2018-2019学年河南省新乡市高二下学期期末数学（文）试题（解析版） 20页

‎2018-2019学年河南省新乡市高二下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若向量，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量减法的坐标运算直接求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量减法的坐标运算，属于基础题.‎ ‎2．设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，， ，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。‎ ‎3．若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出集合，根据并集的定义可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.‎ ‎4．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为（ ）‎ A.只 B.只 C.只 D.只 ‎【答案】B ‎【解析】将爵次从高到低分配的猎物数设为等差数列，可知，，从而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果.‎ ‎【详解】‎ 设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列,则 又 ‎ ‎，即大夫所得鹿数为只 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的j=（ ）‎ A．1 B．3 C．5 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值．‎ ‎【详解】‎ 由程序框图知：n=4，第一次运行， i＝1，j＝1,j=2i-j=1,满足i<4，‎ 第二次运行i＝2，j=2i-j＝3；满足i<4，‎ 第三次运行i＝3，j=2i-j＝3；满足i<4，‎ 第四次运行i＝4，j=2i-j＝5；不满足i<4，‎ 程序运行终止，输出j＝5．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法．‎ ‎6．设，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用对数的运算性质将化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出的大小。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 且，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算性质以及对数函数的单调性的应用。‎ ‎7．某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中（ ）‎ 表1‎ 表2‎ 表3‎ 语文 性别 不及格 及格 总计 数学 性别 不及格 及格 总计 英语 性别 不及格 及格 总计 男 ‎14‎ ‎36‎ ‎50‎ 男 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 男 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ 女 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女 ‎5‎ ‎45‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ A.语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 B.数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小 C.英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小 D.英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 ‎【答案】C ‎【解析】根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．‎ ‎8．已知（，1），（，－1）分别是函数的图象上相邻的最高点和最低点，则（ ）‎ A. B. C.－ D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由点P,Q两点可以求出函数的周期，进而求出，再将点P或点Q的坐标代入，求得，即求出。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，把的坐标代入方程，得 ‎，因为，所以，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。‎ ‎9．已知，，则（ ）‎ A. B.或 C. D.或 ‎【答案】A ‎【解析】利用二倍角公式和同角三角函数关系可将化为关于正余弦的齐次式，分子分母同时除以可构造出关于的方程，解方程求得；根据的范围可得的范围，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解得：或 ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正余弦齐次式的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数关系的应用；易错点是忽略角所处的范围，从而出现增根.‎ ‎10．观察下列各式，，，，，…，则的十位数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过观察十位数的数字特征可知周期为，根据周期计算可得结果.‎ ‎【详解】‎ 记的十位数为 经观察易知，，，，，，……‎ 可知的周期为 则的十位数为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用数列的周期性求解数列中的项，关键是能够通过数字变化规律发现数列的周期性.‎ ‎11．设，双曲线与圆相切，（，），（， ），若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据圆与双曲线的位置关系，联立双曲线方程和圆的方程，消去，可得的一元二次方程，由判别式为0，求出的值，再根据双曲线的定义以及韦达定理，即可求出。‎ ‎【详解】‎ 联立与，消去得 ‎，又 易知点分别为双曲线的左、右焦点，又，故由双曲线的定义可知在双曲线上，且为右切点，由韦达定理得 点到轴的距离为，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义的应用，以及双曲线与圆的位置关系应用，意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎12．若函数恰有个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】将问题转化为与恰有个交点；利用导数和二次函数性质可得到的图象，通过数形结合可确定或时满足题意，进而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 令，则恰有个零点等价于与恰有个交点 当时，，则 当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 可得图象如下图所示：‎ 若与有两个交点，则或 又，‎ 即当时，恰有个零点 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数的问题，利用数形结合的方式找到临界状态，从而得到满足题意的范围.‎ 二、填空题 ‎13．已知为奇函数，当时，，则当时，=_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，求得；根据奇函数可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 为奇函数 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.‎ ‎14．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据抛物线定义可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由抛物线定义可知：，又，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.‎ ‎15．如图，为测量某山峰的高度（即的长），选择与在同一水平面上的，为观测点.在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为.若米，，则山峰的高为_________米.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出OP，分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得山峰的高度．‎ ‎【详解】‎ 设OP＝h，在等腰直角△AOP中，得OA＝OP=．‎ 在直角△BOP中，得OP＝OBtan60°得OB＝h 在△AOB中，由余弦定理得 ‎，‎ 得h＝（米）．则山峰的高为m．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．‎ ‎16．设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，则＝_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取线段的中点，设在底面的射影为，连接。设出底面边长和斜高，计算出正三棱锥的表面积和体积，利用等积法计算出此棱锥的内切球的半径，由此得到的值，故可求出和，以及的值。‎ ‎【详解】‎ 取线段的中点，设在底面的射影为，连接（图略），设则，设，则正三棱锥的表面积为，又正三棱锥的体积，则 ‎，又 ‎【点睛】‎ 本题主要通过正三棱锥的结构特征考查学生的直观想象能力，以及运算能力。‎ 三、解答题 ‎17．在等比数列中，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设出通项公式，利用待定系数法即得结果；‎ ‎（2）先求出通项，利用错位相减法可以得到前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，所以，‎ 解得 故的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 则，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生的分析能力 及计算能力，难度中等.‎ ‎18．已知函数． ‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)当时，求在上的值域．‎ ‎【答案】(1)时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. (2)‎ ‎【解析】（1）求导得到导函数后，分别在和 两种情况下讨论导函数的符号，从而得到的单调性；（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，可知，，求得最小值和最大值后即可得到函数值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：‎ ‎①当时，时，；时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎②当时，时，；时，‎ 在上单调递增，在上单调递减 综上所述：时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减 ‎（2）当时，‎ 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增 当时，，‎ 又， ‎ 在上的值域为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、求解函数在一段区间内的值域的问题；关键是能够通过对参数的讨论，得到导函数在不同情况下的符号，从而得到函数的单调性.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，正方形所在平面与正所在平面垂直，分别为的中点，在棱上．‎ ‎(1)证明：平面．‎ ‎(2)已知，点到的距离为，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】（1）取中点，连接，；根据线面平行的判定定理可分别证得平面和平面；根据面面平行判定定理得平面平面，利用面面平行性质可证得结论；（2）根据面面垂直性质可知平面，由线面垂直性质可得；根据等边三角形三线合一可知；根据线面垂直判定定理知平面，从而得到；设，表示出三边，利用面积桥构造方程可求得；利用体积桥，可知，利用三棱锥体积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取中点，连接，‎ 为中点 ‎ 又平面，平面 平面 四边形为正方形，为中点 ‎ 又平面，平面 平面 ‎，平面 平面平面 又平面 平面 ‎（2）为正三角形，为中点 ‎ 平面平面，，平面平面，平面 平面，又平面 ‎ 又，平面 平面 平面 ‎ 设，则，，‎ ‎，即：，解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面平行的判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识；解决三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解问题.‎ ‎20．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示．‎ ‎(1)利用散点图判断和（其中均为大于的常数）哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎(2)对数据作出如下处理，令，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；‎ ‎ ‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎28.25‎ ‎56.5‎ ‎(3)已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，‎ ‎【答案】(1) 选择更合适；(2) . (3) 要使年利润取最大值，预计下一年应投入千万元的研发费用 ‎【解析】（1）根据散点图分布，可知更符合指数型模型，可得结果；（2）对两边取倒数，得到，采用最小二乘法可求得和，从而得到结果；（3）由（2）可得，利用导数可判断出单调性，可知当时，取最大值，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由散点图知，选择更合适 ‎（2）对两边取对数，得，即：‎ 由表中数据得 ‎ 令，则，即 年销售和年研发费用的回归方程为：‎ ‎（3）由（2）知，，则 令，得 当时，；当时，‎ 在上单调递增；在上单调递减 当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为：千万元亿元 要使年利润取最大值，预计下一年应投入千万元的研发费用 ‎【点睛】‎ 本题考查统计中的数据的相关性的问题，涉及到非线性回归模型方程的求解、利用导数求解函数的最值的问题；解题关键是能够将非线性回归模型转化为线性回归模型，从而利用最小二乘法求得回归模型.‎ ‎21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.‎ ‎（1）求椭圆及圆的方程； ‎ ‎（2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为；（2）不存在 ‎【解析】【详解】‎ 分析：（1）由题意得，再根据椭圆过点得到关于的方程组，求解后可得椭圆和圆的方程．（2）先假设存在直线满足条件．（ⅰ）当直线斜率不存在时，可得直线方程为，求得点的坐标后验证可得；（ⅱ）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得 不成立．从而可得不存在直线满足题意．‎ 详解：(1)由题意知,,，圆的方程为 由题可知，解得 ，‎ 所以椭圆的方程为，圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在直线满足题意.‎ 由，可得，故．‎ ‎（ⅰ）当直线的斜率不存在时，此时的方程为．‎ 当直线时，可得 所以．‎ 同理可得，当时，.‎ 故直线不存在．‎ ‎（ⅱ）当直线的斜率存在时，设方程为， ‎ 因为直线与圆相切，‎ 所以，整理得①‎ 由消去y整理得，‎ 设，‎ 则，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 则，即，‎ 所以，‎ 所以，‎ 整理得②‎ 由①②得，此时方程无解.‎ 故直线不存在．‎ 由（i）（ii）可知不存在直线满足题意.‎ 点睛：圆锥曲线中存在性问题的求解步骤 假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎(1)求与的直角坐标方程；‎ ‎(2)过曲线上任意一点作与垂直的直线，交于点，求的最大值．‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为.(2) .‎ ‎【解析】（1）根据参数方程与普通方程互化原则可消去参数得到所求方程；（2）设曲线上任意一点，可知等于点到直线距离；利用点到直线距离公式可求得；根据正弦函数的值域可知当时，取得最大值，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的参数方程，消去得其直角坐标方程为：‎ 直线的参数方程，消去得其直角坐标方程为：‎ ‎（2）设曲线上任意一点 点到直线的距离，其中，且 由题意知：‎ 当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程、参数方程问题中的最值问题的求解；解决本题中的最值问题的关键是能够利用参数方程，将问题转化为三角函数的问题来进行求解，属于常考题型.‎ ‎23．已知．‎ ‎（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 因为不等式有实数解，所以 因为，所以 故。‎ ‎①当时，，所以，故 ‎②当时，，所以，故 ‎③当时，，所以，故 综上，原不等式的解集为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。‎