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  • 2021-06-10 发布

2012高中数学 3_2第4课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章 3.2 第4课时 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(  )‎ A.a           B.a C.a D.a 解析: 以D为原点建立空间直角坐标系,正方体棱长为a,‎ 则A1(a,0,a),A(a,0,0),M,B(a,a,0),D(0,0,0),‎ 设n=(x,y,z)为平面BMD的法向量,‎ 则n·=0,且n·=0,‎ 而=,=.‎ 所以 所以 令z=2,则n=(-1,1,2),=(a,0,a),‎ 则A1到平面BDM的距离是d==a.‎ 答案: A ‎2.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD中点,则AE的长为(  )‎ A. B. C.2 D. 解析: =++,‎ ‎∵||=||=1=||,‎ 且·=·=·=0.‎ 又∵2=(++)2,‎ ‎∴2=3,‎ ‎∴AE的长为.故选B.‎ 答案: B ‎3.若正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A‎1C1到底面ABCD的距离为(  )‎ A. B.1‎ C. D. 解析: ‎ 如图,A‎1C1∥面ABCD,‎ 所以A‎1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离,由AB1与面ABCD所成的角是60°,AB=1.‎ ‎∴BB1=.‎ 答案: D ‎4.如图所示,正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1,O是底面A1B‎1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是(  )‎ A. B. C. D. 解析: 取B‎1C1的中点E,连结OE,则OE∥C1D1.‎ ‎∴OE∥面ABC1D1,‎ ‎∴O点到面ABC1D1的距离等于E点到平面ABC1D1的距离.‎ 过E作EF⊥BC1,易证EF⊥面ABC1D1‎ EF=,∴点O到平面ABC1D1的距离为,故选B.‎ 答案: B 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到BD的距离为________.‎ 解析: 作AE⊥BD于E,连结PE,‎ ‎∵PA⊥面ABCD.‎ ‎∴PA⊥BD ‎∴BD⊥面PAE BD⊥PE,‎ 即PE的长为点P到BD的距离 在Rt△PAE中,AE=,‎ PE==.‎ 答案:  ‎6.如图所示,在直二面角α-l-β中,A,B∈l,AC⊂α,AC⊥l,BD⊂β,BD⊥l,AC=6,AB=8,BD=24,则线段CD的长为________.‎ 解析: ∵AC⊥AB,BD⊥AB,AC⊥BD,‎ ‎∴·=0,·=0,·=0,‎ ‎∵=++,‎ ‎∴2=(++)2=676,‎ ‎∴||=26.‎ 答案: 26‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中棱长为1,利用向量法求点C1到A‎1C的距离.‎ 解析: ‎ 如图所示,以A点为坐标原点,‎ 以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A1(0,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),‎ 所以A‎1C的方向向量为=(1,1,-1),C1与直线A‎1C上一点C(1,1,0)的向量=(0,0,1)‎ 所以在上的投影为:·=-.‎ 所以点C1到直线A‎1C的距离d= ‎==.‎ ‎8.已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1,棱长为a,E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点,求点A到平面EFG的距离.‎ 解析: 如图建立空间直角坐标系,‎ 则A(a,0,0),E,F,G,‎ ‎∴=,‎ =,‎ =,‎ 设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴x=y=z,可取n=(1,1,1),‎ ‎∴d===a.‎ 即点A到平面EFG的距离为a.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,‎ 侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为?‎ 解析: 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),‎ 设=λ,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ).‎ 又=(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ),‎ 设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,‎ 则⇒,‎ 取x=1,则y=,z=2,‎ 即n=.‎ 由于d==,‎ ‎∴= 又λ∈(0,1),解得λ=.‎ 所以,存在点E且当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为.‎ ‎ ‎

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