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- 2021-06-10 发布
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2015年南平市普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共5页.满分150分.
考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差 锥体体积公式
s= V=Sh
其中为样本平均数 其中S为底面面积,h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ,
其中S为底面面积,h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,≤≤,则
A. B. C. D.
2.在复平面内,复数(i是虚数单位)对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.=
A. B. C.- D.-
4.过点且与直线平行的直线方程是
A. B.
C. D.
5.在中,“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
≥
≤
≥
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为
A.-3 B.2 C.3 D.4
7.若把函数的图象上的所有点向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是
A. B. C. D.
8.已知向量,的夹角为,且,,则=
A. 2 B. C. D.
9.设数列是以3为首项,1为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,则=
A.15 B.60 C.63 D.72
10.在三棱锥中,侧棱,,两两垂直,,,的
面积分别为,,,则该三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
11.利用计算机产生0~3之间的均匀随机数、,则事件“”发生的概率为
A. B. C. D.
12.在平面内,曲线上存在点,使点到点A(3,0),B(-3,0)的距离之和为10,则称曲线为“有用曲线”.以下曲线不是“有用曲线”的是
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
13. 一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为 .
正视图
侧视图
俯视图
2
2
4
2
第13题图
14.如图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值
输出相应的y值,若要使输入的x值与输出的y
值相等,则这样的x值的个数是 .
15.已知P是抛物线上的一个动点,则P到
直线:和:的距离之和的最小值是 .
16.关于函数,给出下列四个命题:
① 该函数没有大于的零点;
② 该函数有无数个零点;
③ 该函数在内有且只有一个零点;
④ 若是函数的零点,则.
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
学校开展阳光体育活动,对学生的锻练时间进行随机抽样调查,从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查,得到了如下列联表:
锻练时间
男生
女生
合计
少于1小时
5
x
不少于1小时
y
10
合 计
(Ⅰ) 根据上表数据求x,y,并据此资料分析:有多大的把握可以认为“锻练时间与性别有关”?
(Ⅱ) 从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本,求从该样本中任取2人,
至少有1人锻练时间少于1小时的概率.
≥
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18.(本题满分12分)
已知正项等差数列的前项和为,若,且,,成等比数列.
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 若,数列的前项和为,求.
19.(本题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ) 求函数的单调递增区间;
(Ⅱ) 在中,角所对边的长分别是,若,,
,求的面积.
20.(本题满分12分)
如图,已知⊙所在的平面,是⊙的直径,,是⊙上一点,且,,是的中点,是的中点,为线段上(除点外)的一个动点.
(Ⅰ) 求证:∥平面;
(Ⅱ) 求证:;
(III) 求三棱锥的体积.
21.(本题满分12分)
已知椭圆的离心率为,短半轴长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 已知斜率为的直线交椭圆于两个不同点A,B,点M的坐标为,
设直线MA与MB的斜率分别为,.
① 若直线过椭圆的左顶点,求此时,的值;
② 试探究是否为定值?并说明理由.
22.(本题满分14分)
己知函数 (),
(Ⅰ) 若函数的图象在点(1,)处的切线方程为,
求实数,的值;
(Ⅱ) 若函数≤0恒成立,求实数的取值范围;
(III) 若函数有两个不同的极值点分别为,,求证:.
2015年南平市普通高中毕业班质量检查
文科数学试题参考答案及评分标准
说明:
1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分.
1.A; 2.D; 3.A; 4.B; 5.C; 6.C;
7.C; 8.D; 9.B; 10.B; 11.D; 12.B.
二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分16分.
13.4; 14.3; 15.3; 16.② ③ ④.
三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.本题满分12分.
解:(Ⅰ)
锻练时间
男生
女生
合计
少于1小时
5
15
20
不少于1小时
20
10
30
合 计
25
25
50
x=15,y=20 …………………(2分)
由已知数据得…………………(4分)
所以有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关” …………………(6分)
(Ⅱ)用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本, 所以抽取了锻练时间少于1小时2人,不少于1小时3人,分别记作A1、A2 ;B1、B2、B3 .
从中任取2人的所有基本事件共10个: (A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2, B1),(A2, B2), (A2, B3), (A1, A2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3). …………………(8分)
其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个:(A1, B1),(A1, B2),
(A1, B3),(A2, B1), (A2, B2), (A2, B3), (A1, A2). ………………… (10分)
∴ 从中任取2人,至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为. ………… (12分)
18.本题满分12分.
解:(Ⅰ)设正项等差数列的公差为d, 故
,,成等比数列,则有,
即…………………(1分)
又,…………………(2分)
解得或(舍去)…………………(4分)
…………………(6分)
(Ⅱ) …………………(7分)
=………………(8分)
………………(9分)
……………………(11分)
……………………(12分)
19.本题满分12分.
解:(Ⅰ)∵,)
…………………(1分)
∴. …………………(3分)
由,
解得…………………(5分).
∴函数的单调递增区间是. …………………(6分)
(Ⅱ)∵在中,,
∴解得.…………………(8分)
又, ∴. …………………(9分)
依据正弦定理,有,解得…………………(10分)
. …………………(11分)
…………………(12分)
20.本题满分12分.
证明:(Ⅰ) 是的中点,是的中点,
∥…………………(1分)
平面,
点不于点重合,平面
//平面…………………(3分)
(Ⅱ) ⊙所在的平面,
⊙所在的平面,
…………………(5分)
又是⊙的直径,
…………………(6分)
于,平面…………………(7分)
平面,…………………(8分)
(III)在中,,,所以…………(9分)
因为,,所以.
因为,所以…………………(10分)
所以…………………(11分)
由(Ⅱ)知,所以.………………(12分)
21.本题满分12分.
解:(Ⅰ)由椭圆的离心率为,,又,,
解得,
所以椭圆的方程为.…………………(3分)
(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是,
联立方程组,解得或,
故,. …………………(6分)
② 为定值,且.…………………(7分)
证明如下:
设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为.
由, 得.
当,即时,直线与椭圆交于两点………(8分)
设.,则,.…………………(9分)
又,
故=.…………(10分)
又,,
所以
故.…………………(12分)
22.本题满分14分.
解:(Ⅰ) ,…………………(2分)
因为切线方程为,所以,即……………(3分)
又可得切点为(1,-1),代入切线方程得……………(4分)
(Ⅱ) 恒成立等价于恒成立,即……………(5分)
设,则…………………(6分)
当时,;…………………(7分)
当时,.…………………(8分)
所以当时,,即 …………………(9分)
(III)若函数有两个不同的极值点,
即,
即且
即==…………………(10分)
要证,只要证
即证
不妨设,只要证成立…………………(11分)
即证…………………(12分)
令,即证
令,则……………(13分)
所以在上是增函数
所以,原式得证…………………(14分)