2019届二轮复习第1讲　空间几何体课件（44张）（全国通用） 44页

第 1 讲　空间几何体 专题四　立体几何与空间向量 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算 . 2 . 考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正 ( 主 ) 视图的下面，长度与正 ( 主 ) 视图的长度一样，侧 ( 左 ) 视图放在正 ( 主 ) 视图的右面，高度与正 ( 主 ) 视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样 . 即 “ 长对正、高平齐、宽相等 ”. 2. 由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正 ( 主 ) 视图与侧 ( 左 ) 视图确定几何体 . 热点一　三视图与 直观图 例 1 　 (1)(2018· 全国 Ⅲ ) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 . 构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头 . 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以 是 解析 答案 √ 解析　 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A. 解析 (2) 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ( 如图所示 ) ， ∠ ABC ＝ 45° ， AB ＝ AD ＝ 1 ， DC ⊥ BC ，则这块菜地的 面积 为 ________. 答案 解析　 如图，在直观图中，过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为点 E ， 而四边形 AECD 为矩形， AD ＝ 1 ， 由此可还原原图形如图所示 . 且 A ′ D ′∥ B ′ C ′ ， A ′ B ′⊥ B ′ C ′ ， 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正 ( 主 ) 视图或侧 ( 左 ) 视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果 . 在还原空间几何体实际形状时，一般是以正 ( 主 ) 视图和俯视图为主，结合侧 ( 左 ) 视图进行综合考虑 . 思维升华 答案 解析 跟踪演练 1 　 (1)(2018· 衡水调研 ) 某几何体的正 ( 主 ) 视图与俯视图如图所示，则其侧 ( 左 ) 视图可以 为 √ 解析　 由俯视图与正 ( 主 ) 视图可知，该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧 ( 左 ) 视图为矩形内有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项 B 符合题意，故选 B. (2)(2018· 合肥质检 ) 如图，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， G 分别为棱 CD ， CC 1 ， A 1 B 1 的中点，用过点 E ， F ， G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧 ( 左 ) 视图为 答案 解析 √ 解析　 取 AA 1 的中点 H ，连接 GH ，则 GH 为过点 E ， F ， G 的平面与正方体的面 A 1 B 1 BA 的交线 . 延长 GH ，交 BA 的延长线与点 P ，连接 EP ，交 AD 于点 N ，则 NE 为过点 E ， F ， G 的平面与正方体的面 ABCD 的交线 . 同理，延长 EF ，交 D 1 C 1 的延长线于点 Q ，连接 GQ ，交 B 1 C 1 于点 M ，则 FM 为过点 E ， F ， G 的平面与正方体的面 BCC 1 B 1 的交线 . 所以过点 E ， F ， G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形 EFMGHN . 故可得位于截面以下部分的几何体的侧 ( 左 ) 视图为选项 C 所示 . 热点二　几何体的表面积与 体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧 . 答案 例 2 　 (1)(2018· 百校联盟联考 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 解析 √ 解析　 由三视图可知，该几何体的下底面是长为 4 ，宽为 2 的矩形， 所以该几何体的表面积为 (2) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积 是 ________ ，表面积是 _________ _ ____. 解析　 由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成， 解析 答案 (1) 求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和 . (2) 求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 . 思维升华 跟踪演练 2 　 (1)(2018· 齐鲁名校教科研协作体模拟 ) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器 —— 商鞅铜方升，其三视图如图所示 ( 单位：寸 ) ，若 π 取 3 ，其体积为 12.6 立方寸，则图中的 x 为 A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4 解析　 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成 . 解析 解得 x ＝ 1.6. 答案 √ 答案 (2) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.11 B.9 C.7 D.5 解析 解析　 由三视图知，该几何体如图，它可分成一个三棱锥 E － ABD 和一个四棱锥 B － CDEF ， √ 热点三　多面体与球 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图 . 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径 . 球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 . 球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心 ( 或 “ 切点 ”“ 接点 ” ) 作出截面图 . 例 3 　 (1)(2018· 武汉调研 ) 已知正三棱锥 S － ABC 的顶点均在球 O 的球面上，过侧棱 SA 及球心 O 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为 2 ， 则球 O 的表面积为 A.16π B.18π C.24π D.32π 答案 解析 √ 解析　 设正三棱锥的底面边长为 a ，外接球的半径为 R ， 因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为 a ， 解得 R ＝ 2 ，所以球的表面积为 S ＝ 4π R 2 ＝ 16π. (2)(2018· 衡水金卷信息卷 ) 如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为 答案 解析 √ 解析 　 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为 20,24,16 的长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， 三棱锥 B － KLJ 即为所求的三棱锥 ， 其中 KC 1 ＝ 9 ， C 1 L ＝ LB 1 ＝ 12 ， B 1 B ＝ 16 ， 则 △ KC 1 L ∽△ LB 1 B ， ∠ KLB ＝ 90° ， 故可求得三棱锥各面面积分别为 S △ BKL ＝ 150 ， S △ JKL ＝ 150 ， S △ JKB ＝ 250 ， S △ JLB ＝ 250 ， 故表面积为 S 表 ＝ 800. 三棱锥 P － ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1) 点 P 可作为长方体上底面的一个顶点，点 A ， B ， C 可作为下底面的三个顶点 . (2) P － ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (1)(20 18· 咸阳模拟 ) 在三棱锥 P － ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ BC ，若 AB ＝ 2 ， BC ＝ 3 ， PA ＝ 4 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.13π B.20π C.25π D.29π 答案 解析 √ 解析　 把三棱锥 P － ABC 放到长方体中，如图所示， 答案 解析 (2)(2018· 四川成都名校联考 ) 已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的内切球的表面积为 S 1 ，外接球的表面积为 S 2 ， 则 等于 A.1 ∶ 2 B.1 ∶ 3 C.1 ∶ 4 D.1 ∶ 8 √ 解析 　 如图， 由已知圆锥侧面积是底面积的 2 倍 ， 不妨 设底面圆半径为 r ， l 为底面圆周长， R 为母线长， 解得 R ＝ 2 r ，故 ∠ ADC ＝ 30° ，则 △ DEF 为等边三角形， 设 B 为 △ DEF 的重心，过 B 作 BC ⊥ DF ， 则 DB 为圆锥的外接球半径， BC 为圆锥的内切球半径， 真题押题精练 1.(2018· 全国 Ⅰ 改编 ) 某圆柱的高为 2 ，底面周长为 16 ，其三视图如右图 . 圆柱表面上的 点 M 在正 ( 主 ) 视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在侧 ( 左 ) 视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 ________. 真题体验 答案 解析 解析　 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点 M ， N 的位置如图 ① 所示 . 圆柱的侧面展开图及 M ， N 的 位置 ( N 为 OP 的四等分点 ) 如图 ② 所示，连接 MN ，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径 . 2.(2017· 北京改编 ) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ________. 解析 解析　 在正方体中还原该四棱锥，如图所示， 可知 SD 为该四棱锥的最长棱 . 由三视图可知，正方体的棱长为 2 ， 答案 3.(2017· 天津 ) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个 正方体 的 表面积为 18 ，则这个球的体积为 _____. 解析 答案 答案 解析 4.(2017· 全国 Ⅰ ) 已知三棱锥 S — ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA ⊥ 平面 SCB ， SA ＝ AC ， SB ＝ BC ，三棱锥 S — ABC 的体积为 9 ，则球 O 的表面积为 ________. 36π 解析　 如图，连接 OA ， OB . 由 SA ＝ AC ， SB ＝ BC ， SC 为球 O 的直径知 ， OA ⊥ SC ， OB ⊥ SC . 由平面 SCA ⊥ 平面 SCB ，平面 SCA ∩ 平面 SCB ＝ SC ， ∴ OA ⊥ 平面 SCB . 设球 O 的半径为 r ，则 OA ＝ OB ＝ r ， SC ＝ 2 r ， 押题预测 答案 解析 押题依据 押题依据 　求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点 . 此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积 . 1. 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为 √ 高 PD ＝ 2 的四棱锥 P － ABCD ， 因为 PD ⊥ 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 是正方形， 易得 BC ⊥ PC ， BA ⊥ PA ， 答案 解析 押题依据 押题依据　 灵活运用正三棱锥中线与棱之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点 . 2. 在正三棱锥 S － ABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AM ⊥ SB ，底面边长 AB ＝ 2 ， 则正三棱锥 S － ABC 的外接球的表面积为 A.6π B.12π C.32π D.36π √ 解析　 因为三棱锥 S － ABC 为正三棱锥 ，所以 SB ⊥ AC ， 又 AM ⊥ SB ， AC ∩ AM ＝ A ， AC ， AM ⊂ 平面 SAC ， 所以 SB ⊥ 平面 SAC ， 所以 SB ⊥ SA ， SB ⊥ SC ，同理 SA ⊥ SC ， 所以 SA ＝ SB ＝ SC ＝ 2 ， 所以 (2 R ) 2 ＝ 3 × 2 2 ＝ 12 ， 所以 球的表面积 S ＝ 4π R 2 ＝ 12π ，故选 B. 解析 押题依据 押题依据　 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积 . 本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注 . 3. 已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的 体 积 与圆柱的体积的比值为 ________. 答案 解析 　 如图所示，设圆柱的底面半径为 r ，