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- 2021-06-10 发布
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第5讲 对数与对数函数
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3则 ( )．
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
解析 ∵log30.3＝5log3，1log2>log3，∴log23.4>log3>log43.6，∴5log23.4>5log3>5log43.6，故选C.
答案 C
2．(2013·徐州模拟)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )．
A．01，且>0，得10且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为 ( )．
A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,2) D．(1,2)
解析 “对任意的x1，x2，当x10”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤时递减，从而由此得a的取值范围为(1,2)．故选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y＝log(3x－a)的定义域是，则a＝________.
解析 由3x－a>0得x>.因此，函数y＝log(3x－a)的定义域是，所以＝，a＝2.
答案 2
6．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则(log8)⊗－2＝________.
解析 框图的实质是分段函数，log8＝－3，－2＝9，由框图可以看出输出＝－3.
答案 －3.
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
解 (1)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定义域为R.
又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x
＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为增函数，
由指数函数的单调性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2.
所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
8．(13分)已知函数f(x)＝－x＋log2.
(1)求f＋f的值；
(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2
＝log21＝0.∴f＋f＝0.
(2)f(x)的定义域为(－1,1)，
∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)，
当x10且a≠1)的定义域为R，则m的取值范围为
( )．
A．(0,4] B．(－∞，4)
C．(－∞，4] D．(1,4]
解析 由于函数f(x)的定义域是R，所以ax＋－m>0恒成立，即m3.故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝________.
解析 由图象可求得a＝2，b＝2，又易知函数y＝logc的图象过点(0,2)，进而可求得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
答案
4．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________.
解析 当1≤n≤2时，[log3n]＝0，当3≤n<32时，[log3n]＝1，…，当3k≤n<3k＋1时，[log3n]＝k.
故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.
答案 857
三、解答题(共25分)
5．(12分)若函数f(x)满足对于(0，＋∞)上的任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且x>1时f(x)>0，试证：
(1)f＝f(x)－f(y)；
(2)f(x)＝－f；
(3)f(x)在(0，＋∞)上递增．
证明 (1)由已知f＋f(y)＝f(x)，
即f(x)－f(y)＝f.
(2)令x＝y＝1，则f(1)＝2f(1)．因此f(1)＝0.
∴f(x)＋f＝f(1)＝0，即f(x)＝－f.
(3)设01，由已知f>0，即f(x2)－f(x1)>0.因此f(x1)0，且a≠1)．
(1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga在定义域上是奇函数；
(2)对于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范围．
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)＝loga在定义域上是奇函数．
(2)由x∈[2,4]时，f(x)＝loga>loga恒成立，
①当a>1时，
∴>>0对x∈[2,4]恒成立．
∴00.
∴y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15.
∴0loga恒成立，
∴<对x∈[2,4]恒成立．
∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．
设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，
由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，
g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.
∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).
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