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  • 2021-06-10 发布

【数学】2020届一轮复习江苏版12-3-1绝对值不等式学案

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‎§12.3 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式 考情考向分析 本节考查热点为绝对值不等式的解法及证明.在高考中主要以解答题的形式考查,属于低档题.‎ ‎1.绝对值不等式的解法 ‎(1)含有绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(-∞,-a)∪(a,+∞)‎ ‎(-∞,0)∪(0,+∞)‎ R ‎(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ ‎③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎2.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.‎ ‎(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.( × )‎ ‎(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为∅.( √ )‎ ‎(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立.( × )‎ ‎(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( × )‎ ‎(5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P6例3]不等式3≤|5-2x|<9的解集为__________.‎ 答案 (-2,1]∪[4,7)‎ 解析 由题意得 即 解得不等式的解集为(-2,1]∪ [4,7).‎ ‎3.[P6例4]求不等式|x-1|-|x-5|<2的解集.‎ 解 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,‎ ‎∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1;‎ ‎②当1-1时,f(x)= ‎∴f(x)min=f(a)=a+1=5,∴a=4成立.‎ 综上,a=4或a=-6.‎ 方法二 当a=-1时,f(x)min=0,不符合题意;‎ 当a≠-1时,f(x)min=f(a)=|a+1|=5,‎ ‎∴a=4或a=-6.‎ ‎6.若存在实数x,使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是____________.‎ 答案 [-2,4]‎ 解析 ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,‎ ‎∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.‎ ‎7.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为_______.‎ 答案  解析 设y=|2x-1|+|x+2|‎ ‎= 当x<-2时,y=-3x-1>5;‎ 当-2≤x<时,5≥y=-x+3>;‎ 当x≥时,y=3x+1≥,故函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值为.因为不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,所以≥a2+a+2.‎ 解不等式≥a2+a+2,得-1≤a≤,‎ 故实数a的取值范围为.‎ 题型一 绝对值不等式的解法 ‎1.已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①‎ 当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;‎ 当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,‎ 从而-1≤x≤1;‎ 当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,‎ 从而11.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.‎ 解 (1)方法一 当a=2时,由题意知|x-2|+|x-4|≥4,利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4,又2和4之间的距离为2,即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上.‎ 故不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}.‎ 方法二 当a=2时,‎ f(x)+|x-4|= 当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|,得-2x+6≥4,‎ 解得x≤1;‎ 当22时,由f(x)≥1,解得x>2,‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.‎ ‎(2)由f(x)≥x2-x+m,得 m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.‎ 而|x+1|-|x-2|-x2+x ‎≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|‎ ‎=-2+≤,‎ 当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.‎ 故m的取值范围为.‎ ‎1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5.‎ 解 方法一 如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则不等式的解就是数轴上到A,B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.‎ 显然,区间[-2,1]不是不等式的解集.把点A向左移动一个单位到点A1,此时A1A+A1B=1+4=5.把点B向右移动一个单位到点B1,此时B1A+B1B=5,故原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).‎ 方法二 由原不等式|x-1|+|x+2|≥5,‎ 可得或 或解得x≥2或x≤-3,‎ ‎∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).‎ 方法三 将原不等式转化为|x-1|+|x+2|-5≥0.‎ 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5,则 f(x)= 作出函数的图象,如图所示,‎ 由图象可知,当x∈(-∞,-3]∪[2,+∞)时,f(x)≥0,‎ ‎∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).‎ ‎2.已知a≥2,x∈R.求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.‎ 证明 因为|m|+|n|≥|m-n|,‎ 所以|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-(x-a)|‎ ‎=|2a-1|.‎ 又a≥2,故|2a-1|≥3.‎ 所以|x-1+a|+|x-a|≥3.‎ ‎3.若不等式log2(|x+1|+|x-2|-m)≥2恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解 由题意,知|x+1|+|x-2|-m≥4恒成立,‎ 即m≤(|x+1|+|x-2|-4)min.‎ 又因为|x+1|+|x-2|-4≥|(x+1)-(x-2)|-4=-1,‎ 当且仅当-1≤x≤2时等号成立.所以m≤-1.‎ 即实数m的取值范围为(-∞,-1].‎ ‎4.对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.‎ 解 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,‎ 所以|3a-3b|≤3,≤,‎ 所以|4a-3b+2|= ‎≤|3a-3b|++≤3++=6,‎ 即|4a-3b+2|的最大值为6,‎ 所以m≥|4a-3b+2|max=6.‎ 即实数m的取值范围为[6,+∞).‎ ‎5.已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|,若对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解 ∵对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,‎ ‎∴f(x)min>a2-3,‎ 又∵|x-a|+|x+a|≥ |x-a-(x+a)|=|2a|,‎ ‎∴|2a|>a2-3,‎ 即|a|2-2|a|-3<0,‎ 解得-1<|a|<3.‎ ‎∴-30.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.‎ 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;‎ 当-10,‎ 解得0,解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题意可得,f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),‎ ‎△ABC的面积为(a+1)2.‎ 由题意得(a+1)2>6,故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2,+∞).‎ ‎7.已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中a>0).‎ ‎(1)当a=4时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式有解,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)当a=4时,不等式为|2x+1|-|x-1|≤2.‎ 当x<-时,-x-2≤2,解得-4≤x<-;‎ 当-≤x≤1时,3x≤2,解得-≤x≤;‎ 当x>1时,x≤0,此时x不存在,‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎(2)令f(x)=|2x+1|-|x-1|,‎ 则f(x)= 故f(x)∈,即f(x)的最小值为-.‎ 若f(x)≤log2a有解,则log2a≥-,‎ 解得a≥,即a的取值范围是.‎ ‎8.设f(x)=|ax-1|.‎ ‎(1)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值;‎ ‎(2)当a=2时,若存在x0∈R,使得不等式f(2x0+1)-f(x0-1)≤7-3m成立,求实数m 的取值范围.‎ 解 (1)显然a≠0,当a>0时,解集为,‎ 则-=-6,=2,无解;‎ 当a<0时,解集为,‎ 令-=2,=-6,得a=-.‎ 综上所述,a=-.‎ ‎(2)当a=2时,令h(x)=f(2x+1)-f(x-1)‎ ‎=|4x+1|-|2x-3|‎ ‎= 由此可知h(x)在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增,则当x=-时,h(x)取得最小值-,由题意,知-≤7-3m,解得m≤,所以实数m的取值范围是.‎ ‎9.已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎(1)解 f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2,得-2x<2,解得x>-1,‎ 即-10,b>0且a+b=1,‎ ‎∴+=(a+b)=5++≥9,‎ 当且仅当=,‎ 即a=,b=时,+取得最小值9.‎ ‎(2)∵对∀a,b∈(0,+∞),‎ +≥|2x-1|-|x+1|恒成立,‎ ‎∴|2x-1|-|x+1|≤9.‎ 当x≤-1时,不等式化为2-x≤9,‎ 解得-7≤x≤-1;‎ 当-1