2018-2019学年江苏省泰州市姜堰区高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版 15页

绝密★启用前 江苏省泰州市姜堰区2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．从9道选择题与3道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有______．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎12道题中选择一道，可根据组合数得到结果.‎ ‎【详解】‎ 从9道选择题与3道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有种方法.‎ 故答案为：12.‎ ‎【点睛】‎ 考查了分类计数原理的应用，比较简单.‎ ‎2．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取______人.‎ ‎【答案】220.‎ ‎【解析】‎ 分析：根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．‎ 详解：设全校总共抽取n人，则：‎ 故答案为220人.‎ 点睛：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎3．执行如图所示的伪代码，最后输出的值为______．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 n＝1，S＝0‎ 满足条件S＜9，执行循环体，S＝0﹣1+1＝0，n＝2‎ 满足条件S＜9，执行循环体，S＝0+1+2＝3，n＝3‎ 满足条件S＜9，执行循环体，S＝3﹣1+3＝5，n＝4‎ 满足条件S＜9，执行循环体，S＝5+1+4＝10，n＝5‎ 满足条件S＜9，执行循环体，S＝10-1+5＝10，n＝6‎ 此时不满足S<9这一条件，退出循环，得到此时S=14.‎ 故答案为：14．‎ ‎【点睛】‎ 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．‎ ‎4．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为_______． ‎ ‎【答案】650‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出内的频率，然后乘以总人数，得到这个范围内的人数.‎ ‎【详解】‎ 内的频率为，故人数为人.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查频率分布直方图，考查频率的计算和频数的计算，属于基础题.‎ ‎5．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎6．有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法共______种．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：相当于从4块不同的土地中选出3块，进行全排列，方法共有 种 详解：这相当于从4块不同的土地中选出3块，进行全排列，方法共有=4×3×2=24种，‎ 故答案为： 24．‎ 点睛：本题考查了排列的实际问题，合理转化题意是关键.‎ ‎7．如图，圆和其内接正三角形，若在圆面上任意取一点，则点恰好落在三角形外的概率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角形及三角形外接圆的面积公式，由几何概型中的面积比，即可求解其概率，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 设正三角形的外接圆的半径为，边长为，‎ 由正弦定理得，解得，‎ 设事件A为“点P恰好落在外”，‎ 由面积比的几何概型，可得，‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面积比的几何概型，三角形及三角形的外接圆的面积的应用，其中解答中正确求解正三角形的边长和其外接圆的半径的关系是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎8．的展开式中的常数项为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．‎ ‎【详解】‎ 的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣1）r••x10﹣5r，‎ 令10﹣5r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为•5﹣1＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可;(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎9．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则 一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，‎ 其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；‎ 所以所求的概率是．‎ 考点：古典概型概率 ‎10．若，则的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简=，‎ 再分别求和的值即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得=，‎ 令x=1,则 ，‎ 令x=-1,则 ，‎ 所以=‎ 故答案为：16‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)与二项式定理展开式系数有关的问题，一般利用赋值法解答.‎ ‎11．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点,记可能的爬行方法总数为,则=_____．‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到蚂蚁需要一共走7步，其中应该是向右爬5步，向上爬2步，故方法种数为 ‎【详解】‎ 蚂蚁在如图所示的网格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点,一共走7步，其中应该是向右爬5步，向上爬2步，故方法种数为种数.‎ 故答案为：21.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合数公式的应用，注意将原问题转化为组合问题进行分析．‎ ‎12．已知, ,点M在直线OC上运动，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，因为点M在直线OC上运动，所以设 ‎，显然当a=时，有最小值为 考点：1.共线向量的充要条件；2.向量的数量积的运算；3.二次函数最值的求解方法。‎ ‎13．在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先种B、E两块，再种A、D,而种C、F与种A、D情况一样，根据分类与分步计数原理可求。‎ ‎【详解】‎ 先种B、E两块，共种方法，再种A、D,分A、E相同与不同，共种方法，同理种C、F共有7种方法，总共方法数为 ‎【点睛】‎ 利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.本题先种B、E两块，让问题变得更简单。‎ ‎14．对于各数不相等的正整数组（i1, i2, …, in），（n是不小于2的正整数），如果在p>q时有，则称ip和iq是该数组的一个“好序”，一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”，例如，数组（1, 3, 4, 2）中有好序“1, 3”，“1, 4”，“1, 2”，“3, 4”，其“好序数”等于4. 若各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3，则（a7，a6, a5, a4, a3, a2, a1）的“好序数”是______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3‎ ‎，这个数组中可以组成对实数，另一个数组的好序数即为对.‎ ‎【详解】‎ 各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3，这个数组中可以组成对实数，则（a7，a6, a5, a4, a3, a2, a1）的“好序数”是对.‎ 故答案为：18.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题是一个考查学生理解能力的题目．‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问：‎ ‎（1）如果科普书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？（各问用数字作答）‎ ‎（2）如果科普书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？‎ ‎（3）如果选出的4本书中至少有3本科普书，共有多少种不同的送法？‎ ‎【答案】（1）1440种（2）504种（3）1080种 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，先从5本不同的故事书和4本不同的数学书中各选2本，再送给4位同学，可得结论；（2）故事书甲和数学书乙必须送出，从其余7本中选2本，再送给4位同学，可得结论；（3）选出的4本书中至少有3本故事书，包括3本故事书1本数学书、4本故事书，可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）从5本故事书中选2本有种选法，从4数学书中选2本有种选法，再把4本书给4位同学有种，‎ 所以科普书和数学书各选2本，共有种不同的送法. ‎ ‎（2）因为科普书甲和数学书乙必须送出，所以再从其余7本书选2本有种，再把4本书给4位同学有种，所以共有种不同的送法. ‎ ‎（3）选出4本故事书有种，选出3本故事书有种，再把4本书给4位同学有种，所以至少有3本科普书的送法为种.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎16．在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）‎ ‎（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？ ‎ ‎（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？ ‎ ‎（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？‎ ‎（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）‎ ‎【答案】（1）1440（2）576（3）3720（4）840‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）采取“插空法”可得结果；（2）采取“捆绑法”可得结果；（3）分“甲在右端”、“甲不在两端”两种情况讨论，然后求和即可；（4）先把七个人全排列，再除以即可.‎ 详解：（1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840 .‎ 点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.‎ ‎17．如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）直接建立空间直角坐标系，求出，D，M四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；（2）先根据坐标系求出平面的法向量，然后写出向量，在根据向量夹角公式即可求解.‎ 详解：‎ 在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．‎ 因为，，，‎ 所以，， ‎ 所以，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为． ‎ ‎(2)，设平面的一个法向量为．‎ 则，得，取，得，，‎ 故平面的一个法向量为． ‎ 于是，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为． ‎ 点睛：考查线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题则首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于基础题.‎ ‎18．如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为线段中点，.‎ ‎（1）求直线与所成角的正弦值；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间坐标系分别求得直线DP和BM的方向向量，进而得到异面直线的夹角；（2）分别求两个平面的法向量，再由向量夹角的计算公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直 分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 则,,,,,．‎ 所以，，，‎ ‎，．‎ 则 ‎ 故直线与所成角的余弦值为. ‎ 直线与所成角的正弦值为.‎ ‎（2），．．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，得，令，得，．‎ 得平面的一个法向量为 ‎ 又,‎ 设平面的一个法向量为，‎ 得，令，得，．‎ 得平面的一个法向量为． ‎ 所以，，．‎ 则 ‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.‎ ‎19．已知.‎ ‎（1）若，求及的值；‎ ‎（2）若，求最大的系数；‎ ‎（3）定义，若化简.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，，‎ 令,则， ‎ 令，则 所以.‎ ‎（2）若，其通项公式为 ‎，由不等式 解得，且，∴.‎ 所以.‎ ‎（3）若 ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎20．设，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加和记为a，较小元素之和记为b.‎ ‎(1)当n=3时,求a, b的值；‎ ‎(2)当n=4时,求集合的所有3个元素子集中所有元素之和;‎ ‎(3)对任意的，是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）（3）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题干所给的概念可得到相应的参数值；（2）含有元素1的子集有个，同理含有2,3,4的子集也有个，元素之和为；（3）根据题意分析得到a和b的表达式，再由组合数的公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）集合的所有2元子集为，，，‎ 较大元素分别为2，3，3，所以；‎ 较小元素分别为1，1，2，所以. ‎ ‎（2）含有元素1的子集有个，同理含有2,3,4的子集也有个 于是所求元素之和为 ‎ ‎(3)是为定值，定值为 ‎ 当n≥4，n∈N*，当较小元素为1时，这样的2元素集合有个，较小元素为2时，这样的2元素集合为,依次类推，较小元素为n-1的集合个数为1个，‎ ‎ ‎ 同上，当较大元素为2时，这样的2元素集合有1个，较大元素为3的2元素集合为2个，依此类推得到较大元素为n时，集合个数为个，进而得到：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的子集的求法和计算，考查了学生的推理转化能力，以及组合数的计算公式.‎