【数学】2019届一轮复习人教A版（文）8-4立体几何学案 18页

‎§8.4　直线、平面平行的判定与性质 最新考纲 考情考向分析 ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.‎ 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.‎ ‎1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)‎ ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)‎ ⇒l∥b ‎2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)‎ ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 知识拓展 重要结论：‎ ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.‎ ‎(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)‎ ‎(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　×　)‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)‎ ‎(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)‎ ‎(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)‎ ‎(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P61A组T1(1)]下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 答案　D 解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．‎ ‎3．[P62A组T3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．‎ 答案　平行 解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，‎ 在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，‎ 而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，‎ 所以BD1∥平面ACE.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 答案　A 解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.‎ ‎5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：‎ ‎①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α； ②α∥γ，β∥γ；‎ ‎③α⊥γ，β⊥γ； ④a⊥α，b⊥β，a∥b.‎ 其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)‎ 答案　②④‎ 解析　在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；‎ 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；‎ 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．‎ ‎6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．‎ 答案　平行四边形 解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，‎ 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，‎ ‎∴EF∥HG.同理EH∥FG，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形．‎ 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 典例　如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：GH∥平面PAD.‎ 证明　(1)连接EC，‎ ‎∵AD∥BC，BC＝AD，‎ ‎∴BC綊AE，‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形，‎ ‎∴O为AC的中点．又F是PC的中点，∴FO∥AP，‎ 又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，‎ ‎∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，‎ ‎∴FH∥平面PAD.‎ 又O是BE的中点，H是CD的中点，‎ ‎∴OH∥AD，又AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，‎ ‎∴OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.‎ 又GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.‎ 命题点2　直线与平面平行的性质 典例(2017·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎(1)证明　因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，‎ 且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.‎ 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.‎ ‎(2)解　如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.‎ 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，‎ 同理可得PO⊥BD.‎ 又BD∩AC＝O，且AC，BD⊂底面ABCD，‎ 所以PO⊥底面ABCD.‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，‎ 且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，‎ 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，‎ 从而GK⊥EF.‎ 所以GK是梯形GEFH的高．‎ 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，‎ 从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．‎ 再由PO∥GK得GK＝PO，‎ 即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.‎ 由已知可得OB＝4，‎ PO＝＝＝6，‎ 所以GK＝3.‎ 故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.‎ 思维升华判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)．‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．‎ ‎(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ 跟踪训练 (2018届昆明一中摸底)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M，N分别为A1C1，AB1的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面BB1C1C；‎ ‎(2)若CM⊥MN，求三棱锥M—NAC的体积．‎ ‎(1)证明　连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1，‎ 又因为MN⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，‎ 所以MN∥平面BB1C1C.‎ ‎(2)解　设点D，E分别为AB，AA1的中点，AA1＝a，连接ND，CD，则CM2＝a2＋1，MN2＝1＋＝，CN2＝＋5＝，由CM⊥MN，得CM2＋MN2＝CN2，解得a＝，又NE⊥平面AA1C1C，NE＝1，‎ V三棱锥M—NAC＝V三棱锥N—AMC＝S△AMC·NE ‎＝××2××1＝.‎ 所以三棱锥M—NAC的体积为.‎ 题型二　平面与平面平行的判定与性质 典例　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1‎ 的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，‎ ‎∴GH∥B1C1.‎ 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A1G綊EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，‎ ‎∴A1E∥GB.‎ 又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 引申探究 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，‎ ‎∵四边形A1ACC1是平行四边形，‎ ‎∴M是A1C的中点，连接MD，‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴A1B∥DM.‎ ‎∵A1B⊂平面A1BD1，‎ DM⊄平面A1BD1，‎ ‎∴DM∥平面A1BD1.‎ 又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，‎ ‎∴四边形BDC1D1为平行四边形，‎ ‎∴DC1∥BD1.‎ 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，‎ ‎∴DC1∥平面A1BD1.‎ 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，‎ ‎∴平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 思维升华证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义．‎ ‎(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．‎ ‎(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．‎ 跟踪训练 (2018届江西南昌市摸底)如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．‎ ‎(1)求证：平面CMN∥平面PAB；‎ ‎(2)求三棱锥P—ABM的体积．‎ ‎(1)证明　∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.‎ 又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB.‎ 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，‎ ‎∴∠ACN＝60°.又∵∠BAC＝60°，∴CN∥AB.‎ ‎∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.‎ 又∵CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，‎ ‎∴平面CMN∥平面PAB.‎ ‎(2)解　由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．‎ 由已知得，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，‎ ‎∴BC＝，‎ ‎∴三棱锥P—ABM的体积V＝V三棱锥M—PAB＝V三棱锥C—PAB＝V三棱锥P—ABC＝××1××2＝.‎ 题型三　平行关系的综合应用 典例　如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.‎ ‎(1)求证：EF∥平面β；‎ ‎(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．‎ ‎(1)证明　①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.‎ ‎∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.‎ 又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.‎ ‎②当AB与CD异面时，如图所示，‎ 设平面ACD∩平面β＝DH，且DH＝AC，‎ ‎∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，‎ ‎∴AC∥DH，‎ ‎∴四边形ACDH是平行四边形，‎ 在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，‎ 连接EG，FG，BH.‎ 又∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，‎ ‎∴GF∥HD，EG∥BH.‎ 又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，‎ ‎∴平面EFG∥平面β.‎ 又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.‎ 综合①②可知，EF∥平面β.‎ ‎(2)解　如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.‎ ‎∵E，F分别为AB，CD的中点，‎ ‎∴ME∥BD，MF∥AC，‎ 且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.‎ ‎∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，‎ ‎∴∠EMF＝60°或120°.‎ ‎∴在△EFM中，由余弦定理得 EF＝ ‎＝ ‎＝，‎ 即EF＝或EF＝.‎ 思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．‎ 跟踪训练　如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．‎ ‎(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；‎ ‎(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．‎ ‎(1)证明　∵四边形EFGH为平行四边形，‎ ‎∴EF∥HG.‎ ‎∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，‎ ‎∴EF∥平面ABD.‎ 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，‎ ‎∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.‎ ‎(2)解　设EF＝x(0