成都七中高2020届高三上期入学考试试题数学（理科）答案 4页

1 成都七中高 2020 届高三上期入学考试题数学（理科） 参考答案 一.选择题 1-5：BACAC 6-10:ADDBA 11-12:DC 二．填空题 13. 56 14. 0 15. 12 7 16. (3, 4) 三．解答题 17.解：  319SQ  ， 2 3a，又 1 2a  ， 公差 1d   1nan （2）Q 数列 nb 满足 2 na nb   1 1 2n nb  12 2 3 1 11(1 )1 1 1 42 12 2 2 1 2 nn n nT b b b            LL 1 1 1(1 )2 2 2n   18.解：（1）证明：设正方形 ABCD 的 边长为 4，由图 1 知, 2AE BE, 1, 3BF CF 22DE AD AE   25 , 22EF BE BF 5 , 22DF CF CD 5 2 2 2DE EF DF   , 90DEF  ,即 EF ED . 由题意知，在图 2 中， MD ME , MD MF , ME  平面 MEF , MF  平面 MEF ,且 ME MF M MD平面 MEF , EFQ  平面 MEF , MD EF. 又 ED  平面 MED , MD  平面 MED ,且 ED MD D EF平面 MED （2）解：由（1）知 EF  平面 MED ，则建立如图所示空间直角坐标系，过点 M 作 MN ED ，垂足为 N ，在 Rt DME 中， 45 5 ME MDMN ED , 22EN EM MN 25 5 ,从而  0,0,0E 2 5 4 50, ,55M   ,  5,0,0F ,  0,2 5,0D , 2 5 4 50, ,55EM uuuuv  , 2 5 4 55, ,55FM  uuuuv ,  5,2 5,0FD  . 3 12cos F PF 222 1 2 1 2 122 r r F F rr   22 253244 532 44 aa aa            3 5 ， 解得 2a  ， 1c Q ， 2 2 2 3b a c    ， 所求椭圆方程为 22 143 xy （2）联立方程 22 143 xy y kx m     ，消去 y 得 2234kx 28 4 12 0kmx m   ， 则 12xx 2 8 34 km k   ， 2 12 2 4 12 34 mxx k   ，且  2248 3 4 0km     …① 设 AB 的中点为  00,M x y ，则 12 0 2 xxx 2 4 34 km k   ， 00 2 3 34 my kx m k    ， AQ BQQ , AB QM ,即 QMkk 2 2 3 34 141 3 4 4 m kk km k     解得 234 4 km k  …② 把②代入①得 22 2 3434 4 kk k    ，整理得 4216 8 3 0kk   即  224 1 4 3 0kk   ,解得： 2 1 2k  ，则 k 的取值范围是： 11,,22              21.解：（1）证明：由 2( ) 1 5( ) 022 fx g x xx     得： 21 102 xe x x    令 21( ) 12 xu x e x x    ，则  '( ) 1xu x e x   令 ()mx   1xex, '( ) 1 0xm x e    ， (0, )x  ， ()mx 在 (0, ) 上单调递增， ( ) (0) 0m x m   ， (0, )x  ，则 ()ux在(0, ) 上单调递增， ( ) (0) 0u x u   ， (0, )x  ， 2( ) 1 5( ) 022 fx g x xx     对任意 (0, )x  恒成立 4 （2）由 ( ) ( 0) xeF x xx，得 / 22 ( 1)( ) ( 0) x x xe x e e xF x xxx      ， 易知 (0,1)x 时， ()Fx单调递减， (1, )x  时， ()Fx单调递增， （i）若 1201xx   时，可知 ()Fx在(0,1) 上单调递减， ∴ 12( ) ( )F x F x （ii）若 101x， 2 1x  时，设函数 ( ) ( ) (2 )m F m F m    ， 则 2 // 22 ( 1) (2 1)( ) ( ) [ (2 )] (2 ) mme m e mm F m F m mm           2 22( 1) ( )(2 ) mmeem mm       ， 现设 2( ) ( 0) xep x xx，则 / 3 ( 2)() xexpx x  ， 易知 (0,2)x 时， ()px单调递减； (2, )x  时， ()px单调递增， 当 (0,1)m 时，有 2 (1,2)m ，且满足 2 mm， (2 ) ( ),p m p m   故 ( ) (2 ) 0p m p m   ， 即 2 220(2 ) mmee mm   ， ∴ (0,1) ( )时,mm 在(0,1) 上单调递减，有 ( ) (1) 0m， 即当 (0,1)m 时， ( ) (2 )F m F m（*），又 101x， 2 1x  且 122xx ， (0,1)x 时， ()Fx单调递减，  12( ) (2 )F x F x，由（*）式令 22mx ，则 22(2 ) ( )F x F x  12( ) ( )F x F x 22.解：（1）圆 C 的普通方程是 22( 1 + 1xy） ，又 cos , sin ,xy    所以圆 C 的极坐标方程是 =2cos. （2）设 11P （ ， ）， 21(Q ， ）则有 11=2cos， 2 11 33= sin 3 cos   所以 1 12 1 1 1 6 3 cos 63= = = sin 3 cos 3+ tan OP OQ       10 2 （ ）, 1tan 0, 0 6OP OQ      .