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- 2021-06-10 发布
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第3章 3.2 第4课时
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )
A.a B.a
C.a D.a
解析: 以D为原点建立空间直角坐标系,正方体棱长为a,
则A1(a,0,a),A(a,0,0),M,B(a,a,0),D(0,0,0),
设n=(x,y,z)为平面BMD的法向量,
则n·=0,且n·=0,
而=,=.
所以
所以
令z=2,则n=(-1,1,2),=(a,0,a),
则A1到平面BDM的距离是d==a.
答案: A
2.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD中点,则AE的长为( )
A. B.
C.2 D.
解析: =++,
∵||=||=1=||,
且·=·=·=0.
又∵2=(++)2,
∴2=3,
∴AE的长为.故选B.
答案: B
3.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B.1
C. D.
解析:
如图,A1C1∥面ABCD,
所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离,由AB1与面ABCD所成的角是60°,AB=1.
∴BB1=.
答案: D
4.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
解析: 取B1C1的中点E,连结OE,则OE∥C1D1.
∴OE∥面ABC1D1,
∴O点到面ABC1D1的距离等于E点到平面ABC1D1的距离.
过E作EF⊥BC1,易证EF⊥面ABC1D1
EF=,∴点O到平面ABC1D1的距离为,故选B.
答案: B
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到BD的距离为________.
解析: 作AE⊥BD于E,连结PE,
∵PA⊥面ABCD.
∴PA⊥BD
∴BD⊥面PAE
BD⊥PE,
即PE的长为点P到BD的距离
在Rt△PAE中,AE=,
PE==.
答案:
6.如图所示,在直二面角α-l-β中,A,B∈l,AC⊂α,AC⊥l,BD⊂β,BD⊥l,AC=6,AB=8,BD=24,则线段CD的长为________.
解析: ∵AC⊥AB,BD⊥AB,AC⊥BD,
∴·=0,·=0,·=0,
∵=++,
∴2=(++)2=676,
∴||=26.
答案: 26
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为1,利用向量法求点C1到A1C的距离.
解析:
如图所示,以A点为坐标原点,
以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(0,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),
所以A1C的方向向量为=(1,1,-1),C1与直线A1C上一点C(1,1,0)的向量=(0,0,1)
所以在上的投影为:·=-.
所以点C1到直线A1C的距离d=
==.
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为a,E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点,求点A到平面EFG的距离.
解析: 如图建立空间直角坐标系,
则A(a,0,0),E,F,G,
∴=,
=,
=,
设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,
则,
∴,
∴x=y=z,可取n=(1,1,1),
∴d===a.
即点A到平面EFG的距离为a.
尖子生题库☆☆☆
9.(10分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为?
解析: 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),
设=λ,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ).
又=(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ),
设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,
则⇒,
取x=1,则y=,z=2,
即n=.
由于d==,
∴=
又λ∈(0,1),解得λ=.
所以,存在点E且当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为.