数学文卷·2018届北京市朝阳区高三3月综合练习（一模）（2018 19页

‎2018年北京市朝阳区高三一模数学（文）考试 第I卷 （选择题爱共40分）‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知全集为实数集,集合,‎ 则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查集合的运算.‎ 集合,‎ 集合.‎ 所以或,所以,故选.‎ ‎2. 在复平面内,复数所对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 ‎（C）第三象限 （D）第四象限 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查复数的运算与坐标表示.‎ ‎,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.‎ ‎3. 已知平面向量,且,则实数的值是 ‎（A） （B） （C） （D）或 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查平面向量的平行的坐标运算.‎ 由,且,可以得到,‎ 即,所以或,故选.‎ ‎4. 已知直线平面,则“直线”是“”的 ‎（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查线面位置关系的判定、性质与充分必要条件.‎ ‎（充分性）当且时,我们可以得到或（因为直线与平面的位置关系不确定）,所以充分性不成立;‎ ‎（必要性）当时,过直线可做平面与平面交于直线,则有.又有,则有,即.所以必要性成立,故选.‎ ‎5. 已知为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,若,则线段的中点到直线的距离为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查抛物线的定义.‎ 如图,抛物线的焦点为,准线为,即.‎ 分别过作准线的垂线,垂足为,‎ 则有.‎ 过的中点作准线的垂线,垂足为,‎ 则为直角梯形中位线,‎ 则,即到准线的距离为.故选.‎ ‎6. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算 抠点法:在长方体中抠点,‎ ‎1.由正视图可知:上没有点;‎ ‎2.由侧视图可知:上没有点;‎ ‎3.由俯视图可知:上没有点;‎ ‎4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.‎ 由上述可还原出四棱锥,如右图所示,‎ ‎,.‎ 故选.‎ ‎7. 函数的零点个数为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查函数零点.‎ 定义域为,‎ 通分得:,‎ 设,,‎ 时,,‎ 画出大致图象如下.‎ 易发现,即与交于点,‎ 又,,‎ 即点为公切点,‎ 点为内唯一交点,‎ 又均为偶函数,‎ 点也为公切点,‎ 为交点,有两个零点.‎ 故选 ‎8. 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:‎ 小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;‎ 小王说:“丁团队获得一等奖”;‎ 小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”;‎ 小赵说:“甲团队获得一等奖”.‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是 ‎（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查学生的逻辑推理能力.‎ 1. 若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;‎ 2. 若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;‎ 3. 若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;‎ 4. 若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.‎ 故选.‎ 第Ⅱ卷 （非选择题爱共110分）‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图,若输入则输出的值为 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查程序框图.‎ 初始 ‎5‎ ‎0‎ 第一次 ‎9‎ ‎1‎ 第二次 ‎17‎ ‎2‎ 第三次 ‎33‎ ‎3‎ 第四次 ‎65‎ ‎4‎ 第四次时,,所以.‎ ‎10. 双曲线的焦距为渐近线方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查双曲线的基本量.‎ 由题知故,焦距:,渐近线:.‎ ‎11. 已知圆内有一点经过点的直线与圆交于两点,当弦恰被点平分时,直线的方程为 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.‎ 圆,‎ 弦被平分,故,‎ 由得即,所以直线方程为.‎ ‎12. 已知实数满足若取得最小值的最优解有无数多个,则的值为 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查线性规划.‎ ‎,,取得最小值,则直线的截距最小,最优解有无数个,‎ 即与边界重合,故.‎ ‎13. 函数的部分图象如图所示,则 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查三角函数的图象与性质.‎ 由图可知,解得.‎ ‎14. 许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点（不在边界上）有块砖板拼在一起,则的所有可能取值为 ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查逻辑推理与多边形的性质.‎ 由题意知只需这块砖板的角度之和为即可.‎ 显然,因为任意正多边形内角小于;‎ 且,因为角度最小的正多边形为正三角形,.‎ 当时,个正六边形满足题意;‎ 当时,个正方形满足题意;‎ 当时,个正三角形与个正方形满足题意;‎ 当时,个正三角形满足题意.‎ 综上,所以可能为3,4,5,6.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 已知数列的前项和满足.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎（Ⅱ）若数列满足,求数列的通项公式.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题知得,‎ 得 得,‎ ‎（Ⅱ）当时,‎ 所以,‎ 得,即,‎ 是以为首项,2为公比的等比数列,则.‎ 当时,‎ ‎,‎ ‎,‎ 经验证:,‎ 综上:.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ 在中,已知,.‎ ‎（Ⅰ）若,求的面积;‎ ‎（Ⅱ）若为锐角,求的值.‎ 解:（Ⅰ）由正弦定理得,因为,‎ 所以,,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ 因为为锐角,所以.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.‎ 某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:‎ 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有6人 ‎6‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ 选考方案待确定的有8人 ‎5‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ 女生 选考方案确定的有10人 ‎8‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ 选考方案待确定的有6人 ‎5‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？‎ ‎（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）‎ ‎（Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为 因为在选考方案确定的学生的人中,‎ 选生物的频率为 所以选择生物的概率约为 所以选择生物的人数约为人.‎ ‎（Ⅱ）2人.‎ ‎（Ⅲ）设选择物理、生物、化学的学生分别为 选择物理、化学、历史的学生为,‎ 选择物理、化学、地理的学生分别为 所以任取2名男生的基本事件有 所以两名男生所目相同的基本事件共有四个,‎ 分别为概率为 ‎18. （本小题满分14分）‎ 如图,在梯形中,于,.将沿折起至,使得平面平面 ‎（如图2）,为线段上一点.‎ ‎（Ⅰ）求证:;‎ ‎（Ⅱ）若为线段中点,求多面体与多面体的体积之比;‎ ‎（Ⅲ）是否存在一点,使得平面?若存在,求的长.若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）在梯形中,因为,所以,‎ 平面平面,平面平面,‎ 平面,‎ 平面,‎ 平面,‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）为中点,‎ 到底面的距离为,‎ 在梯形中,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,‎ 在中,,‎ 平面,平面,‎ 平面平面,‎ 平面平面,‎ ‎,‎ 到平面的距离为.‎ ‎,.‎ ‎.‎ ‎（Ⅲ）连结交于,连结,‎ 在四边形中,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 平面,平面平面,‎ ‎,‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 在中,,‎ ‎.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为,且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程;‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数,直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题可得,解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题知直线斜率存在,‎ 设.‎ 联立,‎ 消去得,‎ 由题易知恒成立,‎ 由韦达定理得,‎ 因为与斜率相反且过原点,‎ 设,,‎ 联立,‎ 消去得,‎ 由题易知恒成立,‎ 由韦达定理得,‎ 则 所以为定值.‎ ‎20. （本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎（Ⅱ）若,求函数的单调区间;‎ ‎（Ⅲ）若,求证:.‎ 解:（Ⅰ）若,则,,‎ 所以在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）‎ 令,则.‎ 令,得(依题意)‎ 由,得;由,得.‎ 所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增 所以,‎ 因为,所以.‎ 所以,即.‎ 所以函数的单调递增区间为.‎ ‎（Ⅲ）由,等价于,‎ 等价于.‎ 设,只须证成立.‎ 因为 由,得有异号两根.‎ 令其正根为,则.‎ 在上,在上 则的最小值为 又 所以 则 因此即所以.‎ 所以.‎