数学文·辽宁省大连二十中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（文科）+Word版含解析x 15页

‎2016-2017学年辽宁省大连二十中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．不等式﹣2x﹣1＜3的解集为（　　）‎ A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎2．椭圆+=1的短轴长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．12‎ ‎3．命题P：∀x∈R，x2﹣2x+2＞0的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2﹣2x+2≤0 B．∃x∈R，x2﹣2x+2≤0‎ C．∃x∈R，x2﹣2x+2＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+2≤0‎ ‎4．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知，a+1，a2﹣1为等比数列，则a=（　　）‎ A．0或﹣1 B．﹣1 C．0 D．不存在 ‎6．命题“数列{an}前n项和是Sn=An2+Bn的形式，则数列{an}为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎7．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（其中常数m＞0），则点P的轨迹是（　　）‎ A．不存在 B．椭圆或线段 C．线段 D．椭圆 ‎8．已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣24，7） B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞） C．（﹣7，24） D．（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）‎ ‎9．已知点（x，y）满足不等式组，则的最大值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（　　）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎11．椭圆+=1的离心率的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．关于x的方程x2+（a+2b）x+3a+b+1=0的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上，则a+b的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（﹣，）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．椭圆的焦点坐标为　　．‎ ‎14．设实数x，y满足约束条件目标函数z=ax+y取最大值有无穷多个最优解，则实数a的取值为　　．‎ ‎15．已知数列{an}满足a1=8，an+1﹣an=n（n∈N*），则取最小值时n=　　．‎ ‎16．设F1、F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|﹣|PF1|的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点P（，），求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 已知某椭圆过点（，﹣1），（﹣1，），求该椭圆的标准方程．‎ ‎18．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．已知正数a，b满足ab=2a+b．‎ ‎（Ⅰ）求ab的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求a+2b的最小值．‎ ‎20．已知数列{an}满足an+1=2an﹣1（n∈N+），a1=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn（n∈N+）．‎ ‎21．已知椭圆+=1，点A在椭圆上（不是顶点），点A关于x轴、y轴、原点的对称点分别为B、D、C，求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎22．设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．‎ ‎（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）=x2﹣（1+a）x+a在D内的零点．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省大连二十中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．不等式﹣2x﹣1＜3的解集为（　　）‎ A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】直接利用不等式化简求解即可．‎ ‎【解答】解：不等式﹣2x﹣1＜3，可得x＞﹣2．‎ 不等式﹣2x﹣1＜3的解集为（﹣2，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆+=1的短轴长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．12‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用椭圆方程求出b即可．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1的焦点在y轴上，‎ 短轴长为2b=4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．命题P：∀x∈R，x2﹣2x+2＞0的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2﹣2x+2≤0 B．∃x∈R，x2﹣2x+2≤0‎ C．∃x∈R，x2﹣2x+2＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+2≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】全称量词改为存在量词，再否定结论，从而得到命题的否定．‎ ‎【解答】解：命题P：∀x∈R，x2﹣2x+2＞0的否定是：∃x∈R，x2﹣2x+2≤0，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，‎ 例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；‎ 故前者不是后者的充分条件；‎ 当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；‎ 由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知，a+1，a2﹣1为等比数列，则a=（　　）‎ A．0或﹣1 B．﹣1 C．0 D．不存在 ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，a+1，a2﹣1为等比数列，‎ ‎∴（a+1）2=×（a2﹣1），化为：a+1=1，解得a=0，‎ 经过验证满足条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．命题“数列{an}前n项和是Sn=An2+Bn的形式，则数列{an}为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据等差数列的前n项和是Sn=n2+（a1﹣）n的形式，逐一分析原命题的逆命题，否命题，逆否命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“数列{an}前n项和是Sn=An2+Bn的形式，则数列{an}为等差数列”是真命题，‎ 故逆否命题也是真命题；‎ 逆命题“若数列{an}为等差数列，则数列{an}前n项和是Sn=An2+Bn的形式”为真命题，‎ 故否命题也是真命题，‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（其中常数m＞0），则点P的轨迹是（　　）‎ A．不存在 B．椭圆或线段 C．线段 D．椭圆 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】利用基本不等式判断m+的范围，利用椭圆定义判断即可．‎ ‎【解答】解：定点F1（0，﹣3），F2（0，3），|F1F2|=6，‎ 常数m＞0，m+=8＞|F1F2|=6，‎ 所以动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（其中常数m＞0），则点P的轨迹是椭圆．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣24，7） B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞） C．（﹣7，24） D．（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】根据点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，可得（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，‎ ‎∴（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，‎ 化为（a+7）（a﹣24）＜0，‎ 解得﹣7＜a＜24．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知点（x，y）满足不等式组，则的最大值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 的几何意义是：可行域内的点与坐标原点连线的斜率，‎ 由图形可知OC的斜率最大，‎ 由可得C（3，5）．‎ kOC==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（　　）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的应用．‎ ‎【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2＜90°，即∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±，进而可得点P到x轴的距离．‎ ‎【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．‎ 由于a=4，b=3，‎ ‎∴c=＜b ‎∴∠F1MF2＜90°，‎ ‎∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．‎ 令x=±得 y2=9=，‎ ‎∴|y|=．‎ 即P到x轴的距离为．‎ ‎　‎ ‎11．椭圆+=1的离心率的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出离心率的表达式，然后求解最小值即可．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1，可知a＞0，3a﹣a2﹣1＞0，‎ 椭圆的离心率：e==≥==．‎ 当且仅当a=1时取等号．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．关于x的方程x2+（a+2b）x+3a+b+1=0的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上，则a+b的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（﹣，）‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】令f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得．画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，利用简单的线性规划求得z的范围．‎ ‎【解答】解：令f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得．‎ 画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，如图所示：‎ 由求得点A（﹣，），‎ 由，求得点C（﹣，﹣）．‎ 当直线z=a+b经过点A时，z=a+b=；当直线z=a+b经过点C时，z=a+b=﹣，‎ 故z=a+b的范围为（﹣，），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．椭圆的焦点坐标为　（﹣2，0），（2，0）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的方程可知a2=9，b2=5，从而可知c2=4，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的方程为+=1，‎ ‎∴a2=9＞b2=5，其焦点在x轴，c2=4，‎ ‎∴焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．‎ 故答案为：（﹣2，0），（2，0）．‎ ‎　‎ ‎14．设实数x，y满足约束条件目标函数z=ax+y取最大值有无穷多个最优解，则实数a的取值为　﹣3或1　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 若a=0，则y=z，此时满足条件最大值不存；‎ 若a＞0，由z=ax+y得y=﹣ax+z，‎ 若a＞0，∴目标函数的斜率k=﹣a＜0．‎ 平移直线y=﹣ax+z，‎ 由图象可知当直线 y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，此时a=1满足条件；‎ 若a＜0，目标函数的斜率k=﹣a＞0．‎ 平移直线y=﹣ax+z，‎ 由图象可知直线y=﹣ax+z，和直线y=3x平行时，‎ 此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，‎ 此时a=﹣3满足条件．‎ 故答案为：﹣3或1．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}满足a1=8，an+1﹣an=n（n∈N*），则取最小值时n=　4　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用“累加求和方法”可得an，再利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1=8，an+1﹣an=n（n∈N*），‎ ‎∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1‎ ‎=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+8‎ ‎=+8，‎ 则=+=+﹣﹣=，当且仅当n=4时取等号．‎ ‎∴取最小值时n=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．设F1、F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|﹣|PF1|的最小值为　﹣5　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由|PM|﹣|PF1|=|PM|﹣（10﹣|PF2|）=|PM|+|PF2|﹣10≥|MF2|﹣10，即可得出．‎ ‎【解答】解：F2（3，0）．‎ ‎∵|PF1|+|PF2|=2a=10，|MF2|==5．‎ ‎∴|PM|﹣|PF1|=|PM|﹣（10﹣|PF2|）=|PM|+|PF2|﹣10≥|MF2|﹣10=5﹣10=﹣5，当且仅当三点M，F2，P共线时取等号．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点P（，），求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 已知某椭圆过点（，﹣1），（﹣1，），求该椭圆的标准方程．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，结合焦点坐标求出基本量，即可求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 设椭圆方程为mx2+ny2=1，利用待定系数法求该椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），‎ 又椭圆焦点为（±1，0），所以b=1，‎ 所以椭圆方程为．…‎ ‎（Ⅱ）设椭圆方程为mx2+ny2=1，则有，‎ 解得，所以椭圆方程为．…‎ ‎　‎ ‎18．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；简单线性规划．‎ ‎【分析】求出命题P是真命题时，m的范围，利用线性规划求出命题q是真命题时，m的范围，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：（理科）如果p为真命题，则有m＞m﹣1＞0，即1＜m＜2；…‎ 若果q为真命题，不等式组所表示的区域是三角形，则由图可得或m≥2．…‎ 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，‎ 所以实数m的取值范围为…‎ ‎　‎ ‎19．已知正数a，b满足ab=2a+b．‎ ‎（Ⅰ）求ab的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求a+2b的最小值．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件，通过a+b，化简求解ab的最小值；‎ ‎（Ⅱ）利用，转化求解表达式的最值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），所以，所以ab最小值为8，…‎ 当b=2a，即a=2时取到．…‎ ‎（Ⅱ）由题可得，‎ 所以，即a+2b最小值为9，…‎ 当a=b=3时取到．…‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}满足an+1=2an﹣1（n∈N+），a1=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn（n∈N+）．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过对an+1=2an﹣1（n∈N+）变形可知数列{an﹣1}是首项为1、公比为2的等比数列，进而可得结论；‎ ‎（Ⅱ）通过an=2n﹣1+1可知nan=n•2n﹣1+n，利用错位相减法计算即得结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵an+1=2an﹣1（n∈N+），‎ ‎∴an+1﹣1=2（an﹣1）（n∈N+），‎ 又∵a1﹣1=2﹣1=1，‎ ‎∴数列{an﹣1}是首项为1、公比为2的等比数列，‎ ‎∴an﹣1=1•2n﹣1=2n﹣1，‎ ‎∴an=2n﹣1+1；‎ ‎（Ⅱ）解：∵an=2n﹣1+1，‎ ‎∴nan=n•2n﹣1+n，‎ 设Tn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，‎ ‎∴2Tn=1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，‎ 两式相减得：﹣Tn=（1+21+22+23+…+2n﹣1）﹣n•2n ‎=﹣n•2n ‎=（1﹣n）•2n﹣1，‎ ‎∴Tn=（n﹣1）•2n+1，‎ ‎∴Sn=Tn+=（n﹣1）•2n+1+．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆+=1，点A在椭圆上（不是顶点），点A关于x轴、y轴、原点的对称点分别为B、D、C，求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】在上，设点A（x，y）（xy≠0）由题可得四边形ABCD的面积为4|xy|，利用基本不等式的性质即可得出|xy|的最大值．‎ ‎【解答】解：在上，设点A（x，y）（xy≠0）由题可得四边形ABCD的面积为4|xy|，‎ 由，‎ 当且仅当时即取等号，‎ ‎∴|xy|最大值为，即四边形ABCD的面积最大值为4．‎ ‎　‎ ‎22．设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．‎ ‎（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）=x2﹣（1+a）x+a在D内的零点．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）对于方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0，判别式△=3（a﹣3）（3a﹣1）因为a＜1，所以a﹣3＜0，分类讨论求出B，即可求集合D（用区间表示）；‎ ‎（Ⅱ）f（x）=（x﹣1）（x﹣a），a＜1，分类讨论求函数f（x）=x2﹣（1+a）x+a在D内的零点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）对于方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0‎ 判别式△=3（a﹣3）（3a﹣1）‎ 因为a＜1，所以a﹣3＜0‎ ‎①当1时，△＜0，此时B=R，所以D=A；‎ ‎②当a=时，△=0，此时B={x|x≠1}，所以D=（0，1）∪（1，+∞）；‎ 当a＜时，△＞0，设方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则 ‎③当0时，x1+x2=（1+a）＞0，x1x2=3a＞0，所以x1＞0，x2＞0‎ 此时，D=（0，x1）∪（x2，+∞）；‎ ‎④当a≤0时，x1x2=3a≤0，所以x1≤0，x2＞0．‎ 此时，D=（x2，+∞）．…‎ ‎（Ⅱ）f（x）=（x﹣1）（x﹣a），a＜1，‎ ‎①当1时，函数f（x）的零点为1与a；‎ ‎②当a=时，函数f（x）的零点为；‎ ‎③当0时，因为2×12﹣3（1+a）+6a＜0，2×a2﹣3（1+a）a+6a＞0，所以函数f（x）零点为a；‎ ‎④a≤0，因为2×12﹣3（1+a）+6a＜0，2×a2﹣3（1+a）a+6a＜0，所以函数f（x）无零点．‎ ‎　‎ ‎2016年11月20日