 故 x M =   =   , y M = k · x M + b =   . 于是直线 OM 的斜率 k OM =   =-   ,即 k OM · k =-   . 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 总结提升 解答圆锥曲线的定值问题的策略 (1)从特殊情形开始,求出定值,再证明该值与变量无关; (2)采用推理、计算、消元得定值.消元的常用方法为整体消元、选择消元、 对称消元等. 考点三　存在性问题 (2019课标全国Ⅰ,21,12分)已知点 A , B 关于坐标原点 O 对称,| AB |=4,☉ M 过点 A , B 且与直线 x +2=0相切. (1)若 A 在直线 x + y =0上,求☉ M 的半径; (2)是否存在定点 P ,使得当 A 运动时,| MA |-| MP |为定值?并说明理由. 解析 　本题利用关于原点对称和直线与圆相切,考查圆的方程及圆的几何性 质,要求学生具备较强的直观想象与逻辑推理能力,第(2)问设置开放性问题, 考查抛物线的定义与性质. (1)因为☉ M 过点 A , B ,所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 x + y =0 上,且 A , B 关于坐标原点 O 对称, 所以 M 在直线 y = x 上,故可设 M ( a , a ). 因为☉ M 与直线 x +2=0相切,所以☉ M 的半径为 r =| a +2|. 由已知得| AO |=2,又   ⊥   , 故可得2 a 2 +4=( a +2) 2 , 解得 a =0或 a =4. 故☉ M 的半径 r =2或 r =6. (2)存在定点 P (1,0), 使得| MA |-| MP |为定值. 理由如下: 设 M ( x , y ),由已知得☉ M 的半径为 r =| x +2|,| AO |=2, 由于   ⊥   ,故可得 x 2 + y 2 +4=( x +2) 2 ,化简得 M 的轨迹方程为 y 2 =4 x . 因为曲线 C : y 2 =4 x 是以点 P (1,0)为焦点,以直线 x =-1为准线的抛物线,所以| MP |= x +1. 因为| MA |-| MP |= r -| MP |= x +2-( x +1)=1,所以存在满足条件的定点 P . 总结提升 探索存在性问题的解题策略 探索存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结 论不正确,则不存在. (1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论. (2)当给出结论要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件. (3)当条件和结论都未知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取其他的途 径.