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- 2021-06-10 发布
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章末检测
一、选择题
1.已知直线l的方程为y=-x+1,则直线l的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.60° D.135°
答案 D
解析 由题意可知,直线l的斜率为-1,故由tan 135°=-1,可知直线l的倾斜角为135°.
2.已知点A(0,4),B(4,0)在直线l上,则l的方程为( )
A.x+y-4=0 B.x-y-4=0
C.x+y+4=0 D.x-y+4=0
答案 A
解析 由截距式方程可得l的方程为+=1,即x+y-4=0.
3.点(1,1)到直线x+y-1=0的距离为( )
A.1 B.2 C. D.
答案 C
解析 由点到直线的距离公式得d==.
4.已知直线l1:ax-y-2=0和直线l2:(a+2)x-y+1=0互相垂直,则实数a的值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案 A
解析 l1的斜率为a,l2的斜率为a+2,
∵l1⊥l2,∴a(a+2)=-1.
∴a2+2a+1=0即a=-1.
5.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为,则m,n的值分别为( )
A.4和3 B.-4和3
C.-4和-3 D.4和-3
答案 C
解析 由题意知:-=-,即3m=4n,且有-=,∴n=-3,m=-4.
6.和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0
C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0
答案 A
解析 设所求直线上的任一点为(x,y),则此点关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),因为点(x,-y)在直线3x-4y+5=0上,所以3x+4y+5=0.
7.两点A(a+2,b+2)和B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称,则a,b的值分别为( )
A.-1,2 B.4,-2
C.2,4 D.4,2
答案 D
解析 A、B关于直线4x+3y=11对称,则kAB=,
即=,①
且AB中点在已知直线上,代入得
2(b+2)+3=11,②
解①②组成的方程组得故选D.
8. 如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.2 B.6
C.3 D.2
答案 A
解析 由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0)
,则光线所经过的路程PMN的长为|CD|=2.
9.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过的定点是( )
A.(2,3) B.(-2,3)
C. D.(-2,0)
答案 B
解析 将直线方程变为:a(x+2)+(-x-y+1)=0,则直线恒过两直线x+2=0与-x-y+1=0的交点,
解方程组得
即直线过定点(-2,3).
10.已知点M(1,0)和N(-1,0),直线2x+y=b与线段MN相交,则b的取值范围为( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C. D.[0,2]
答案 A
解析 直线可化成y=-2x+b,当直线过点M时,可得b=2;当直线过点N时,可得b=-2.所以要使直线与线段MN相交,b的取值范围为[-2,2].
二、填空题
11.过点(1,3)且在x轴的截距为2的直线方程是________.
答案 3x+y-6=0
解析 由题意设所求直线的方程为+=1,
又点(1,3)满足该方程,故+=1,
∴b=6.
即所求直线的方程为+=1,
化为一般式得3x+y-6=0.
12.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为________.
答案 2x+3y-2=0
解析 由方程组得交点A(-2,2),因为所求直线垂直于直线3x-2y+4=0,故所求直线的斜率k=-,由点斜式得所求直线方程为y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0.
13.已知直线l与直线y=1,x-y-7=0分别相交于P、Q两点,线段PQ的中点坐标为
(1,-1),那么直线l的斜率为________.
答案 -
解析 设P(x,1),则Q(2-x,-3),将Q坐标代入x-y-7=0得,2-x+3-7=0.
∴x=-2,∴P(-2,1),
∴kl=-.
14.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.
答案 (2,4)
解析 设平面上任一点M,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当A,M,C共线时取等号,同理|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当B,M,D共线时取等号,连接AC,BD交于一点M,若|MA|+|MC|+|MB|+|MD|最小,则点M为所求.
又kAC==2,∴直线AC的方程为y-2=2(x-1),
即2x-y=0.①
又kBD==-1,
∴直线BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0.②
由①②得∴∴M(2,4).
三、解答题
15.已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2
(1)相交;(2)平行;(3)重合.
解 当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,∴l1∥l2.
当m=2时,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0,
∴l1与l2相交.
当m≠0且m≠2时,由=得m=-1或m=3,由=,得m=3.
故(1)当m≠-1且m≠3且m≠0时,l1与l2相交.
(2)当m=-1或m=0时,l1∥l2.
(3)当m=3时,l1与l2重合.
16.直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.
解 (1)由得交点为(1,6),
又直线l垂直于直线x-2y-6=0,
所以直线l的斜率为k=-2.
故直线l的方程为y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.
(2)由于P(a,1)到直线l的距离等于,
则=,解得a=1或a=6.
17.(1)已知直线y=x-1的倾斜角为α,另一直线l的倾斜角β=2α,且过点M(2,-1),求l的方程;
(2)已知直线l过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程.
解 (1)∵已知直线的斜率为,即tan α=,
∴α=30°.∴直线l的斜率k=tan 2α=tan 60°=.
又l过点(2,-1),∴l的方程为y-(-1)=(x-2),即x-y-2-1=0.
(2)显然,直线l与两坐标轴不垂直,否则不构成三角形,设l的斜率为k,则k≠0,则l的方程为y-3=k(x+2).
令x=0,得y=2k+3;
令y=0,得x=--2.
于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为|(2k+3)·(--2)|=4,即(2k+3)(+2)=±8,
解得k=-或k=-.
∴l的方程为y-3=-(x+2),或y-3=-(x+2).
即x+2y-4=0或9x+2y+12=0.
18.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶,若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.
解 (1)∵l2为2x-y-=0,
∴l1与l2的距离为d==.
∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0)满足②,则P点在与l1、l2平行的直线l′:2x-y+c=0上且=·,
即c=或c=,∴有2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.若点P满足条件③,由点到直线的距离公式有:
=·,
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,
∴x0-2y0+4=0,或3x0+2=0.
∵P点在第一象限,∴3x0+2=0不可能.
联立方程
解得(舍去)
由得
∴P(,)即为同时满足条件的点.