2017-2018学年吉林省辽源五中高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 8页

‎2017-2018学年吉林省辽源五中高二下学期期中考试数学试题（理）‎ ‎ 一、选择题( 本题共12小题，每小题5分，共60分。)‎ ‎1．若复数，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．用数学归纳法证明，则当时，等式左边应在的基础上加上（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3．若，则的值不可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A. B. C. D. ‎ ‎5、个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若存在x使不等式成立，则实数的取值范围为(　　)‎ A. (－∞，－ ) B. (－，e) C. (－∞，0) D. (0，＋∞)‎ ‎7.已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．设函数，则关于函数说法错误的是（ ）‎ A. 在区间， 内均有零点 B. 与的图象有两个交点 C. ， 使得在， 处的切线互相垂直 D. 恒成立 ‎9．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数f(x)＝a(x－1)ex＋x2(a∈R)，其导函数为f′(x)，若对任意的x<0，不等式 x2＋(a＋1)x>f′(x)恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. (0,1) B. (－∞，1) C. (－∞，1] D. (1，＋∞)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若,那么的值是 .‎ ‎14、已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是__________．‎ ‎15已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为___________．‎ ‎16．已知函数，射线：.若射线恒在函数图象的下方，则整数的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。 ‎ ‎17. 已知函数．‎ ‎（I）当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎（II）当时,设,求在区间上的最大值．‎ ‎18.设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.‎ ‎(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；‎ ‎(2)如果对任意的s，t∈都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.‎ ‎19、如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为的正三角形，侧面底面．‎ ‎（）设的中点为，求证：平面．‎ ‎（）求斜线与平面所成角的正弦值．‎ ‎（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式对任意的正实数都成立，求实数的最大整数。 ‎ ‎21．已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明： 为定值.‎ ‎22．设函数．‎ ‎（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设， 是的导函数．‎ ‎①若对任意的，求证：存在使；‎ ‎②若，求证： ．‎ 理科数学答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D B A C C B C C C A C ‎13. i ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16.5‎ ‎17．（I）；（II）.‎ ‎18.答案：(1).m=4 ‎ ‎(2) ‎ ‎.‎ ‎19．（）见解析；（）；（）．‎ ‎  ‎ ‎20. （1）当时， ‎ 当时， ，‎ ‎∴函数在区间上为减函数. ‎ 当时， ，令， ‎ 当时， ；当时， ，‎ ‎∴函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. ‎ 且，综上， 的单调减区间为，单调增区间为. ‎ ‎（2）由可得对任意的正实数都成立，即对任意的正实数都成立.‎ 记，则 ，可得，‎ 令 ‎∴在上为增函数，即在上为增函数 ‎ 又∵,‎ ‎∴存在唯一零点，记为 ，‎ 当时， ，当时， ，‎ ‎∴在区间上为减函数，在区间上为增函数.‎ ‎∴的最小值为. ‎ ‎∵，‎ ‎∴，可得.‎ 又∵‎ ‎∴实数的最大整数为2. ‎ ‎21. （1）∵过椭圆的右焦点，‎ ‎∴右焦点，即，‎ 又∵的焦点为椭圆的上顶点，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴椭圆的方程；‎ ‎（2）由得， ，‎ 设，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 综上所述，当变化时， 的值为定值；‎ ‎22. （1）由题意， 对恒成立.‎ ‎∵‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∵‎ ‎∴，从而．‎ ‎（2）①，则．‎ 若，则存在，使，不合题意.‎ ‎∴．‎ 取，则．‎ 此时．‎ ‎∴存在，使．‎ ‎②依题意，不妨设，令，则．‎ 由（1）知函数单调递增，则，从而．‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 下面证明，即证明，只要证明．‎ 设，则在恒成立．‎ ‎∴在单调递减，故，从而得证．‎ ‎∴，即．‎