2020学年度高中数学 第一章 ：第一课时 函数奇偶性的定义与判定 同步练习 4页

第一课时 函数奇偶性的定义与判定 ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 奇偶函数的图象特征 ‎2,4,6,11‎ 奇偶性的概念与判定 ‎1,3,10,11‎ 奇偶性的应用 ‎5,7,8,9,12‎ ‎1.函数f(x)=x4+2x2是(　B　)‎ ‎(A)奇函数 ‎(B)偶函数 ‎(C)既是奇函数又是偶函数 ‎(D)非奇非偶函数 解析:因为f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),‎ 所以函数f(x)=x4+2x2是偶函数.故选B.‎ ‎2.已知函数f(x)=x3+的图象关于(　A　)‎ ‎(A)原点对称 (B)y轴对称 ‎(C)y=x对称 (D)y=-x对称 解析:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),‎ 因为f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),‎ 所以函数为奇函数.‎ 所以函数f(x)=x3+的图象关于原点对称,故选A.‎ ‎3.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是(　B　)‎ ‎(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)‎ ‎(C)y=x2+f(x) (D)y=x‎2f(x)‎ 解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).‎ 对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),‎ 所以y=x+f(x)是奇函数.‎ 对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),‎ 所以y=xf(x)是偶函数.‎ 对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),‎ 所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,‎ 对于D,g(-x)=(-x)‎2f(-x)=-x‎2f(x)=-g(x),‎ 所以y=x‎2f(x)是奇函数.‎ - 4 -‎ 故选B.‎ ‎4.下列结论中正确的是(　B　)‎ ‎(A)偶函数的图象一定与y轴相交 ‎(B)奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0‎ ‎(C)奇函数y=f(x)的图象一定过原点 ‎(D)图象过原点的奇函数必是单调函数 解析:A项中若定义域不含0,则图象与y轴不相交,C项中若定义域不含0,则图象不过原点,D项中奇函数不一定单调,故选B.‎ ‎5.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2 018)=k,则f(-2 018)等于(　D　)‎ ‎(A)k (B)-k (C)1-k (D)2-k 解析:设g(x)=ax3+bx,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+1.因为 f(2 018)=k,则g(2 018)=f(2 018)-1=k-1,所以g(-2 018)=‎ ‎-g(2 018)=1-k.所以f(-2 018)=g(-2 018)+1=1-k+1=2-k.故选D.‎ ‎6.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为(　A　)‎ ‎(A)-2 (B)2‎ ‎(C)1 (D)0‎ 解析:由图知f(1)=,f(2)=,‎ 又f(x)为奇函数,‎ 所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.‎ 故选A.‎ ‎7.若函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,则k等于　　　　. ‎ 解析:由于函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,因此k-1=0,k=1.‎ 答案:1‎ ‎8.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=　　　　. ‎ 解析:由f(x+2)=-f(x),得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=‎ f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.‎ 答案:-0.5‎ ‎9.已知函数f(x)=1-.‎ ‎(1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;‎ ‎(2)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.‎ 解:(1)由已知g(x)=f(x)-a得,g(x)=1-a-,‎ - 4 -‎ 因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),‎ 即1-a-=-(1-a-),解得a=1.‎ ‎(2)函数f(x)在(0,+∞)内为增函数.‎ 证明:设00,‎ 从而<0,即f(x1)0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,‎ 当x≤0时,y=x|x|=-x2,此时为增函数.‎ 综上在R上函数为增函数.故选D.‎ ‎11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.‎ ‎(1)求出函数f(x)在R上的解析式;‎ ‎(2)画出函数f(x)的图象.‎ 解:(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,‎ 则f(0)=0;‎ ‎②当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数,‎ 所以f(-x)=-f(x),‎ 所以f(x)=-f(-x)‎ - 4 -‎ ‎=-[(-x)2-2(-x)]‎ ‎=-x2-2x,‎ 综上,f(x)=‎ ‎(2)图象如图.‎ ‎12.设函数f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上递增,且f(‎2a2+a+1)0,‎ ‎2a‎2‎-2a+3=2(a-)2+>0,‎ 且f(‎2a2+a+1)‎2a2‎-2a+3,‎ 即‎3a-2>0,解得a>.‎ 故a的取值范围为(,+∞).‎ - 4 -‎