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  • 2021-06-10 发布

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:立体几何 Word版

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广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 立体几何 一、选择、填空题 ‎1、(潮州市2017届高三上学期期末)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(  )‎ A.40cm3 B.30cm3 C.20cm3 D.10cm3‎ ‎2、(东莞市2017届高三上学期期末)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A.   B. 1    C.    D. 2‎ ‎3、(佛山市2017届高三教学质量检测(一))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )   A. B. C. D.‎ ‎4、(广州市2017届高三12月模拟)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥 的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎5、(惠州市2017届高三第三次调研)某四棱锥的三视图如图3所示,该四棱锥最长棱的棱长为(  )‎ 图3‎ ‎(A)1 ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D)2‎ ‎6、(江门市2017届高三12月调研)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是 ‎7、(揭阳市2017届高三上学期期末)若空间四条直线a、b、c、d,两个平面、,满足,,,,则 ‎(A) (B) (C) (D)b与d是异面直线 ‎8、(茂名市2017届高三第一次综合测试)一个几何体的三视图如图3所示, ‎ 其表面积为,则该几何体的体积为(  )‎ A.4p B.2p C. D. 3p ‎ ‎9、(清远市清城区2017届高三上学期期末)已知某几何体的三视图如图所示,‎ 则该几何体的表面积为( )‎ A. 40 B. 30 C. 36 D.42‎ ‎10、(汕头市2017届高三上学期期末)‎ 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .‎ ‎11、(韶关市2017届高三1月调研)四棱锥的三视图如图所示,其五个顶点都在同一球面上,若四棱锥的侧面积等于,则该外接球的表面积是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎12、(肇庆市2017届高三第二次模拟)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎13、(珠海市2017届高三上学期期末)某几何体的三视图如图所示(图中每个小网格的边长为1 个单位),其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )‎ A.   B.   C.   D.‎ ‎14、(潮州市2017届高三上学期期末)已知正四棱锥的底面边长为1,高为1,则这个正四棱锥的外接球的表面积为  .‎ ‎15、(东莞市2017届高三上学期期末)轴截面为等边三角形的圆锥的表面积与其外接球表面积之比为___________.‎ 二、解答题 ‎1、(潮州市2017届高三上学期期末)如图,四棱锥P﹣ABC中,PA⊥ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面PAB;‎ ‎(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎2、(东莞市2017届高三上学期期末)在如图所示的几何体中, 平面ACE⊥平面ABCD , 四边形ABCD 为平行四边形,‎ ‎∠CAD=90°,EF // BC, EF =BC,AC =,AE=EC=1.‎ ‎(1)求证:CE ⊥AF ;‎ ‎(2)若二面角E-AC-F 的余弦值为,求点D 到平面ACF 的距离.‎ ‎3、(佛山市2017届高三教学质量检测(一))如图,四棱锥中,为正三角形,,,,‎ ‎,为棱的中点 ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若直线与平面所成角为,求二面角的余弦值 ‎4、(广州市2017届高三12月模拟)如图, 平面,平面, △是等边三角形,, ‎ 是的中点. ‎ ‎(Ⅰ)求证:; ‎ ‎(Ⅱ)若直线与平面所成角的正切值为,‎ ‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎5、(惠州市2017届高三第三次调研)如图,四边形是圆柱的轴截面,点在圆柱的底面圆周上,是的中点,圆柱的底面圆的半径,侧面积为,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎6、(江门市2017届高三12月调研)如图,五面体中,,底面是正三角形,,四边形是矩形,二面角为直二面角,D为AC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角CBC1D的余弦值.‎ ‎7、(揭阳市2017届高三上学期期末)如图3,在四棱锥中,,AD∥BC,AB⊥AD,‎ AO=AB=BC=1,PO=,.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面POC⊥平面PAD;‎ ‎(Ⅱ)若AD=2,PA=PD,求CD与平面PAB所成角的余弦值. ‎ ‎8、(茂名市2017届高三第一次综合测试)如图5,在边长为的正方形ABCD中, E、O分别为 AD、BC的中点,沿 EO将矩形ABOE折起使得 ,如图6所示,点G 在BC上,, M、N分别为AB、EG中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:MN∥平面OBC ; ‎ ‎(Ⅱ)求二面角 的余弦值.  ‎ ‎9、(清远市清城区2017届高三上学期期末)如图,在三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,过作平面平行于,交于点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若四边形是正方形,且,求二面角的余弦值.‎ ‎[‎ ‎10、(汕头市2017届高三上学期期末)如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设二面角为,求直线与平面所成角的大小.‎ ‎11、(韶关市2017届高三1月调研)已知四棱锥中,平面,底面 为菱形,,是中点,是上的中点,是上的动点.‎ P D C B A F E ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)直线与平面所成角的正切值为,‎ 当是中点时,求二面角的余弦值.‎ ‎12、(肇庆市2017届高三第二次模拟)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,,.‎ ‎(Ⅰ)证明: ‎ ‎(Ⅱ)若是的中点,且与平面所成的角的正切值为,求二面角的余弦值.‎ ‎13、(珠海市2017届高三上学期期末)如图,四边形 ABCD与BDEF 均为菱形,FA=FC 且∠DAB=∠DBF=60°.‎ ‎(1)求证: AC ⊥平面BDEF ;‎ ‎(2)求证:FC //平面EAD;‎ ‎(3)求二面角 A - FC -B的余弦值.‎ 参考答案 一、选择、填空题 ‎1、【解答】解:由已知中的三视图可知,几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥,‎ 棱柱和棱锥的底面面积S=×4×3=6cm2,‎ 棱柱和棱锥高h=5cm,‎ 故组合体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20cm3,‎ 故选:C ‎2、C  3、D  4、D  ‎ ‎5、【解析】四棱锥的直观图如图所示,PC⊥平面ABCD,PC=1,底面四边形ABCD为正方形且边长为1,最长棱长PA==.‎ ‎6、A ‎7、B  ‎ ‎8、D 解:该几何体是一个圆锥、一个圆柱、一个半球的组合体,其表面积为:‎ ‎, ‎ 该几何体的体积为 .‎ ‎9、C  10、  ‎ ‎11、【解析】设正方体棱长为,则由的侧面积等于可得,,设是中点,则, 所以,四棱锥外接球球心与正方体外接球球心重合。 ,选B ‎12、A  13、B ‎14、【解答】解:正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,‎ 记球心为O,PO=AO=R,PO1=1,OO1=R﹣1,或OO1=1﹣R(此时O在PO1的延长线上),在Rt△AO1O中,R2=+(R﹣1)2得R=,‎ ‎∴球的表面积S=.‎ 故答案为.‎ ‎15、‎ 二、解答题 ‎1、【解答】(1)证明:如图,取PB中点G,连接AG,NG,‎ ‎∵N为PC的中点,‎ ‎∴NG∥BC,且NG=,‎ 又AM=2,BC=4,且AD∥BC,‎ ‎∴AM∥BC,且AM=BC,‎ 则NG∥AM,且NG=AM,‎ ‎∴四边形AMNG为平行四边形,则NM∥AG,‎ ‎∵AG⊂平面PAB,NM⊄平面PAB,‎ ‎∴MN∥平面PAB;‎ ‎(2)解:在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC=,得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=5.‎ ‎∴AM2+MC2=AC2,则AM⊥MC,‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,PA⊂平面PAD,‎ ‎∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD,‎ ‎∴CM⊥平面PAD,则平面PNM⊥平面PAD.‎ 在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角.‎ 在Rt△PAC中,由N是PC的中点,得AN==,‎ 在Rt△PAM中,由PA•AM=PM•AF,得AF==‎ ‎∴sin∠ANF==.‎ ‎∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.‎ ‎2、解:(Ⅰ)证明:∵平面平面,且平面平面,‎ ‎∵,∴平面        ……………1分 平面,∴,         ……………2分 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴                   ……………3分 即共面 ……………4分 又,∴平面 ……………5分 ‎ ……………6分 ‎(Ⅱ)因为平面平面,,‎ 如图以A为原点建立空间直角坐标系 设,则 由知平面的一个法向量 ………………7分 设平面的一个法向量,因为 ‎,取,则 …………8分 则, ………………9分 因为二面角的余弦值为 所以,即 …………10分 所以 设点到平面的距离为,则 …………11分 所以点到平面的距离  ……………………12分 ‎3、‎ ‎4、(Ⅰ)因为△是等边三角形,是的中点,‎ ‎ 所以. …………………………………1分 ‎ 因为平面, 平面, ‎ ‎ 所以. …………………………………2分 ‎ 因为, ‎ ‎ 所以平面. ……………………3分 ‎ ‎ 因为平面,‎ ‎ 所以. ……………………………4分 ‎(Ⅱ)法1: 以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过且 与直线平行的直线为轴,建立空间直角坐标系.‎ 因为平面,‎ 所以为直线与平面所成角. ……………………………………5分 由题意得, 即,…………………………………6分 从而.‎ 不妨设, 又, 则, .…………………………7分 故,, , . ……………………………8分 于是, ,,,‎ 设平面与平面的法向量分别为,‎ ‎ 由 得 令,得, ‎ ‎ 所以. …………………………………9分 ‎ 由 得 令,得, . ‎ ‎ 所以. …………………………………10分 ‎ 所以. …………………………………11分 ‎ ‎ 所以二面角的余弦值为. …………………………………12分 法2: 因为平面,‎ 所以为直线与平面所成角. …………………………………5分 由题意得, 即,…………………………………6分 从而.‎ 不妨设, 又, ‎ 则, , . …………………………………7分 由于平面,平面, 则∥.‎ ‎ 取的中点, 连接, 则.‎ ‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 取的中点, 连接,, ,‎ 则. …………………………………8分 所以为二面角的平面角. …………………………………9分 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 因为, …………………………………10分 所以. …………………………………11分 所以二面角的余弦值为. …………………………………12分 ‎5、解:(Ⅰ)(解法一):由题意可知 ,解得 ,……分 在中,, …………分 ‎∴,又∵是的中点,∴.   ① …………分 ‎∵为圆的直径,∴.‎ 由已知知 ,∴,‎ ‎∴ . …………分 ‎∴. ②‎ ‎∴由①②可知:,‎ ‎∴. …………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知: ,∴,,‎ ‎∴是二面角的平面角 . …………8分 ‎, , .‎ ‎∴ .‎ ‎ . ………12分 ‎(解法二):建立如图所示的直角坐标系,‎ 由题意可知.解得. ‎ 则,,, ,‎ Q O D B C A G P ‎.‎ ‎∵是的中点,‎ ‎∴ 可求得. …………3分 ‎(Ⅰ),,‎ ‎∴. ‎ ‎∵,‎ ‎∴. …………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,, ,‎ ‎, . ‎ ‎∵,.∴是平面的法向量. ……8分 设是平面的法向量,由,,‎ 解得 ………10分 ‎.‎ 所以二面角的平面角的余弦值. …………12分 ‎6、⑴证明:连结B1C交BC1于O,连接DO……1分 ‎∵四边形BCC1B1是矩形 ∴O为B1C中点……2分 ‎∵D为AC中点,∴AB1//OD……3分 ‎∵平面BDC1∴AB1∥平面BDC1……5分 ‎⑵以B为原点,BC、BB1分别为轴、轴建立空间直角坐标系……6分 则,,,,,‎ ‎,……7分 设为平面BDC1的法向量,则有 ‎……8分 令,可得平面BDC1的一个法向量为……9分 平面BCC1的法向量为……10分 ‎,即二面角CBC1D的余弦值为……12分 ‎7、解:(Ⅰ)在四边形OABC中,‎ ‎∵AO//BC,AO=BC,AB⊥AD,‎ ‎∴四边形OABC是正方形,得OC⊥AD,-----------------------2分 在△POC中,∵,∴OC⊥PO,-------4分 又,∴OC⊥平面PAD,‎ 又平面POC,∴平面POC⊥平面PAD;-------------6分 ‎(Ⅱ)解法1:由O是AD中点,PA=PD,得PO⊥AD;‎ 以O为原点,如图建立空间直角坐标系O-xyz, ---------- 7分 得,,,,,‎ 得,,,‎ 设是平面PAB的一个法向量,‎ 则,得,取z=1,‎ 得, ----------------------------------------------------------------------------------10分 设CD与平面PAB所成角为,‎ 则,‎ ‎∴,即CD与平面PAB所成角的余弦值为. ------------------------------12分 ‎【解法2:连结OB,‎ ‎∵OD//BC,且OD=BC ∴BCDO为平行四边形,∴OB//CD, ----------------------------7分 ‎ 由(Ⅰ)知OC⊥平面PAD,∴AB⊥平面PAD,‎ ‎∵AB平面,∴平面PAB⊥平面PAD,----------------------------------------------------8分 E 过点O作OE⊥PA于E,连结BE,则OE⊥平面PAB,‎ ‎∴∠OBE为CD与平面PAB所成的角,----------------------10分 在Rt△OEB中,∵,,‎ ‎∴,‎ ‎ 即CD与平面PAB所成角的余弦值为. --------------------------------------------------12分】‎ ‎8、(Ⅰ)证明:法一如图13取OG中点F,连结BF、FN,‎ 则中位线FN∥OE且FNOE,‎ 又BM∥OE且BMOE ……………………1分 所以FN ∥BM且FN = BM,所以四边形BFNM是平行四边形,所以MN∥BF, ……2分 又MN平面OBC,BF平面OBC,所以MN∥平面OBC. …………………… 4分 法二:如图14,延长EM、OB交于点Q,连结GQ, ‎ 因为BM∥OE且BM= OE,所以,‎ M为EQ中点, ……………………………… 1分 所以中位线MN∥QG …………………………2分 又MN平面OBC,QG面OBC,所以MN∥平面OBC. ………………………4分 ‎(Ⅱ)解:法一如图14,因为OB=OC=, ,‎ 所以, ……………………………5分 又.所以,‎ ‎,‎ ‎,, ……………………………………6分 又 平面OBC,OG面OBC ‎ …………………………………………………………………………………7分 又,所以平面OBE,QE面OBE QE ………………8分 又M为EQ中点,所以OQ=OE ,所以 ,‎ 所以平面OMG, ,为二面角的平面角. ………9分 所以中,,, ……11分 ‎, ∴二面角 的余弦值为 ……12分 法二:如图15, OB=OC=, ,‎ ‎, ‎ ‎………………………………………………………5分 又,,‎ ‎,‎ ‎, ………………………………………………………………………………6分 又 平面OBC,‎ ‎ ………………………………………………………7分 又,所以平面OBE,, …………8分 建立如图所示的空间直角坐标系,则M(,G( ,E(,‎ ‎ ………………………………………………9分 而 是平面BOE的一个法向量 ………………………………………11分 设平面MGE的法向量为 则,       ‎ 令 ,则面MGE的一个法向量为, ……………10分 所以 所以,二面角 的余弦值为 ………………………………………12分 ‎9、证:连结,设与相交于点,‎ 连接,则为中点,‎ ‎∵平面平面平面,‎ ‎∴,∴为的中点,‎ 又∵是等边三角形,∴;‎ ‎(2)‎ 因为,所以,‎ 又,所以,又,所以平面,‎ 设的中点为的中点为,以为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.‎ 则,‎ 即,‎ 设平面的法向量为,‎ 由,得,令,得,‎ 设平面的法向量为,‎ 由,得,令,得,‎ ‎∴.‎ ‎10、(1)解法一:因为底面为菱形,所以,又底面,所以.‎ 设,连结,因为,故,‎ 解法二:以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,其中,则,于是,从而,故,又,所以平面.‎ ‎(2),设为平面的法向量,则,即且,令,则,设为平面的法向量,则,即且,令,则,所以,因为面面,故,即,故,于是,,,所以,因为与平面所成角和互余,故与平面所成角的角为.‎ ‎11、(Ⅰ)证明:连接 底面为菱形,,‎ 是正三角形,‎ 是中点, ‎ 又,……………………………………………………1分 平面,平面,,………………2分 又 平面, ……………………………… …………………3分 又平面 ‎ 平面平面 ……………………………………4分 P D C B A F E x z y ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,两两垂直,以所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系, ……………………5分 平面,‎ 就是与平面所成的角,…………………6分 在中,,即,‎ 设,则,得,‎ 又,设,则,‎ 所以,‎ 从而, , ……………………7分 则,,,‎ 所以,,…………8分 设是平面的一个法向量,则 取,得 ………………9分 又平面,是平面的一个法向量,‎ ‎ ……………………10分 ‎ ……………………11分 二面角的余弦值为 ……………………12分 ‎12、证明:(Ⅰ)因为底面是菱形,所以. (1分)‎ 又,且是中点,所以. (2分)‎ ‎,所以. (3分)‎ 又,所以. (4分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,是在面上的射影,‎ 所以是与面所成的角. (5分)‎ 在Rt△BOE中,,,所以.‎ 在Rt△PEO中,,,所以.‎ 所以,又,‎ 所以,所以. (6分)‎ 又,所以. (7分)‎ 方法一:‎ 过做于,由(Ⅰ)知,所以,所以,‎ ‎,所以是二面角的平面角. (9分)‎ 在△PAC中,,所以,即.‎ 所以. (10分)‎ ‎,得, (11分)‎ ‎,,所以二面角的余弦值为. (12分)‎ 方法二:‎ 如图,以建立空间直角坐标系,‎ ‎,,,,‎ ‎,,‎ ‎. (9分)‎ 设面的法向量为,则 ,即,得方程的一组解为,即. (10分)‎ 又面的一个法向量为, (11分)‎ 所以,所以二面角的余弦值为. (12分)‎ ‎13、‎

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