数学（普通班）卷·2019届浙江省余姚中学高二上学期第一次质量检测（2017-10） 8页

‎2017学年 第一学期 余姚中学 高二数学第一次质量检测试卷 ‎ 命题人：沈科杰 审题人：何彩芽 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）‎ A．4 B．5 C．8 D．10 ‎ ‎2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 ( )‎ A．或 B． ‎ C． D． 或 ‎ ‎4. 双曲线的渐近线方程是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 设点是曲线上的点,，，则 （ ）‎ A． B．‎ C． D．与10的大小关系不确定 ‎6.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有 （ 　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9.过双曲线的左顶点作斜率为2的直线，若与双曲线的两条渐近线分别相交于点，且，则双曲线的离心率是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知是椭圆和双曲线的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为, 则下列关系正确的是 （　 ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。‎ ‎11.平面内一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则动点的轨迹是_____，其方程是______. ‎ ‎12. 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，则的中点到轴的距离的最小值为_____，此时中点的坐标为_____．‎ ‎13. 若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则_____，的面积______.‎ ‎14. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程是______，若点是直线上一点，则到椭圆的两个焦点的距离之和的最小值等于______. ‎ ‎15. 设分别为椭圆的左,右焦点， 是椭圆上一点，点是 的内心，线段的延长线交线段于点，则______.‎ ‎16.设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若,则点的坐标是______.‎ ‎17.已知是双曲线 的左焦点，若点，以线段的长为直径的圆与双曲线左，右两支在轴上方的交点分别为，则______.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.已知双曲线，为双曲线上任意一点.‎ ‎（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；‎ ‎（2）若点，求的最小值.‎ ‎19.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.‎ ‎20. 如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.‎ ‎（1）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.‎ ‎21. 已知椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的 直线分别交椭圆于点.‎ ‎（1）设动点，满足，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）当时，求点的坐标；‎ ‎（3）设，求证：直线过轴上的定点.‎ ‎22.已知抛物线：和：的焦点分别为，交于两点（为坐标原点），且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，点坐标为，求△面积的最小值.‎ ‎2017学年 第一学期 余姚中学 数学第一次质量检测参考答案 一、选择题：‎ DADBA BCACC 二、填空题：‎ ‎11. 抛物线， 12. ， 13. ，‎ ‎14. ， 15. 16. 17. ‎ 三、解答题：‎ ‎18.解：（1）设点，由题意知双曲线的两条渐近线方程分别为和 ‎，‎ 则点到两条渐近线的距离分别为和，‎ 则，得证；‎ ‎（2）设点，则 当时，有最小值.‎ ‎19.解：（1）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，‎ ‎，消去并整理得，‎ 因为直线与椭圆相切，所以，‎ 整理得 ①‎ ‎，消去并整理得.‎ 因为直线与抛物线相切，所以，‎ 整理得 ②‎ 综合①②，解得或.‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎20. 解：设所求椭圆的标准方程为，右焦点为.‎ 因是直角三角形，又,故为直角，因此,得.‎ 又得，故，所以离心率.‎ 在中，，故 由题设条件，得，从而.‎ 因此所求椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程得，‎ 设，则 ‎,‎ 又，所以 由,得,即，解得，‎ 所以直线方程分别为和.‎ ‎21. 解：（1）由题意知:，设，则 ‎， 化简整理得: ‎ ‎（2）把代人椭圆方程,分别求出: ， ‎ 直线 ① ‎ 直线 ② ‎ 由 ①、②得：；‎ ‎（3）由已知，‎ 直线与椭圆联立，得：‎ 直线与椭圆联立，得：‎ 直线的方程为：‎ 化简得 令，解得，即直线过轴上定点.‎ ‎22.解：（1）设，有①，由题意知，，，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴ ，有，‎ 解得，‎ 将其代入①式解得，从而求得，‎ 所以的方程为.‎ ‎（2）联立得，联立得，‎ 从而，‎ 点到直线的距离，进而 ‎ ‎ 令，有，‎ 当，即时，‎ 即当过原点直线为时，△面积取得最小值．‎