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- 2021-06-10 发布
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四川省泸县第五中学2020-2021学年
高二上学期开学考试(理)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为
A.45° B.60° C.120° D.135°
2.下列命题正确的是
A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面
C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面
3.已知数列是公比为的等比数列,且成等差数列,则公比的值为
A. B. 1 C. D.
4.已知,,且,则向量与的夹角为
A. B. C. D.
5.在中,已知,,,则
A.4 B.2 C.3 D.
6.设是等比数列的前项和,若,则为
A. B. C. D.
7.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
8.已知向量,则与平行的单位向量的坐标为
A. B.或
C. D.或
9.在中, = 分别为角的对应边),则的形状为
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向右平移个单位,得到函数的图象.关于函数,下列说法正确的是
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为
11.已知S,A,B,C是球O表面上的点,平面ABC,,,,则球O的体积等于
A. B. C. D.
12.已知函数,则关于的不等式的解集是
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.不等式的解集为__________.
14..若,,则的最小值为____________
15.已知直三棱柱所有的棱长都相等,D,E分别为棱,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为_______________
16.在中,内角,,的对边分别为,,.若的面积为,且,,则外接圆的面积为____________
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
17.(10分)已知直线:x+y-1=0.
(1)求过原点且与直线平行的直线方程.
(2)求过点(2,3)且与直线垂直的直线方程.
18.(12分)设函数,.
(1)求函数的最小正周期;
(2)若,求函数的最值.
19.(12分)已知正项等比数列的前项和为,且,,数列满足,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和.
20.(12分)在 中, 所对的边分别为,
且.
(1)求角的大小;
(2)若, , 为的中点,求的长.
21.(12分)如图,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.过顶点,的平面与棱,分别交于,两点.
(1)求证:;
(2)求证:四边形是平行四边形;
(3)若,试判断二面角的大小能否为?
说明理由.
22.对于定义在区间上的两个函数和,如果对任意的
,均有不等式成立,则称函数与在上是“友好”的,否则称为“不友好”的.
(1)若,,则与在区间上是否“友好”;
(2)现在有两个函数与,给定区间.
①若与在区间上都有意义,求的取值范围;
②讨论函数与与在区间上是否“友好”.
参考答案
1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A 7.C 8.D 9.B 10.D 11.B 12.A
13.. 14. 15. 16.
17.解:(1)直线的斜率为,
过原点且与直线平行的直线方程为:,即;
(2)直线的斜率为,
与直线垂直的直线的斜率为1,
过点且与直线垂直的直线方程为:,即.
18.(1)∵,.
,∴.
(2)∵,∴,
∴,
∴函数,,
∴函数在区间上的最大值为,最小值为.
19.(1)设等比数列的公比为,
依题意可得所以,
所以,即,解得或(舍),
所以,所以,
所以,因为,
所以,,,,,
将以上各式相加可得,
所以.
综上所述:,.
(2)因为,
所以数列的前项和为
.
20.(1)因为asin A=(b-c)sin B+(c-b)·sin C,
由正弦定理得a2=(b-c)b+(c-b)c,
整理得a2=b2+c2-2bc,
由余弦定理得cos A===,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由cos B=,得sin B===,
所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-=-,
由正弦定理得b===2, 所以CD=AC=1,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=()2+12-2×1××=13,
所以BD=.
21.(1)由平面平面,平面平面,
且,所以平面,
又平面,所以;
(2)依题意都在平面上,
因此平面,平面,
又平面,平面,
平面与平面平行,即两个平面没有交点,
则与不相交,又与共面,
所以,同理可证,
所以四边形是平行四边形;
(3) 不能.如图,作交于点,延长
交于点,连接,
由,,,
所以平面,则平面,又,
根据三垂线定理,得到,所以是二面角的平面角,
若,则是等腰直角三角形,,
又,
所以中,由大角对大边知,
所以,这与上面相矛盾,
所以二面角的大小不能为.
22.(1)由已知,,因为时,
,所以恒成立,故
与在区间上是“友好”的.
(2)①与在区间上都有意义,
则必须满足,解得,又且,
所以的取值范围为.
②假设存在实数,使得与与在区间上是“友好”的,
则,即,
因为,则,,所以在的右侧,
又复合函数的单调性可得在区间上为减函数,
从而,,
所以,解得,
所以当时,与与在区间上是“友好”的;
当时,与与在区间上是“不友好”的.