专题2-3 函数的单调性与最值（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 8页

第03节 函数的单调性与最值 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）‎ ‎1．【2017北京模拟】下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)‎ A．y＝e－x B．y＝x3‎ C．y＝ln x D．y＝|x|‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数y＝e－x，即y＝x，在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数，故选B.‎ ‎2.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)‎ A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3.定义运算，若函数＝在(－∞，m)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)‎ C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴ ‎ ‎，∴的单调递减区间为(－∞，－2)，∵函数＝在(－∞，m)上单调递减，∴，即，∴实数m的取值范围是.故选D.‎ ‎4.【2017河南新乡测试】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，符合题意，排除A，D.当时，不符合题意，排除C，故选B. ‎ ‎5.【2017四川资阳4月模拟】已知， ，下列不等式成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 6. 定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且在上是增函数，则(　　)‎ A．f(－1)f(3)‎ C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】依题意得，且－1<1<2，于是由函数在上是增函数得 ‎．‎ ‎7.已知函数f(x)＝ ，则该函数的单调递减区间为(　　)‎ A. (－∞，1] B. [3，＋∞)‎ C. (－∞，－1] D. [1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由x2−2x−3⩾0得x⩾3或x⩽−1，当x⩽−1时,函数t=x2−2x−3为减函数,∵y=为增函数，‎ ‎∴此时函数f(x)为减函数，即函数的单调递减区间为(－∞，－1]，故选：C ‎ ‎8.定义在上的函数满足，当时， ，则函数在上有(　　)‎ A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 ‎【答案】C ‎ 9.【2017课标1】已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称 ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C．‎ ‎10.【2017云南民族中学适应性考试】已知函数则满足不等式的的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的图象如下图所示，不等式 等价于或解得，故选D．‎ ‎11.【2017陕西西安长安区第一中学模拟】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 12. 【2017湖南长沙雅礼中学二模】已知定义在上的函数为增函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）‎ ‎13.已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得解得或.所以实数a的取值范围为 ‎．‎ ‎14.【2017重庆二诊】设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数的图象，当时，函数单调递减，且最小值为，则令，解得，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则最大值为2，且， ，综上得所求实数的取值为.‎ ‎15.【2017山西孝义二模】若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．‎ ‎16.【2017豫南名校联考】已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(‎2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，－2)‎ ‎ ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知函数f(x)＝－(a>0，x>0).‎ ‎(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.‎ ‎【解析】(1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，‎ ‎∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，‎ ‎∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.‎ ‎(2)解　∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，‎ ‎∴f＝，f(2)＝2，易知a＝. ‎ ‎18. 已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数).‎ ‎(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.‎ ‎ (2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；‎ 当a＜0时，f(x)＝2x＋，‎ 当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；‎ 当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2. ‎ ‎19. 已知f(x)＝(x≠a)．‎ ‎(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；‎ ‎(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．‎ ‎ 20. 已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；‎ ‎(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.‎ ‎【解析】　(1)由x＋－2＞0，得＞0，‎ 当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，‎ 当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，‎ 当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.‎ ‎(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，‎ ‎∴g′(x)＝1－＝>0.‎ 因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.‎ 则f(x)min＝f(2)＝ln.‎ ‎(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.‎ 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a>3x－x2.‎ 令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).‎ 由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴h(x)max＝h(2)＝2.‎ 故a>2时，恒有f(x)>0. ‎ 因此实数a的取值范围为(2，＋∞). ‎