黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高二9月月考数学（文）试题 18页

‎2018级高二上9月份月考数学（文)‎ 第I卷（选择题)‎ 一、单选题 ‎1.若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用斜率公式求出直线，根据斜率值求出直线的倾斜角.‎ ‎【详解】直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，，再用平方关系算得，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率．‎ ‎【详解】∵椭圆的长轴长是短轴长的倍，‎ ‎∴，得，‎ 又∵a2＝b2+c2，‎ ‎∴2b2＝b2+c2，可得，‎ 因此椭圆的离心率为e．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题．‎ ‎3.一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程。‎ ‎【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.‎ ‎【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题。‎ ‎4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简得到椭圆的标准方程，再列出关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围.‎ ‎【详解】由题得，‎ 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.两圆与的公共弦长等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．‎ ‎【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y＝0①，x2+y2+2x﹣12＝0，②‎ ‎①﹣②可得：x﹣2y+6＝0．‎ ‎∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+6＝0，‎ ‎∵x2+y2+4x﹣4y＝0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2，‎ ‎∴圆心到公共弦的距离为d＝0，‎ ‎∴公共弦长＝4．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．‎ ‎6.（2017全国乙改编）设满足约束条件,则的最大值为 A. 5 B. 9 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出可行域如下图：‎ 作出直线，将平移至过点处时，函数有最大值，故选C.‎ ‎7.当点P在圆上变动时，它与定点相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，利用中点坐标公式可以求出，代入圆方程中，可以求出中点M轨迹方程.‎ ‎【详解】设，，因为M是线段PQ的中点，所以有 ‎，点P在圆上，所以有，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了求线段中点的轨迹方程，考查了中点坐标公式、代入思想.‎ ‎8.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. 或 C. D. 以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线表示轴右侧的半圆，利用直线与半圆的位置关系可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】由可以得到，所以曲线为轴右侧的半圆，‎ 因为直线与半圆有且仅有一个公共点，如图所示：‎ 所以或，所以或，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与半圆的位置关系，注意把曲线的方程变形化简时要关注等价变形.‎ ‎9.已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，利用点到直线距离求出b的取值范围.‎ ‎【详解】因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.‎ ‎10.已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．‎ ‎【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，‎ 则A、B在直线的异侧或在直线上，‎ 则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，‎ 即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，‎ 即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．‎ ‎11.已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．‎ ‎【详解】解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，‎ 圆心关于的对称点为，‎ ‎ 解得故 ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意点到直线的距离，可求得圆的方程，又由存在这样的点，当与圆相切时，转化为，由此列出不等式，求得，即可求解.‎ ‎【详解】由题意点到直线的距离为，‎ 可得圆的方程为.‎ 若存在这样的点，当与圆相切时，即可，‎ 可得，得，则.‎ 解得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点，当与圆相切时，转化为，列出不等式，求得，进而求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13.若直线的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切函数的单调性求解.‎ ‎【详解】因为正切函数在上单调递增，‎ 所以，当时，，‎ 所以斜率 ‎【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.‎ ‎14.过点P(3，4)在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________.‎ ‎【答案】y=x或x+y-7=0‎ ‎【解析】‎ 当直线过原点时，设，因为，故，即，‎ 当直线不过原点时设，因为，故，即.‎ ‎15.已知点在直线上运动，则取得最小值时点的坐标为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求目标转化为直线上的点到点的距离，可得点与直线垂直时两点间的距离最小，从而得到过点且与直线垂直的直线，然后联立得到点的坐标.‎ ‎【详解】转化为直线上的点到点的距离的平方，‎ 又点到直线的距离最小，‎ 过点且与直线垂直的直线为 因此两直线联立，，解得 故点的坐标为 ‎【点睛】本题考查定点到直线上点的距离的最小值，直线交点问题，属于简单题.‎ ‎16.已知：若直线上总存在点P，使得过点P的的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线的距离，进行求解即可得的范围.‎ ‎【详解】圆心，半径，‎ 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，‎ 故有，‎ 圆心O到直线的距离，‎ 即，‎ 即，解得或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知直线，.‎ ‎(1)若，求的值； ‎ ‎(2)若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．‎ ‎（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值．‎ ‎【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，‎ 由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．‎ ‎（2）由题意可知m不等于0,‎ 由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．‎ ‎【点睛】本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．‎ ‎18.设 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式。‎ ‎（2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决。‎ ‎【详解】（1）‎ 令 当时 当时 当时 综上所述 ‎（2）恒成立等价于 ‎（当且仅当时取等）‎ 恒成立 ‎【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号。属于中等题。‎ ‎19.已知直线：，圆：‎ ‎ （1）求证：直线与圆总相交；‎ ‎ （2）求出相交的弦长的最小值及相应的值；‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) 相交的弦长的最小值为，相应的.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意可得直线恒过定点，圆的圆心，半径，而,故点在圆的内部，则直线与圆总相交.‎ ‎(2)由直线与圆的位置关系可知，满足题意时，弦心距最大，此时，由斜率公式可得，则，解得：，此时直线被圆截得的弦长为最小值为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)直线：‎ 化简得：‎ 由，解得 直线过定点 圆：，‎ 即圆心，半径，‎ 点在圆的内部，故直线与圆有两个交点 直线与圆总相交.‎ ‎（2）直线被圆截得的弦长为最小时，弦心距最大，此时，‎ ‎，，，‎ ‎，解得：，‎ 又，‎ 直线被圆截得的弦长为最小值为，‎ 故相交的弦长的最小值为，相应的.‎ 点睛：1．直线与圆位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．‎ ‎2．圆的弦长的常用求法 ‎(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；‎ ‎(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.‎ ‎20.已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点.‎ ‎（1）若点到直线的距离为4，求直线的方程；‎ ‎（2）求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线过定点P，故设直线l的方程为，再由点到直线的距离公式，即可解得k，得出直线方程；（2）设直线方程，，表示出A，B点的坐标，三角形面积为，根据k的取值范围即可取出面积最小值。‎ ‎【详解】解：（1）由题意可设直线的方程为，即， ‎ 则，解得. ‎ 故直线的方程为，即. ‎ ‎（2）因为直线的方程为，所以，， ‎ 则的面积为. ‎ 由题意可知，则（当且仅当时，等号成立）. ‎ 故面积的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查求直线方程和用基本不等式求三角形面积的最小值。‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a和c的值，再利用计算b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到、，由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即，代入和，解出k的值．‎ 试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，‎ 解得，所以，‎ 故所求椭圆C的方程为．‎ ‎（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．‎ 理由如下：‎ 设点，，‎ 将直线方程代入，‎ 并整理，得．（*）‎ 则，．‎ 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，‎ 所以，即．‎ 又，‎ 于是，解得，‎ 经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．‎ 所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．‎ 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，点,圆的半径为2，圆心在直线上 ‎（1）若圆心也在圆上，过点作圆的切线，求切线的方程。‎ ‎（2）若圆上存在点，使,求圆心的纵坐标的取值范围。‎ ‎【答案】（1）或 ‎ ‎（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）建立方程组圆心（2，-2），设切线方程，再由点到直线的距离公式解得或所求切线方程为或 ‎（2）设点，由点在以为圆心，以为半径的圆上，由圆C与圆D有公共点或.‎ 试题解析：（1）解得，所以圆心（2，-2），设切线方程为，即，，解得或，所求切线方程为或 ‎（2）设圆的方程为，设点，因为,所以，化简得，所以点在以为圆心，以8为半径的圆上，由题意知点在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则，即，所以，解得或 ‎ ‎