【数学】2018届一轮复习人教A版条件及其判断教案 8页

‎2018年高考数学（理）一轮复习讲义：条件及其判断 一、考纲要求 理解充分条件、必要条件、充要条件，会进行条件判断以及条件的证明，能根据条件求参数范围。‎ 二、考题规律 一般以填空题形式考查条件判断及由条件求参数范围；以解答题形式考查条件的证明及与其他知识相综合的问题。通常是中低档题。‎ 三、考向预测 预计今年在填空题中考查条件的判断，或由条件求参数范围。有可能考查条件的证明，或先寻求条件，再证明。‎ ‎【知识网络】‎ 条件 定义 判断方法 充分条件 如果pq，那么称p是q的充分条件。‎ 法一：证明两个命题的真假（一个是原命题：“若p，则q”或它的逆否命题，一个是它的逆命题或它的否命题）‎ 法二：对应集合间的关系 必要条件 如果qp，那么称p是q的必要条件。‎ 充分不必要条件 如果pq且qp，那么称p是q的充分不必要条件。‎ 必要不充分条件 如果qp且pq，那么称p是q的必要不充分条件。‎ 充要条件 如果pq且qp，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作pq。‎ 既不充分也不必要条件 如果pq且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件。‎ ‎【判断方法】‎ 方法一：直接利用定义判断，即利用命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；‎ 方法二：利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”，即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。‎ 方法三：从集合的角度理解：对于AB而言：若xA，则xB（是A的，必是B的），“xA”是“xB”的充分条件，而“xB”是“xA”的必要条件。‎ ‎【随堂练习】（福建高考改编）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“”的________条件。‎ 思路分析：当a＝3时，A＝{1，3}，；当AB时，a＝2或a＝3，所以是充分而不必要条件。‎ 答案：充分而不必要 例题1 （安徽高考改编）求证：“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件。‎ 思路分析：可以通过证明两个命题的真假来证明充分必要条件：一个是“若，则函数在区间内单调递增”；另一个是“若函数在区间内单调递增，则”。‎ 答案：证明：（1）充分性：当a＝0时，，函数在区间内单调递增；当时，则二次函数y＝ax2－x的对称轴<0，且x＝0时y＝0，此时y＝ax2－x在区间（0，＋∞）上单调递减且y<0恒成立，故在区间（0，＋∞）上单调递增；所以是函数在区间内单调递增的充分条件；‎ ‎（2）必要性：若a>0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴>0，且在区间上y<0，此时f（x）＝|ax2－x|在区间上单调递增，在区间上单调递减，故函数f（x）不可能在区间（0，＋∞）上单调递增，所以是函数在区间内单调递增的必要条件。 ‎ 综上：“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件。‎ 例题2 已知函数，且给定条件：“”。‎ ‎（1）求的最大值和最小值；‎ ‎（2）若条件：“”，且是的充分条件，求实数的取值范围。‎ 思路分析：（1）利用二倍角公式和引入辅助角公式将函数化为只含一个角的三角函数，由给定角的范围结合正弦函数的性质可得函数的最大值和最小值；（2）由是的充分条件可得、对应的函数值范围之间的关系，列式求解。‎ 答案：解：（1），又∵，∴，此时，∴的最大值为7，最小值为5。‎ ‎（2）∵，且是的充分条件，‎ ‎∴，∴实数的取值范围是。‎ ‎【方法与技巧】‎ 充分条件和必要条件的证明需要从两个方面考虑：是否充分、是否必要。要证明命题的条件是充要的，必须要证两个方面，通常通过证明两个命题成立，既证明原命题成立，也证明它的逆命题成立。具体地证明“是的充要条件”，既要证明命题“”为真，又要证明命题“”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性。‎ ‎【易错点津】‎ 注意充要条件的证明书写格式，要注意区分充分性与必要性；如果分不清两步证明中哪个证的是充分性哪个证的是必要性，那么可不写出“充分性”与“必要性”等文字，但要标注（1）、（2）。有的命题如果能采用“”符号来叙述证题过程，就不需分充分性与必要性了。‎ 熟悉充要条件的同义词语：“当且仅当”，“等价于”，“…反之也成立”‘“须且只须”，“原命题成立，逆命题也成立”以及立体几何中的“确定”等。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2. 若向量＝（x，3）（x∈R），则“x＝‎4”‎是“||＝‎5”‎的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎*3. 已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎*4. “m>n>‎0”‎是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5. 已知m，n∈R，则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎**6. “θ＝”是“tanθ＝2cos”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、填空题 ‎**7. 给出以下四个命题：‎ ‎①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题。‎ ‎②命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆命题。‎ ‎③设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件。‎ ‎④命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题。‎ 其中真命题的序号是________。‎ ‎8. 是直线和直线垂直的 ___________（用“充要条件”，“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，或“既不充分也不必要条件”填空）。‎ ‎*9. “是”的___________（用“充要条件”，“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，或“既不充分也不必要条件”填空）。‎ 三、解答题 ‎**10. 已知的解为条件p，关于的不等式的解为条件。‎ ‎（1）若是的充分不必要条件时，求实数的取值范围。 ‎ ‎ （2）若是的充分不必要条件时，求实数的取值范围。 ‎ ‎11. 给出下列命题：‎ ‎（1）p：x－2＝0，q：（x－2）（x－3）＝0。‎ ‎（2）p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根。‎ ‎（3）已知四边形M，p：M是矩形；q：M的对角线相等。‎ 试分别指出p是q的什么条件。‎ ‎**12. 已知集合A为函数的定义域，集合。‎ ‎（1）若，求a的值；‎ ‎（2）求证是的充分不必要条件。‎ ‎1. D 解析：由a2>b2不能推出a>b，例如：（－2）2>12，但－2<1；由a>b不能推出a2>b2，‎ 例如：1>－2，但12<（－2）2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件。‎ ‎2. A 解析：当x＝4时，|a|＝＝5‎ 当|a|＝＝5时，解得x＝±4。‎ 所以“x＝4”是“|a|＝‎5”‎的充分不必要条件。‎ ‎*3. A 解析：点Pn（n，an）在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A。‎ ‎*4. C 解析：由m>n>0可以得方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立。故选C。‎ ‎5. A 解析：由mn≠0⇔m≠0且n≠0，故选A。‎ ‎**6. A 解析：∵θ＝为方程tanθ＝2cos的解，‎ ‎∴θ＝是tanθ＝2cos成立的充分条件；‎ 又∵θ＝也是方程tanθ＝2cos的解，‎ ‎∴θ＝不是tanθ＝2cos的必要条件，故选A。‎ ‎7. ②③④ 解析：①∵p∨q为真，∴p真或q真，故p∧q不一定为真命题，故①假；‎ ‎②逆命题：若A∪B＝B，则A∩B＝A，∵A∪B＝B，A⊆B，∴A∩B＝A，故②真；‎ ‎③由条件得，＝＝，当B＝60°时，有sinA＝，注意b>a，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝，B＝60°，或B＝120°，故③真；‎ ‎④否命题：若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数，这是一个真命题，假若f（－x）为奇函数，则f[－（－x）]＝－f（－x），即f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数，与条件矛盾，故④真。‎ ‎**8. 充分不必要条件 解析：若直线和直线垂直，则有，即，解得m=－1或m=0，所以根据充要条件的判断定义知：由m=－1可以推出两直线垂直，但由两直线垂直不一定推出m=－1，还可以m=0。所以应该填写充分不必要条件。‎ ‎9. 必要不充分条件 解析： ‎ x＋y＝7或x－y＋1＝0，所以x＋y＝7，‎ x＋y＝7，即，‎ ‎，故填“必要不充分条件”。‎ ‎10. 解：（1）设条件的解集为集合A，则 ‎ 设条件的解集为集合B，则 若是的充分不必要条件，则是的真子集 ‎。‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集 ‎。‎ ‎**11. 解：（1）∵x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0；‎ 而（x－2）（x－3）＝0⇒x－2＝0。‎ ‎∴p是q的充分不必要条件。‎ ‎（2）∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；‎ 方程x2－x－m＝0无实根⇒m<－2。‎ ‎∴p是q的充分不必要条件。‎ ‎（3）∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；‎ 而对角线相等的四边形不一定是矩形。‎ ‎∴qp。‎ ‎∴p是q的充分不必要条件。‎ ‎**12. （1）解：要使函数有意义，需 即 由得，即 ‎ ‎ 从而 ‎（2）证明：由（1）知，，‎ 当时，‎ 由，有 反之，若，可取，则小于2。‎ 所以，是的充分不必要条件