昆明市第一中学2020届高三摸底考试理科数学第1次——答案 6页

昆明市第一中学2020届摸底考试 参考答案（理科数学）‎ 命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 鲁开红 王海泉 莫利琴 吕文芬 张远雄 崔锦 杨耕耘 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C A B A D C A D D A 1. 解析：因为，所以，选B.‎ 2. 解析：，选B.‎ 3. 解析：因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高三年级抽12人，高二年级抽16人，所以高一年级要抽取45-12-16=17人，因为该校高中学共有2700名学生，所以各年级抽取的比例是，所以该校高一年级学生人数为人，选C.‎ 4. 解析：因为，含项的系数为，选A.‎ 5. 解析：因为为偶函数，所以排除D选项，当时，，选B.‎ 6. 解析：因为，所以，，选A.‎ 7. 解析：连结，，则为的中点，所以∥，‎ 因为，，，所以平面，‎ 所以平面，选D．‎ 8. 解析：由得，又，则，‎ 若，则，此时，是的一个极大值点，舍去；‎ 若，则，此时，是的一个极小值点，满足题意，故，‎ 选C.‎ 9. 解析：第一次循环：， ；第二次循环：， ；‎ 第三次循环：，；第四次循环：，；‎ 第五次循环：，，此时循环结束，可得.‎ ‎ 选A.‎ 10. 解析：因为为偶函数，由题意可知，，在上为增函数，‎ 第 6 页 （共 6 页）‎ 所以，从而在恒成立，可得且，所以，选D.‎ 1. 解析：因为，所以圆的半径，，‎ 由抛物线定义，点到准线的距离，‎ 所以，所以，选D . ‎ 2. 解析：设，，则它们函数图象的一个公共点为，函数在点A处的切线斜率为，所以在处的切线方程为，所以要存在满足,则，所以取值范围是，选A.‎ 二、填空题 3. 解析：因为，所以.‎ 4. 解析：因为，所以，，2.‎ 5. 解析：设与轴交于点，则，所以，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以双曲线的离心率．‎ 6. 解析：由题意可知，设△和△的外心的半径为，‎ 则，，，，，，，‎ 所以球的表面积为．‎ 三、解答题 ‎（一）必考题 7. 解：（1）由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为，而这个组学生有10人，则，得．………2分 由乙样本数据直方图可知，‎ 故． ………4分 第 6 页 （共 6 页）‎ ‎（2）甲样本数据的平均值估计值为 ‎． ………7分 由（1）知，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为 ‎，‎ 前四组的频率之和为，‎ 故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为，‎ 由得 ‎，故乙样本数据的中位数为． ‎ 根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为． ………12分 1. 解析：（1）因为，所以，‎ ‎，可得. ………6分 ‎ ‎（2）因为是角平分线，所以，‎ 由，可得，，‎ 所以，‎ 由可得. ………12分 2. ‎（1）证明：因为正方形中，∥，梯形中，∥，所以∥，‎ 所以，，，四点共面； ‎ 因为，所以，因为，，所以平面，‎ 因为平面，所以， ‎ 在直角梯形中，，，，可求得，‎ 同理在直角梯形中，可求得，又因为，‎ 则，由勾股定理逆定理可知，‎ 因为，，所以平面，‎ 因为为平面，故平面平面，‎ 即平面平面. ………6分 ‎ ‎(2)解：过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则，，由（1）可知点为中点，且，则，‎ 故可以,,所在直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 第 6 页 （共 6 页）‎ 则各点坐标依次为：，，，，，,‎ 所以，，设为平面的一个法向量，则 可取，则 , ‎ 又，设为平面的一个法向量，则 可取，则，‎ 所以，‎ 结合图形可知二面角的大小为. ………12分 1. 解：（1）设，，直线，‎ 所以得，所以 由，所以，‎ 即，‎ 同理，联立得，‎ 即． ………6分 ‎（2）因为，，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ ‎，‎ 同理，‎ ‎，‎ 当且仅当时，四边形面积的最小值为32. ………12分 第 6 页 （共 6 页）‎ 1. 解：（1），‎ 令，，‎ 则，则在上单调递增，‎ ‎①.若，则，则，则在上单调递增；‎ ‎②.若，则，则，则在上单调递减；‎ ‎③.若，则，，又在上单调递增，‎ 结合零点存在性定理知：存在唯一实数，使得，‎ 当时，，则，则在上单调递减，‎ 当时，，则，则在上单调递增.‎ 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；‎ 当时，存在唯一实数，使得，‎ 在上单调递减，在上单调递增. ………6分 ‎(2) 由（1）可知，‎ ‎①.若，则，则，‎ 而，解得满足题意；‎ ‎②.若，则，则，‎ 而，解得满足题意；‎ ‎③.若，令，，‎ 则，故在上单调递减，所以，‎ 令，，由（1）知；‎ 令，，由（1）知；‎ 因为，，且，‎ 所以，则，，‎ 第 6 页 （共 6 页）‎ 故，故对任意，‎ 不存在实数能使函数在区间的最小值为且最大值为；‎ 综上，当且时，或当且时，‎ 可以使得函数在区间的最小值为且最大值为. ………12分 ‎（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。‎ 1. 解：（1）直线的普通方程为：，曲线的直角坐标方程为：.………5分 ‎（2）曲线的参数方程为，‎ 点的直角坐标为，中点，，‎ 则点到直线的距离，‎ 当时，的最小值为，‎ 所以中点到直线的距离的最小值为. ………10分 2. 解：（1）要证不等式等价于，因为 ‎，‎ 所以，当且仅当时取等号. ………5分 ‎（2）因为，所以，‎ 又因为，，，所以，‎ 所以，当且仅当时取等号. ………10分 第 6 页 （共 6 页）‎