2021高考数学大一轮复习考点规范练6函数的单调性与最值理新人教A版 7页

考点规范练6　函数的单调性与最值 ‎　考点规范练B册第4页　 ‎ 基础巩固 ‎1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是(　　)‎ A.y=2-x B.y=x C.y=log2x D.y=-‎‎1‎x 答案:B 解析:由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.‎ ‎2.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内(　　)‎ A.单调递增 B.单调递减 ‎ C.先增后减 D.先减后增 答案:B 解析:因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.‎ 所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-b‎2a<0.‎ 故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内为减函数,选B.‎ ‎3.已知函数f(x)=ax‎,x>1,‎‎4-‎a‎2‎x+2,x≤1‎是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)‎ 答案:B 解析:由f(x)在R上是增函数,则有a>1,‎‎4-a‎2‎>0,‎‎4-‎a‎2‎‎+2≤a,‎ 解得4≤a<8.‎ ‎4.(2019天津河西区一模)函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间为(　　)‎ A.(-∞,1) B.(1,+∞) ‎ 7‎ C.(-∞,-1) D.(3,+∞)‎ 答案:C 解析:要使函数f(x)有意义,则x2-2x-3>0,即x>3或x<-1.设u=x2-2x-3=(x-1)2-4,当x>3时,函数u=x2-2x-3单调递增;当x<-1时,函数u=x2-2x-3单调递减.因为函数y=lnu在定义域上单调递增,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1).‎ ‎5.函数f(x)=x‎1-x在(　　)‎ A.(-∞,1)∪(1,+∞)内是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)内是减函数 答案:C 解析:由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},‎ f(x)=x‎1-x‎=‎‎1‎‎1-x-1.‎ 又根据函数y=-‎1‎x的单调性及有关性质,可知f(x)在区间(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数.‎ ‎6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x‎∈‎‎-π‎2‎,‎π‎2‎时,f(x)=ex+sin x,则(　　)‎ A.f(1)f(1)>f(π-3).‎ ‎∴f(2)>f(1)>f(3).‎ 7‎ ‎7.(2019河南新乡月考)若函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)内单调递增,则f(a+2)与f(3)的大小关系为(　　)‎ A.f(a+2)>f(3) B.f(a+2)f(3).‎ ‎8.已知函数f(x)=log‎1‎‎3‎(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,2] B.[2,+∞) C‎.‎‎-‎1‎‎2‎,2‎ D‎.‎‎-‎1‎‎2‎,2‎ 答案:D 解析:设y=f(x),令x2-ax+3a=t.‎ ‎∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,‎ ‎∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.‎ ‎∴‎a‎2‎‎≤1,‎‎1‎‎2‎‎-a·1+3a>0,‎解得-‎1‎‎2‎a.‎ ‎(1)若a=0,则f(x)的最大值为　　　　　; ‎ ‎(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. ‎ 答案:(1)2　(2)(-∞,-1)‎ 7‎ 解析:令g(x)=x3-3x,φ(x)=-2x.‎ 由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.‎ 可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-‎3‎,0),(0,0),(‎3‎,0).‎ 又g(x)与φ(x)图象的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与φ(x)的大致图象,如图所示.‎ ‎(1)当a=0时,f(x)=x‎3‎‎-3x,x≤0,‎‎-2x,x>0,‎可知f(x)的最大值是f(-1)=2.‎ ‎(2)由图象知,当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,故a的取值范围是(-∞,-1).‎ 能力提升 ‎11.已知函数f(x)=‎1‎‎2‎‎-x‎2‎+2mx-m‎2‎-1‎的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为(　　)‎ A.-2 B.2 C.-1 D.1‎ 答案:B 解析:∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎-x‎2‎+2mx-m‎2‎-1‎≥‎‎2.∴f(x)的值域为[2,+∞).‎ ‎∵y1=‎1‎‎2‎x在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.‎ ‎12.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)‎ 7‎ 答案:D 解析:由题意可得a>x-‎1‎‎2‎x(x>0).‎ 令f(x)=x-‎1‎‎2‎x,函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x使原不等式成立时,a>-1.‎ ‎13.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=f(x)‎x在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=‎1‎‎2‎x2-x+‎3‎‎2‎是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为(　　)‎ A.[1,+∞) B.[0,‎3‎] C.[0,1] D.[1,‎3‎]‎ 答案:D 解析:因为函数f(x)=‎1‎‎2‎x2-x+‎3‎‎2‎的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.‎ 又当x≥1时,f(x)‎x‎=‎‎1‎‎2‎x-1+‎3‎‎2x,‎ 令g(x)=‎1‎‎2‎x-1+‎3‎‎2x(x≥1),‎ 则g'(x)=‎‎1‎‎2‎‎-‎3‎‎2‎x‎2‎=x‎2‎‎-3‎‎2‎x‎2‎.‎ 由g'(x)≤0得1≤x‎≤‎‎3‎,即函数f(x)‎x‎=‎‎1‎‎2‎x-1+‎3‎‎2x在区间[1,‎3‎]上单调递减,‎ 故“缓增区间”I为[1,‎3‎].‎ ‎14.已知函数f(x)=‎-x‎2‎+4x,x≤4,‎log‎2‎x,x>4,‎若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　. ‎ 答案:(-∞,1]∪[4,+∞)‎ 解析:画出f(x)=‎-x‎2‎+4x,x≤4,‎log‎2‎x,x>4‎的图象,如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则a+1≤2或a≥4,解得a≤1或a≥4.‎ 故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).‎ 7‎ ‎15.已知f(x)=xx-a(x≠a).‎ ‎(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;‎ ‎(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.‎ ‎(1)证明当a=-2时,f(x)=xx+2‎(x≠-2).‎ 设任意的x1,x2∈(-∞,-2),‎ 且x10,x1-x2<0,∴f(x1)0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,‎ 只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)内恒成立,∴a≤1.‎ 综上所述,a的取值范围是(0,1].‎ 高考预测 ‎16.已知函数f(x)=x+‎4‎x,g(x)=2x+a,若∀x1‎∈‎‎1‎‎2‎‎,3‎,∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)‎ A.a≤1 B.a≥1 C.a≤0 D.a≥0‎ 答案:C 解析:当x‎∈‎‎1‎‎2‎‎,3‎时,f(x)≥2x·‎‎4‎x=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.‎ 7‎ 依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.‎ 7‎