专题03++函数性质灵活应用-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖（教师版） 15页

专题03 函数性质灵活应用 一．陷阱描述 ‎1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。‎ ‎（1）利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且，若则函数是增函数；若则函数是减函数。‎ ‎（2）单调区间的开闭。求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。‎ ‎（3）单调区间使用“”符号。函数的单调区间有多个时，不能用“”符号，只能用“和”“，”连接。‎ 分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。‎ 隐含条件陷阱，求函数的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。‎ 等价转化陷阱，分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。‎ 迷惑性陷阱，函数的主变元问题。给出含和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。 ‎ ‎【解析】依题意，函数是偶函数，且在上单调递增，‎ 故 ，故选A.‎ ‎【点评】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.‎ ‎4.利用性质解决抽象函数问题 例4．【2019山东模拟】给出下列说法：‎ ‎①集合与集合是相等集合；‎ ‎②若函数的定义域为，则函数的定义域为；‎ ‎③函数的单调减区间是；‎ ‎④不存在实数，使为奇函数；‎ ‎⑤若，且，则.‎ 其中正确说法的序号是（ ）‎ A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①④⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】①中A集合与B集合都表示所有奇数组成的集合，是相等集合.②中若函数定义域为由得即函数的定义域为，故错误.③函数的单调减区间是故错误.④函数的定义域为R，若函数为奇函数，则矛盾，所以对任意实数m,函数不会是奇函数，故④错误.⑤若则所以，故正确.选D.‎ 练习1．已知定义在区间上的函数满足，且当时，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：为单调增函数；‎ ‎（3）若，求在上的最值.‎ ‎【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．‎ ‎【解析】（1）利用赋值法进行求 的值； （2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明． （3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．‎ 试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），‎ 令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．‎ ‎（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，‎ ‎∴f（）＞0，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，‎ 即f（x1）＞f（x2），‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键．‎ 练习2．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数，满足：‎ ‎，考查下列结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列。‎ 以上命题正确的是 ．‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】①因为对定义域内任意，，满足，∴令，得，故①错误；②令，得；令，有，代入得，故是上的奇函数．故②正确；③若 ，则 为常数，故数列 为等差数列，故③正确；④∵，，∴当时，‎ ‎，则，‎ ‎，…，则，若，则 为常数，则数列为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抽象函数的应用，抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如，它的原型就是；②可通过赋特殊值法使问题得以解决，在该题中结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键.‎ ‎5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用 例5. 已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵的定义域为的奇函数，∴，即，‎ 把x换成x-2，可得：，又，‎ ‎∴，故函数周期为T=4‎ ‎，又 ‎∴，当时， ，‎ ‎∴‎ ‎【防陷阱措施】抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；‎ ‎（2）若，则函数周期为 ‎（3）若，则函数的周期为；‎ ‎（4）若，则函数的周期为.‎ 练习1. 已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示：当时， ， ，；当时， ， ，，故当时，其解集为，∵是偶函数， 是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是，故选C.‎ 练习2. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，记，， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴，∴函数是周期为2的周期函数；∵为偶函数， 在上是减函数，∴在上单调递增，并且，， ，∵，∴，故选A.‎ 练习3.已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，‎ 则的值为______. ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由，得，所以 是周期为4的周期函数..‎ 又是定义在上的偶函数，所以.‎ 所以.‎ ‎6.函数性质与导数综合 例6．【2018雅安模拟】已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ）‎ A．4 B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，则当时，；当时，，∴.，作函数的图象如图所示，当时，方程两根分别为和，则的最大值为.故选A.‎ 考点：函数的图象和性质.‎ ‎【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.‎ 练习1．若三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为三次函数在上是减函数，所以有，得故选A.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ 练习2．已知函数，若对任意的，且时，，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 在 上单调递增;当 时, 在 上单调递增,所以由;当 时, ,由,因此的单调增区间为,所以由;综上实数的取值范围为 ,选B.‎ 练习3．设函数为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时， ，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，故函数是区间 上的单调递减函数，又；，则函数是奇函数，所以函数是区间上的单调递减函数；由题设中可得：，所以问题转化为在上有解，即在上有解，令，则，故在上答单调递增，则，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是对题意的理解，求解时先构造函数，后对其求导，判断其函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，然后将问题进行等价转化为在上有解，然后运用导数求出函数在上的值域，使得问题获解。‎ ‎7.数形结合求参数 例7. 【2019湖南师大附中模拟】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：复合函数单调性．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查符合函数的单调性的判断．由于函数是对数函数，且底数和真数都含有参数，所以我们要对参数进行分类讨论，分类讨论的依据就是对数函数的单调性和一次函数的单调性．当 时，是减函数，由复合函数单调性的性质知，由此求得．同理当时，可求得取值范围是．‎ 练习1．“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由上图可得 在 内单调递减等价于，故选C. ‎ ‎8.恒成立求参数 例8. 【2019河北联考】已知函数是定义在上的增函数，函数的图像关于对称，若对任意，，不等式恒成立，则当时，的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数的图象关于点对称，∴函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，则，又∵是定义在上的增函数且恒成立，∴恒成立，∴，∴恒成立，设，则当时，表示以为圆心为半径的右半圆内的任意一点，则表示区域内的点和原点的距离．由图可知：‎ 的最小值是，，，当时，的范围为．故选D.‎ 考点：函数恒成立问题.‎ ‎【思路点晴】本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现 “数形结合及”转化”的思想在解题中的应用；由函数的图象关于点对称，结合图象平移的知识可知函数的图象关于点对称，从而可知函数为奇函数，由恒成立，可把问题转化为，即可求.‎ 练习1.已知对任意的恒成立，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】时， ，则原不等式为，‎ 则，且，得，‎ 由对勾函数性质可知，，‎ 所以，得，故选A。‎ 防陷阱措施：恒成立即存在性问题一定要从函数的最值考虑 练习2.已知幂函数，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵幂函数的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减． ∴若f（a+1）＜f（10-2a），则解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．‎ ‎9 .单调性求参数，区间的开闭（概念类）‎ ‎【例9】若函数在区间上单调，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D． ‎ ‎【解析】：函数的图像开口向上，对称轴为直线，若函数在区间上单调，则应有或，解得：或，故选C.‎ ‎【陷阱提示】对称轴所在范围含端点.‎ 练习1若函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得为单调递增函数,所以 ‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ 练习2．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，是开口向下的二次函数，故只能是在上单减，故要求整个函数在R上都是减的，每一段都是减的，则要求，‎ 故答案为： 。‎ 练习3．函数在区间内单调递减，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a，g（x）在递减，则g′（x）在上小于等于0，即：3ax2+4（1-a）x-3a≤0，当a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线， 设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x1，0），B（x2，0） 由韦达定理，知x1+x2= x1x2=-1， 解得则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在递减， 即g′（x）在上小于等于0， ∴x1≥即：解得， ∴a的取值范围是．‎ 故答案为 练习4. 已知是上的增函数，那么的取值范围是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为是上的增函数，所以 ‎ 故答案为 ‎【防错良方】在取值范围问题上，必须考查是否含有端点，方法是让变量取端点，然后考查是否符合题意，‎ 这个题目很容易选D.‎ ‎10 分段函数问题（等价转化）‎ ‎【例10】函数（且）是上的增函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】：由于函数为是增函数，所以，解得.‎ ‎【答案】D ‎【防错良方】本题考查分段函数图象与性质.由于分段函数在上单调递增，所以首先在每一段上是增函数，一次函数斜率要大于零，对数函数底数要大于，即；还需要满足的是在区间的分段点的函数值，左边函数值要不大于右边函数值，即，由此解得的取值范围.区间端点函数值如果不连续递增，是不能说在上递增的.‎ 练习1.已知函数，如在区间上存在个不同的数，使得比值成立，则的取值集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为的几何意义为点)与原点的连线的斜率，‎ 所以的几何意义为点与原点的连线有相同的斜率，‎ 函数的图象,在区间上，与的交点个数有1个，2个或者3个，‎ 故或，‎ 即的取值集合是，故选：B.‎ ‎11主变元问题（迷惑性）‎ ‎【例11】已知对任意的不等式恒成立，求的取值范围______.‎ ‎【防错良方】本题含有两个变量，因为对任意的不等式恒成立，所以主变元是，而不是，本题及其容易习惯把当主变元，看成是关于的二次不等式，从而我解题带来麻烦. ‎