广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何 Word版 30页

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 立体几何 一、选择、填空题 ‎1、（潮州市2017届高三上学期期末）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）‎ A．40cm3 B．30cm3 C．20cm3 D．10cm3‎ ‎2、（东莞市2017届高三上学期期末）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A．　　　B. 1 　　　C.　　　 D. 2‎ ‎3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）　　　A． B． C． D．‎ ‎4、（广州市2017届高三12月模拟）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎5、（惠州市2017届高三第三次调研）某四棱锥的三视图如图3所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ 图3‎ ‎（A）1 ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）2‎ ‎6、（江门市2017届高三12月调研）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是 ‎7、（揭阳市2017届高三上学期期末）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面、，满足，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）b与d是异面直线 ‎8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）一个几何体的三视图如图3所示， ‎ 其表面积为，则该几何体的体积为（　　）‎ A．4p B．2p C． D． 3p ‎ ‎9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知某几何体的三视图如图所示，‎ 则该几何体的表面积为（ ）‎ A. 40 B. 30 C. 36 D.42‎ ‎10、（汕头市2017届高三上学期期末）‎ 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．‎ ‎11、（韶关市2017届高三1月调研）四棱锥的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥的侧面积等于,则该外接球的表面积是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎13、（珠海市2017届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示（图中每个小网格的边长为1 个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎14、（潮州市2017届高三上学期期末）已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为　　．‎ ‎15、（东莞市2017届高三上学期期末）轴截面为等边三角形的圆锥的表面积与其外接球表面积之比为___________.‎ 二、解答题 ‎1、（潮州市2017届高三上学期期末）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面PAB；‎ ‎（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．‎ ‎2、（东莞市2017届高三上学期期末）在如图所示的几何体中， 平面ACE⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 为平行四边形，‎ ‎∠CAD＝90°，EF // BC， EF ＝BC，AC ＝，AE＝EC＝1．‎ ‎（1）求证：CE ⊥AF ；‎ ‎（2）若二面角E－AC－F 的余弦值为，求点D 到平面ACF 的距离．‎ ‎3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））如图，四棱锥中，为正三角形，，，，‎ ‎，为棱的中点 ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值 ‎4、（广州市2017届高三12月模拟）如图, 平面，平面, △是等边三角形，, ‎ 是的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：; ‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，‎ ‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎5、（惠州市2017届高三第三次调研）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎6、（江门市2017届高三12月调研）如图，五面体中，，底面是正三角形，，四边形是矩形，二面角为直二面角，D为AC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角CBC1D的余弦值．‎ ‎7、（揭阳市2017届高三上学期期末）如图3，在四棱锥中，，AD∥BC，AB⊥AD，‎ AO=AB=BC=1，PO=，．‎ ‎(Ⅰ)证明：平面POC⊥平面PAD；‎ ‎(Ⅱ）若AD=2，PA=PD，求CD与平面PAB所成角的余弦值． ‎ ‎8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）如图5，在边长为的正方形ABCD中， E、O分别为 AD、BC的中点，沿 EO将矩形ABOE折起使得 ，如图６所示，点G 在BC上，， M、N分别为AB、EG中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面OBC ； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角 的余弦值．  ‎ ‎9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，过作平面平行于，交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若四边形是正方形，且，求二面角的余弦值．‎ ‎[‎ ‎10、（汕头市2017届高三上学期期末）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设二面角为，求直线与平面所成角的大小.‎ ‎11、（韶关市2017届高三1月调研）已知四棱锥中，平面，底面 为菱形，，是中点，是上的中点，是上的动点．‎ P D C B A F E ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）直线与平面所成角的正切值为，‎ 当是中点时，求二面角的余弦值．‎ ‎12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明： ‎ ‎（Ⅱ）若是的中点，且与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值.‎ ‎13、（珠海市2017届高三上学期期末）如图，四边形 ABCD与BDEF 均为菱形，FA＝FC 且∠DAB＝∠DBF＝60°．‎ ‎(1)求证： AC ⊥平面BDEF ；‎ ‎(2)求证：FC //平面EAD；‎ ‎(3)求二面角 A － FC －B的余弦值．‎ 参考答案 一、选择、填空题 ‎1、【解答】解：由已知中的三视图可知，几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，‎ 棱柱和棱锥的底面面积S=×4×3=6cm2，‎ 棱柱和棱锥高h=5cm，‎ 故组合体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20cm3，‎ 故选：C ‎2、C　　3、D　　4、D　　‎ ‎5、【解析】四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝＝.‎ ‎6、A ‎7、B　　‎ ‎8、D 解：该几何体是一个圆锥、一个圆柱、一个半球的组合体，其表面积为：‎ ‎， ‎ 该几何体的体积为 ．‎ ‎9、C　　10、　　‎ ‎11、【解析】设正方体棱长为，则由的侧面积等于可得，，设是中点，则, 所以，四棱锥外接球球心与正方体外接球球心重合。 ，选B ‎12、A　　13、B ‎14、【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，‎ 记球心为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此时O在PO1的延长线上），在Rt△AO1O中，R2=+（R﹣1）2得R=，‎ ‎∴球的表面积S=．‎ 故答案为．‎ ‎15、‎ 二、解答题 ‎1、【解答】（1）证明：如图，取PB中点G，连接AG，NG，‎ ‎∵N为PC的中点，‎ ‎∴NG∥BC，且NG=，‎ 又AM=2，BC=4，且AD∥BC，‎ ‎∴AM∥BC，且AM=BC，‎ 则NG∥AM，且NG=AM，‎ ‎∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，‎ ‎∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB；‎ ‎（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=5．‎ ‎∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，‎ ‎∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，‎ ‎∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．‎ 在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．‎ 在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，‎ 在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF==‎ ‎∴sin∠ANF==．‎ ‎∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．‎ ‎2、解：（Ⅰ）证明：∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∵，∴平面　　　　　　　　……………1分 平面，∴，　　　　　　　　　……………2分 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………3分 即共面 ……………4分 又，∴平面 ……………5分 ‎ ……………6分 ‎(Ⅱ)因为平面平面，，‎ 如图以A为原点建立空间直角坐标系 设，则 由知平面的一个法向量 ………………7分 设平面的一个法向量，因为 ‎，取，则 …………8分 则， ………………9分 因为二面角的余弦值为 所以，即 …………10分 所以 设点到平面的距离为，则 …………11分 所以点到平面的距离　 ……………………12分 ‎3、‎ ‎4、（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点,‎ ‎ 所以. …………………………………1分 ‎ 因为平面, 平面, ‎ ‎ 所以. …………………………………2分 ‎ 因为, ‎ ‎ 所以平面. ……………………3分 ‎ ‎ 因为平面,‎ ‎ 所以. ……………………………4分 ‎（Ⅱ）法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且 与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 因为平面,‎ 所以为直线与平面所成角. ……………………………………5分 由题意得, 即,…………………………………6分 从而.‎ 不妨设, 又, 则, .…………………………7分 故,, , . ……………………………8分 于是, ,,,‎ 设平面与平面的法向量分别为,‎ ‎ 由 得 令,得, ‎ ‎ 所以. …………………………………9分 ‎ 由 得 令,得, . ‎ ‎ 所以. …………………………………10分 ‎ 所以. …………………………………11分 ‎ ‎ 所以二面角的余弦值为. …………………………………12分 法2: 因为平面,‎ 所以为直线与平面所成角. …………………………………5分 由题意得, 即,…………………………………6分 从而.‎ 不妨设, 又, ‎ 则, , . …………………………………7分 由于平面,平面, 则∥.‎ ‎ 取的中点, 连接, 则.‎ ‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 取的中点, 连接,, ,‎ 则. …………………………………8分 所以为二面角的平面角. …………………………………9分 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 因为, …………………………………10分 所以. …………………………………11分 所以二面角的余弦值为. …………………………………12分 ‎5、解:（Ⅰ）(解法一)：由题意可知 ，解得 ，……分 在中，， …………分 ‎∴，又∵是的中点，∴.　　　① …………分 ‎∵为圆的直径，∴.‎ 由已知知 ，∴，‎ ‎∴ . …………分 ‎∴. ②‎ ‎∴由①②可知：，‎ ‎∴. …………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，∴，，‎ ‎∴是二面角的平面角 . …………8分 ‎, , .‎ ‎∴ .‎ ‎ . ………12分 ‎(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，‎ 由题意可知.解得. ‎ 则，，， ，‎ Q O D B C A G P ‎．‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴ 可求得. …………3分 ‎（Ⅰ），，‎ ‎∴. ‎ ‎∵，‎ ‎∴. …………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,， ，‎ ‎， . ‎ ‎∵，.∴是平面的法向量. ……8分 设是平面的法向量，由，，‎ 解得 ………10分 ‎.‎ 所以二面角的平面角的余弦值. …………12分 ‎6、⑴证明：连结B1C交BC1于O，连接DO……1分 ‎∵四边形BCC1B1是矩形 ∴O为B1C中点……2分 ‎∵D为AC中点，∴AB1//OD……3分 ‎∵平面BDC1∴AB1∥平面BDC1……5分 ‎⑵以B为原点，BC、BB1分别为轴、轴建立空间直角坐标系……6分 则，，，，，‎ ‎，……7分 设为平面BDC1的法向量，则有 ‎……8分 令,可得平面BDC1的一个法向量为……9分 平面BCC1的法向量为……10分 ‎，即二面角CBC1D的余弦值为……12分 ‎7、解：（Ⅰ）在四边形OABC中，‎ ‎∵AO//BC，AO=BC，AB⊥AD，‎ ‎∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------2分 在△POC中，∵，∴OC⊥PO，-------4分 又，∴OC⊥平面PAD，‎ 又平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------6分 ‎（Ⅱ）解法1：由O是AD中点，PA=PD，得PO⊥AD；‎ 以O为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz， ---------- 7分 得，，，，，‎ 得，，，‎ 设是平面PAB的一个法向量，‎ 则，得，取z=1，‎ 得， ----------------------------------------------------------------------------------10分 设CD与平面PAB所成角为，‎ 则，‎ ‎∴，即CD与平面PAB所成角的余弦值为． ------------------------------12分 ‎【解法2：连结OB，‎ ‎∵OD//BC，且OD=BC ∴BCDO为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分 ‎ 由（Ⅰ）知OC⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，‎ ‎∵AB平面，∴平面PAB⊥平面PAD，----------------------------------------------------8分 E 过点O作OE⊥PA于E，连结BE，则OE⊥平面PAB，‎ ‎∴∠OBE为CD与平面PAB所成的角，----------------------10分 在Rt△OEB中，∵,,‎ ‎∴,‎ ‎ 即CD与平面PAB所成角的余弦值为． --------------------------------------------------12分】‎ ‎8、（Ⅰ）证明：法一如图13取OG中点F，连结BF、FN，‎ 则中位线FN∥OE且FNOE，‎ 又BM∥OE且BMOE ……………………1分 所以FN ∥BM且FN ＝ BM，所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN∥BF， ……2分 又MN平面OBC，BF平面OBC，所以MN∥平面OBC. …………………… 4分 法二：如图14，延长EM、OB交于点Q，连结GQ， ‎ 因为BM∥OE且BM＝ OE，所以，‎ M为EQ中点， ……………………………… 1分 所以中位线MN∥QG …………………………2分 又MN平面OBC，QG面OBC，所以MN∥平面OBC. ………………………4分 ‎（Ⅱ）解：法一如图14，因为OB=OC=， ，‎ 所以， ……………………………5分 又．所以，‎ ‎，‎ ‎，， ……………………………………6分 又 平面OBC，OG面OBC ‎ …………………………………………………………………………………7分 又，所以平面OBE，QE面OBE QE ………………8分 又M为EQ中点，所以OQ=OE ，所以 ，‎ 所以平面OMG， ，为二面角的平面角. ………9分 所以中，，， ……11分 ‎， ∴二面角 的余弦值为 ……12分 法二：如图15, OB=OC=， ，‎ ‎， ‎ ‎………………………………………………………5分 又，，‎ ‎，‎ ‎， ………………………………………………………………………………6分 又 平面OBC，‎ ‎ ………………………………………………………7分 又，所以平面OBE，， …………8分 建立如图所示的空间直角坐标系，则M（，G（ ,E（，‎ ‎ ………………………………………………9分 而 是平面BOE的一个法向量 ………………………………………11分 设平面MGE的法向量为 则，　　　　　　　‎ 令 ，则面MGE的一个法向量为， ……………10分 所以 所以，二面角 的余弦值为 ………………………………………12分 ‎9、证：连结，设与相交于点，‎ 连接，则为中点，‎ ‎∵平面平面平面，‎ ‎∴，∴为的中点，‎ 又∵是等边三角形，∴；‎ ‎（2）‎ 因为，所以，‎ 又，所以，又，所以平面，‎ 设的中点为的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．‎ 则，‎ 即，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得，‎ ‎∴．‎ ‎10、（1）解法一：因为底面为菱形，所以，又底面，所以.‎ 设，连结，因为，故，‎ 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，其中，则，于是，从而，故，又，所以平面.‎ ‎（2），设为平面的法向量，则，即且，令，则，设为平面的法向量，则，即且，令，则，所以，因为面面，故，即，故，于是，，，所以，因为与平面所成角和互余，故与平面所成角的角为.‎ ‎11、（Ⅰ）证明：连接 底面为菱形，，‎ 是正三角形，‎ 是中点， ‎ 又，……………………………………………………1分 平面，平面，,………………2分 又 平面， ……………………………… …………………3分 又平面 ‎ 平面平面 ……………………………………4分 P D C B A F E x z y ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ……………………5分 平面，‎ 就是与平面所成的角，…………………6分 在中，，即，‎ 设，则，得，‎ 又，设，则，‎ 所以，‎ 从而， ， ……………………7分 则，，，‎ 所以，，…………8分 设是平面的一个法向量，则 取，得 ………………9分 又平面，是平面的一个法向量，‎ ‎ ……………………10分 ‎ ……………………11分 二面角的余弦值为 ……………………12分 ‎12、证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以. （1分）‎ 又，且是中点，所以. （2分）‎ ‎，所以. （3分）‎ 又，所以. （4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，是在面上的射影，‎ 所以是与面所成的角. （5分）‎ 在Rt△BOE中，，，所以.‎ 在Rt△PEO中，，，所以.‎ 所以，又，‎ 所以，所以. （6分）‎ 又，所以. （7分）‎ 方法一：‎ 过做于，由（Ⅰ）知，所以，所以，‎ ‎，所以是二面角的平面角. （9分）‎ 在△PAC中，，所以，即.‎ 所以. （10分）‎ ‎，得， （11分）‎ ‎，，所以二面角的余弦值为. （12分）‎ 方法二：‎ 如图，以建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎. （9分）‎ 设面的法向量为，则 ，即，得方程的一组解为，即. （10分）‎ 又面的一个法向量为， （11分）‎ 所以，所以二面角的余弦值为. （12分）‎ ‎13、‎