2019年高考数学总复习检测第51讲　空间中的垂直关系 3页

第51讲　空间中的垂直关系 ‎1．(2015·安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎ 可以结合图形逐项判断．‎ A项，α，β可能相交，故错误；‎ B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；‎ C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；‎ D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．‎ ‎2．(2017·东城区校级月考)l，m，n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是(C)‎ A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l⊥n，m⊥n，则l∥m ‎ A选项中，α∥β，l⊂α，n⊂β，则l与n还可能异面；‎ B选项中，α⊥β，l⊂α，则l与β还可能斜交或平行；‎ C选项中，l⊥α，l∥β，所以β⊥α是正确的；‎ D选项中，l⊥n，m⊥n，则l与m还可能相交或异面，选C.‎ ‎3．如图，ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的点，则下面结论中，错误的是(C)‎ A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥CE D．平面ADE⊥平面BCE　　 因为BE⊥AE，BE⊥DA⇒BE⊥平面ADE⇒BE⊥ED，平面ADE⊥平面BCE.同理可证AE⊥CE.故A、B、D都为真命题．‎ 对于C，假设DE⊥CE，又DE⊥BE⇒DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE⇒DE∥AE，这显然矛盾．故选C.‎ ‎4．α，β，γ为不同平面，a，b为不同直线，给出下列条件：‎ ‎①a⊥α，β∥a; ②α⊥γ，β⊥γ；‎ ‎③a⊥α，b⊥β，a⊥b; ④a⊂α，b⊂β，a⊥b.‎ 其中能使α⊥β成立的条件的个数为(B)‎ A. 1 B．2 ‎ C. 3 D．4‎ ‎ 根据面面垂直的定义与判定，只有①和③能使α⊥β，选B.‎ ‎5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取AB＝4，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，且AC＝3，BD＝12，则CD＝　13　.‎ ‎ 连接AD，则 CD＝＝＝13.‎ ‎6．已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，将它沿AE、AF和EF折起，使点B、C、D重合为一点P，则必有AP　⊥　平面PEF.‎ ‎ 折起后，有 ⇒AP⊥平面PEF.‎ ‎7．(2016·北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎ (1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.‎ 又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.‎ 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.‎ 理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.‎ 又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，‎ 所以PA∥平面CEF.‎ ‎8．(2017·新课标卷Ⅲ)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(C)‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC ‎ 因为A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，所以B，D错；‎ 因为A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，‎ 所以A1E⊥BC1，故C正确；‎ ‎(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，所以BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，所以A1E⊥BC1)‎ 因为A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．‎ 故选C.‎ ‎9．(2017·新课标卷Ⅰ)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为　36π　.‎ ‎ 如图，连接OA，OB.‎ 由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.‎ 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.‎ 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，‎ 所以三棱锥SABC的体积 V＝×(SC·OB)·OA＝，‎ 即＝9，所以r＝3，所以S球表＝4πr2＝36π.‎ ‎10．(2017·新课标卷Ⅰ)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎ (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，‎ 得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD，故AB⊥PD，PD∩AP＝P，‎ 从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.‎ 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，‎ 可得PE⊥平面ABCD.‎ 设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.‎ 故四棱锥PABCD的体积 VPABCD＝AB·AD·PE＝x3.‎ 由题设得x3＝，故x＝2.‎ 从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.‎ 可得四棱锥PABCD的侧面积为 PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.‎