西藏自治区山南市第三高级中学2020届高三第三次模拟考试前自查自测调研考试数学（文）二试卷 20页

文 科 数 学（二）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，集合，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：‎ ‎①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；‎ ‎②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；‎ ‎③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；‎ 则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ）‎ A．甲、丙 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙 ‎4．三个数，，的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知函数，将的图象上所有点向右平移()个单位长度到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．一个孩子的身高（）与年龄（周岁）具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归 方程，则下列说法错误的是（ ）‎ A．回归直线一定经过样本点中心 B．斜率的估计值等于6.217，说明年龄每增加一个单位，身高就约增加6.217个单位 C．年龄为10时，求得身高是，所以这名孩子的身高一定是 D．身高与年龄成正相关关系 ‎8．抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在中，角所对边长分别为，若，则角的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．在一次考试后，为了分析成绩，从班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为，已知来自2班的同学比成绩低，与来自2班的同学成绩不同，的成绩比来自3班的同学高．由此判断，来自1班的同学为 ．‎ ‎14．在区间上随机选取一个数，则的概率为 ．‎ ‎15．设满足则，则的最小值是 ．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，椭圆()的右焦点为，双曲线的渐近线为，以为直径的圆交于．若，‎ 则双曲线的率为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知数列满足()．‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎19．（12分）纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等而发行的法定货币．我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收藏．2019年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：‎ 喜爱 不喜爱 合计 年龄不大于40岁 ‎24‎ 年龄大于40岁 ‎20‎ 合计 ‎22‎ ‎50‎ ‎（1）根据已有数据，把表格数据填写完整，判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？‎ ‎（2）已知在被调查的年龄不大于40岁的喜爱者中有5名男性，其中3位是学生，现从这5名男性中随机抽取2人，求至多有1位学生的概率．‎ 附：，．‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．（12分）已知椭圆()的左、右顶点分别为，且，椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点()在椭圆内，直线与分别与椭圆交于两点，‎ 若面积是面积的5倍，求的值．‎ ‎21．（12分）已知函数，（为常数）．‎ ‎（1）若，求函数图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若，对任意，且，都有成立，求实数的值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）若与相交于两点，求；‎ ‎（2）圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为1，求圆的半径．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围 文 科 数 学（二）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】∵，∴．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】∵集合，‎ 集合，‎ ‎∴．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，‎ 所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，‎ 故甲同学数学成绩优秀，故①成立；‎ 在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，‎ 可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128，‎ 故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；‎ 在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴丙同学数学成绩优秀，故③成立，‎ ‎∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】∵，，，‎ ‎∴．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】∵，∴“”是“”的必要条件，‎ 反之，比如，，推不出后者，故为必要不充分条件．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】函数，‎ 将的图象上所有点向右平移()个单位长度，‎ 得，‎ 又函数的图象关于直线对称，‎ 即，，解得，，‎ 又，所以的最小值为．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】回归直线一定经过样本点中心，故A正确；‎ 由线性回归方程，得斜率的估计值等于6.217，说明年龄每增加一个单位，‎ 身高就约增加6.217个单位，故B正确；‎ 年龄为10时，求得身高是，估计这名孩子的身高约是，故C错误；‎ 由线性回归方程可知，身高与年龄成正相关关系，故D正确．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】∵，，‎ ‎∴．‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴，∴的最大值为．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】由两个圆柱组合而成的几何体的直观图如图：‎ 所以几何体的体积为．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】表示以为圆心，1为半径的圆和圆内的点，‎ 表示点与的距离，显然最小值为．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】令，可得，‎ 令，则．‎ ‎∴当时，；当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴当时，取得极小值，‎ 又，，∴，‎ ‎∵有两解，∴．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】B ‎【解析】根据题意可知，不是来自2班，不是来自2班，所以来自2班；‎ 又的成绩比来自2班的同学高，的成绩比来自3班的同学高，‎ 所以不能来自3班，只能来自1班．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】在区间内满足小于等于0的区间为，∴的概率为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由，‎ 平移直线，由图象可知当直线经过点时，‎ 直线的截距最大，此时最小，‎ ‎，‎ 此时．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】设，，椭圆的半焦距为，‎ 则以为直径的圆的方程为，‎ 联立，解得，同理求得，‎ ‎∴，，‎ 由，得，‎ 整理得，即，或（舍）．‎ 设双曲线的半焦距为，‎ 则双曲线的离心率．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1），，；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意得，①‎ ‎，‎ ‎∵()，②‎ ‎∴①②得()，‎ 得，也满足上式，‎ ‎∴的通项公式为．‎ ‎（2）数列的通项公式为，‎ ‎∴该数列是以为首项，公差为的等差数列，‎ 若对任意的正整数恒成立，‎ 等价于当时，取得最大值，‎ ‎．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）分别的中点，∴，‎ 平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2），为的中点，∴，‎ ‎∵平面平面，且平面，∴平面，‎ 在等腰直角三角形中，，∴，，‎ ‎∴等边三角形的面积，‎ ‎∵平面，∴三棱锥的体积等于，‎ ‎∵三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ ‎∴三棱锥的体积为．‎ ‎19．【答案】（1）能够判断；（2）．‎ ‎【解析】（1）根据题意，设表中数据为 喜爱 不喜爱 合计 年龄不大于40岁 ‎24‎ 年龄大于40岁 ‎20‎ 合计 ‎22‎ ‎50‎ 则有，则；，则；‎ ‎，则；，则；‎ ‎，则，‎ 故列联表为：‎ 喜爱 不喜爱 合计 年龄不大于40岁 ‎8‎ ‎16‎ ‎24‎ 年龄大于40岁 ‎20‎ ‎6‎ ‎26‎ 合计 ‎28‎ ‎22‎ ‎50‎ 则有，‎ 故能在犯错误的概率不超过的条件下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关．‎ ‎（2）根据题意，记不大于40岁的5位喜爱者中的3位学生记为；非学生记为，‎ 则从5人中任取2人，共有，，，，，，，，，共10种结果．‎ 其中至多有1位学生的有7种，‎ ‎∴至多有1位学生的概率．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，解得，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴直线的斜率，∴直线的方程为，‎ 联立方程，解得，‎ 同理可得，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵，∴，解得或，‎ ‎∵点在椭圆内，∴，．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）若，函数()，‎ ‎∴，故，‎ 又切点为，故所求切线方程为．‎ ‎（2）不妨设，‎ ‎∵函数在区间上是增函数，∴，‎ ‎∵函数图象的对称轴为，且，‎ ‎∴当时，函数在区间上是减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴等价于，‎ 等价于函数在区间上是增函数，‎ 等价于在区间上恒成立，‎ 等价于在区间上恒成立，‎ ‎∴，‎ 又，故．‎ ‎22．【答案】（1）6；（2）13．‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ 将，代入，得，‎ 设两点对应的参数分别为，则，故．‎ ‎（2）直线的普通方程为，‎ 设圆的方程为()，‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎∵，∴，解得（，舍去），‎ 则圆的半径为13．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得，则；‎ 当时，，解得，则，‎ 综上知，不等式的解集为．‎ ‎（2）由，‎ 若对任意，不等式恒成立，‎ 则，解得或，‎ 则的取值范围是