数学（理）卷·2019届福建省南安一中高二上学期期中考试（2017-11） 11页

南安一中2017-2018学年高二上期中考试数学试卷（理）‎ 考试内容：必修五、常用逻辑用语、椭圆、双曲线 考试时间：120分钟 ‎ 命题：雷剑平 审核：叶墀龙 ‎‎2017-11-17‎ 班级_____ _姓名____________座号______ ‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：‎ ‎1.等差数列的前项和为，若 （ ）‎ A．65 B．66 C．67 D．68‎ ‎2.若集合则A∩B是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 已知，则下列不等式成立的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.“”是“”成立的 （ ）‎ ‎ A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 ‎5. 已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 在中, = 分别为角的对应边),则的形状为 （ ）‎ A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎7.下列选项中说法正确的是 （ ）‎ A．若，则 B．命题“为真”是命题“为真” 的必要条件 C．若向量满足，则与的夹角为钝角[来源]‎ D．“”的否定是“”‎ ‎8. 已知变量满足约束条件若目标函数在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为 （ ）‎ A．25 B．26 C．27 D．不存在 ‎9.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.数列满足 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知对于任意的恒成立，则 （ ）‎ A．的最大值为2 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 ‎12.已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A.只有有限个正整数使得 B.只有有限个正整数使得 C.数列是递增数列 D.数列是递减数列 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：‎ ‎13.“若，则或”的逆否命题是 .‎ ‎14.已知数列的前项和，则通项_________________.‎ ‎15.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为8，则=____________.‎ ‎16.已知动点满足，则的最小值为__________．‎ 三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：‎ ‎17.(本题满分10分)已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的方程有解.若为真命题，为假命题，求实数 的取值范围.‎ ‎18.(本题满分12分)在中，分别是角的对边，且.‎ ‎（I）求的大小；‎ ‎（II）若为的中点，且，求面积最大值.‎ ‎19.(本题满分12分)已知数列中， ‎ ‎（I）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（II）求证：. ‎ ‎20.(本题满分12分)如图，椭圆经过点，离心率，直线l的方程为．‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、、的斜率分别为、、．问：是否存在常数，使得? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．‎ ‎21.(本题满分12分)设各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，公比大于1的等比数列满足， .‎ ‎（1）求证数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[]‎ ‎22.(本题满分12分)设椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）设直线, 的斜率分别是， ，当时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点作与直线垂直的直线，直线与椭圆相交于两点,求四边形的面积的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 南安一中2017-2018学年高二上期中考试数学试卷（理）参考答案 一.选择题：（每小题5分，计60分）‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.‎ 二.填空题：(每小题5分,计20分)‎ ‎13. 若且，则 14. 15. 16.‎ 三.解答题： ‎ ‎17.解：由已知得， 在上单调递增. ………2分[]‎ 若为真命题，则 ， ， 或； ………4分 若为真命题，， ， . ……………………6分 为真命题， 为假命题， 、一真一假， ……………………7分 当真假时， ，即； ……………………8分 当假真时， ，即. …………………… 9分 故. ……………………10分 ‎18.解：（I）由，得，‎ ‎， ， ……………………2分 ‎， 又. ……………………4分 ‎（II）在中，由余弦定理得. ……………… 6分 在中，由余弦定理得， …………………… 8分 二式相加得， ……………………9分 整理得 ， ……………………10分 ‎ ， ‎ 所以的面积， ……………………11分 当且仅当时“”成立.[]‎ 的面积的最大值为. ……………………12分 ‎19.解：（I）由题设知 ……………………2分 数列是首项为,公比为的等比数列, ……………………4分 ‎ ……………………6分 ‎ ‎（II） ……………………8分 ‎………12分 ‎20.解：（1）由在椭圆上，得 ①． ……………………1分 又得 ②‎ 由①②，得 ……………………3分 故椭圆C的方程为 ……………………4分 ‎（2）设直线的方程为，‎ 由 ……………………5分 ‎ ……………………6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………9分 又将代入得 ‎， ……………………11分 故存在常数符合题意． ……………………12分 ‎21.解：(1)当时，，∴，‎ 即，∵，∴.……………………2分 ‎∴当时，是公差的等差数列， ‎ 又，， ……………………3分 则是首项，公差的等差数列，‎ 所以数列的通项公式为. ……………………4分 ‎(2)由题意得， ； ……………………5分 则前n项和；‎ ‎；‎ 相减可得 ‎；‎ 化简可得前n项和； ……………………8分 ‎（3）对一切正整数n恒成立，‎ 由 可得数列单调递减,即有最大值为， ……………………10分 则 解得或．‎ 即实数t的取值范围为． ……………………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）设，当直线的斜率不存在时，可得，‎ 此时，，不合题意. ……………………1分 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 把代入椭圆方程中消去，整理得，‎ 则有. ……………………3分 则，‎ 即有， ……………………5分 由，得，故直线的方程为.………………6分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，可得，此时，‎ 则. ……………………7分 当直线的斜率存在，且不为零时，设直线的斜率为.‎ 由（Ⅰ）知，‎ 即. ……………………8分 又直线的斜率为，则. ……………9分 从而，‎ 设，则有，…………………10分 ‎，‎ 则，综合有.‎ 所以四边形的面积的取值范围为.……………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎