数学（理）卷·2017届四川省绵阳市高中高三第三次诊断性考试（2017 12页

绵阳市高中2014级第三次诊断性考试 数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，，，则 ( )‎ A． B. C． D． （0,1）‎ ‎2. 已知是虚数单位，则 ( )‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎3. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎4. 等比数列的各项均为正数，且，，则 ( )‎ A． B． C. 20 D. 40‎ ‎5. 已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则 ( )‎ A．-6 B．12 C.6 D．-12‎ ‎6. 在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是( )‎ A．16 B．8 C. D．‎ ‎7. 已知函数为奇函数，，是其图像上两点，若的最小值是1，则 ( )‎ A．2 B． -2 C. D．‎ ‎8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( )‎ A．50 B．75 C.25.5 D．37.5‎ ‎9. 已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为( )‎ A． B．1 C. D．‎ ‎10.已知是双曲线：的右焦点，，分别为的左、右顶点. 为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ )‎ A．3 B．4 C.5 D．6‎ ‎11. 三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为( )‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎14.过定点的直线：与圆：相切于点，则 ．‎ ‎15.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎16.设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且，则的值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的面积.‎ ‎18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.‎ ‎（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？‎ 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 ‎120‎ 不常使用单车用户 ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布与期望.‎ ‎（参考数据：‎ 独立性检验界值表 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 其中，，）‎ ‎19. 已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点是线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明 平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值.‎ ‎20.已知点，点是椭圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值.‎ ‎21. 函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ 绵阳市高2014级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题 ‎1-5: CDABA 6-10: ABDDC 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 2 14. 4 15.120 16. 9‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ） 把整理得，,‎ 由余弦定理有,‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）中，，即，故，‎ 由已知可得,‎ ‎∴,‎ 整理得.‎ 若，则，‎ 于是由，可得，‎ 此时的面积为.‎ 若，则，‎ 由正弦定理可知，，‎ 代入整理可得，解得，进而，‎ 此时的面积.‎ ‎∴综上所述，的面为.‎ ‎18.解：（Ⅰ）补全的列联表如下：‎ 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 ‎100‎ ‎20‎ ‎120‎ 不常使用共享单车 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ 于是，，，，‎ ‎∴，‎ 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，‎ ‎∵,‎ ‎∴，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ ‎∴的数学期望.‎ ‎19.解：（Ⅰ）作的中点，连接交于点，点即为所求的点.‎ 证明：连接，‎ ‎∵是的中点，是的中点，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴直线平面.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又面面，面面，面，‎ 所以面.‎ 故，.‎ 以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，‎ ‎∴为正三角形，，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设平面的一个法向量，则由，可得 令，则.‎ 设平面的一个法向量，则由，可得 令，则.‎ 则，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ ‎∴二面角的正弦值为.‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题意知，，‎ 故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，‎ ‎∴曲线的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）由题意知，‎ 若直线恰好过原点，则，，，‎ ‎∴，，则，‎ ‎，，则，‎ ‎∴.‎ 若直线不过原点，设直线：，，‎ ‎，，.‎ 则，，‎ ‎，，‎ 由，得，从而；‎ 由，得，从而；‎ 故.‎ 联立方程组得：整理得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ 综上所述，.‎ ‎21.（Ⅰ）证明：由题意知，‎ 于是 令，，‎ ‎∴在上单调递减.‎ 又，，‎ 所以存在，使得，‎ 综上存在唯一零点.‎ 解：当，，于是，在单调递增；‎ 当，，于是，在单调递减；‎ 故，‎ 又，，，‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）解：等价于.‎ ‎，‎ 令，则，‎ 令，则，即在上单调递增.‎ 又，，‎ ‎∴存在，使得.‎ ‎∴当，在单调递增；‎ 当，在单调递减.‎ ‎∵，，，‎ 且当时，，‎ 又，，，‎ 故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为.‎ ‎22.解：（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，即，‎ ‎∴的极坐标方程为.‎ 将极坐标方程化为直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将代入：整理得，‎ 解得，即.‎ ‎∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，‎ ‎∴射线与相交，即，即.‎ 故.‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时，，由解得，综合得，‎ 当时，，显然不成立，‎ 当时，，由解得，综合得，‎ 所以的解集是.‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎∴根据题意，‎ 解得，或.‎