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  • 2021-06-10 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)8-4立体几何学案

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‎§8.4 直线、平面平行的判定与性质 最新考纲 考情考向分析 ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.‎ 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想.‎ ‎1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)‎ ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)‎ ⇒l∥b ‎2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)‎ ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 ⇒a∥b 知识拓展 重要结论:‎ ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.‎ ‎(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( × )‎ ‎(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( × )‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × )‎ ‎(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ )‎ ‎(5)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( × )‎ ‎(6)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P61A组T1(1)]下列命题中正确的是(  )‎ A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α 答案 D 解析 A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线也可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知b∥α,正确.‎ ‎3.[P62A组T3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为________.‎ 答案 平行 解析 连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,‎ 在△BDD1中,E为DD1的中点,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD1∥EO,‎ 而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,‎ 所以BD1∥平面ACE.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中(  )‎ A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线 答案 A 解析 当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.‎ ‎5.设α,β,γ为三个不同的平面,a,b为直线,给出下列条件:‎ ‎①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α; ②α∥γ,β∥γ;‎ ‎③α⊥γ,β⊥γ; ④a⊥α,b⊥β,a∥b.‎ 其中能推出α∥β的条件是______.(填上所有正确的序号)‎ 答案 ②④‎ 解析 在条件①或条件③中,α∥β或α与β相交;‎ 由α∥γ,β∥γ⇒α∥β,条件②满足;‎ 在④中,a⊥α,a∥b⇒b⊥α,又b⊥β,从而α∥β,④满足.‎ ‎6.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.‎ 答案 平行四边形 解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH,‎ 又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,‎ ‎∴EF∥HG.同理EH∥FG,‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形.‎ 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定 典例 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.‎ ‎(1)求证:AP∥平面BEF;‎ ‎(2)求证:GH∥平面PAD.‎ 证明 (1)连接EC,‎ ‎∵AD∥BC,BC=AD,‎ ‎∴BC綊AE,‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形,‎ ‎∴O为AC的中点.又F是PC的中点,∴FO∥AP,‎ 又FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,‎ ‎∴FH∥PD,又PD⊂平面PAD,FH⊄平面PAD,‎ ‎∴FH∥平面PAD.‎ 又O是BE的中点,H是CD的中点,‎ ‎∴OH∥AD,又AD⊂平面PAD,OH⊄平面PAD,‎ ‎∴OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.‎ 又GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.‎ 命题点2 直线与平面平行的性质 典例(2017·长沙调研)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明:GH∥EF;‎ ‎(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.‎ ‎(1)证明 因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,‎ 且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.‎ 同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.‎ ‎(2)解 如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.‎ 因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,‎ 同理可得PO⊥BD.‎ 又BD∩AC=O,且AC,BD⊂底面ABCD,‎ 所以PO⊥底面ABCD.‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD,‎ 且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH=GK,‎ 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,‎ 从而GK⊥EF.‎ 所以GK是梯形GEFH的高.‎ 由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,‎ 从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.‎ 再由PO∥GK得GK=PO,‎ 即G是PB的中点,且GH=BC=4.‎ 由已知可得OB=4,‎ PO===6,‎ 所以GK=3.‎ 故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.‎ 思维升华判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点).‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).‎ ‎(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).‎ 跟踪训练 (2018届昆明一中摸底)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点M,N分别为A1C1,AB1的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面BB1C1C;‎ ‎(2)若CM⊥MN,求三棱锥M—NAC的体积.‎ ‎(1)证明 连接A1B,BC1,点M,N分别为A1C1,AB1的中点,所以MN为△A1BC1的一条中位线,MN∥BC1,‎ 又因为MN⊄平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,‎ 所以MN∥平面BB1C1C.‎ ‎(2)解 设点D,E分别为AB,AA1的中点,AA1=a,连接ND,CD,则CM2=a2+1,MN2=1+=,CN2=+5=,由CM⊥MN,得CM2+MN2=CN2,解得a=,又NE⊥平面AA1C1C,NE=1,‎ V三棱锥M—NAC=V三棱锥N—AMC=S△AMC·NE ‎=××2××1=.‎ 所以三棱锥M—NAC的体积为.‎ 题型二 平面与平面平行的判定与性质 典例 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1‎ 的中点,求证:‎ ‎(1)B,C,H,G四点共面;‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明 (1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线,‎ ‎∴GH∥B1C1.‎ 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,‎ ‎∴B,C,H,G四点共面.‎ ‎(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A1G綊EB,‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形,‎ ‎∴A1E∥GB.‎ 又∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ 又∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA,‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 引申探究 在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 证明 如图所示,连接A1C交AC1于点M,‎ ‎∵四边形A1ACC1是平行四边形,‎ ‎∴M是A1C的中点,连接MD,‎ ‎∵D为BC的中点,‎ ‎∴A1B∥DM.‎ ‎∵A1B⊂平面A1BD1,‎ DM⊄平面A1BD1,‎ ‎∴DM∥平面A1BD1.‎ 又由三棱柱的性质知,D1C1綊BD,‎ ‎∴四边形BDC1D1为平行四边形,‎ ‎∴DC1∥BD1.‎ 又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,‎ ‎∴DC1∥平面A1BD1.‎ 又∵DC1∩DM=D,DC1,DM⊂平面AC1D,‎ ‎∴平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 思维升华证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义.‎ ‎(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.‎ ‎(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.‎ 跟踪训练 (2018届江西南昌市摸底)如图,在四棱锥P—ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.‎ ‎(1)求证:平面CMN∥平面PAB;‎ ‎(2)求三棱锥P—ABM的体积.‎ ‎(1)证明 ∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA.‎ 又∵MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,‎ ‎∴MN∥平面PAB.‎ 在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,‎ ‎∴∠ACN=60°.又∵∠BAC=60°,∴CN∥AB.‎ ‎∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.‎ 又∵CN∩MN=N,CN,MN⊂平面CMN,‎ ‎∴平面CMN∥平面PAB.‎ ‎(2)解 由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.‎ 由已知得,AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,‎ ‎∴BC=,‎ ‎∴三棱锥P—ABM的体积V=V三棱锥M—PAB=V三棱锥C—PAB=V三棱锥P—ABC=××1××2=.‎ 题型三 平行关系的综合应用 典例 如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,点C∈α,点B∈β,点D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.‎ ‎(1)求证:EF∥平面β;‎ ‎(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.‎ ‎(1)证明 ①当AB,CD在同一平面内时,由平面α∥平面β,平面α∩平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD知,AC∥BD.‎ ‎∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.‎ 又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥平面β.‎ ‎②当AB与CD异面时,如图所示,‎ 设平面ACD∩平面β=DH,且DH=AC,‎ ‎∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,‎ ‎∴AC∥DH,‎ ‎∴四边形ACDH是平行四边形,‎ 在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,‎ 连接EG,FG,BH.‎ 又∵AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH,‎ ‎∴GF∥HD,EG∥BH.‎ 又EG∩GF=G,BH∩HD=H,‎ ‎∴平面EFG∥平面β.‎ 又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面β.‎ 综合①②可知,EF∥平面β.‎ ‎(2)解 如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.‎ ‎∵E,F分别为AB,CD的中点,‎ ‎∴ME∥BD,MF∥AC,‎ 且ME=BD=3,MF=AC=2.‎ ‎∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角,‎ ‎∴∠EMF=60°或120°.‎ ‎∴在△EFM中,由余弦定理得 EF= ‎= ‎=,‎ 即EF=或EF=.‎ 思维升华利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.‎ 跟踪训练 如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.‎ ‎(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;‎ ‎(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.‎ ‎(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形,‎ ‎∴EF∥HG.‎ ‎∵HG⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,‎ ‎∴EF∥平面ABD.‎ 又∵EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,‎ ‎∴EF∥AB,又∵AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,‎ ‎∴AB∥平面EFGH.同理可证,CD∥平面EFGH.‎ ‎(2)解 设EF=x(0