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- 2021-06-10 发布
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考纲解读:
1.理解等差数列的概念;
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
考点梳理:
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N ,d为常数),或an-an-1=d(n≥2,d为常数).
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m,n∈N ).
(2)等差数列的前n项和公式
Sn==na1+d(其中n∈N ,a1为首项,d为公差,an为第n项).
3.等差数列及前n项和的性质
(1)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=.
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N ).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N )是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.. ]
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)若n为偶数,则S偶-S奇=;
若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
4.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=n2+n.
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
5.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
【必会结论】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N ).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n (k,l,m,n∈N ),则ak+al=am+an.若m+n=2p(m,n,p∈N ),则am+an=2ap.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. ]
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d, 则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N )是公差为md的等差数列.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列,其公差为n2d.
核心能力必练
一、选择题
1.(2018湖北荆州一模,5)在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,则a7= ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】A
2.(2018河南濮阳二模,7)已知等差数列{an}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项
的值为 ( )
A. B. C.1 D.
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d,由题意得解得所以中间一项为a5=a1+4d=,故选D.
3.(2018河南信阳二模,9)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得 钱 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.设数列是等差数列,为其前项和.若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为,公差为,由题意得解得
所以,故选C.
5.设是等差数列的前项和,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设公差为,因为,所以,所以,故选B.
6.已知等差数列的前项和为,且,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设公差为,由得,即,则由得,解得.故选A.
7.已知等差数列的前项和为,若,,则取最大值时,的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为,则解得,所以 ,故当时,取最大值,故选C. | |k ]
8.设公差不为零的等差数列的前项和为,若,则等于( )
A. B. C.7 D.14
【答案】C
【解析】,故选C.
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺数为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】B
10.在等差数列中,,,则此数列前30项和等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得,由得,所以此数列前项和 .故选B.
11.已知等差数列满足,则有( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据等差数列的性质,可知,
所以,故选C.
12.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织得快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,一个月(按30天计算)总共织布尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
【答案】B
13.已知等差数列的前项和为,且满足,,则中最大的项为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
,又最大.
14.已知等差数列的前项和为,且,,则使得取最小值时的为 ( )
A. B. C. D.或
【答案】B
【解析】由等差数列的性质,可得, ,所以,所以数列的通项公式为 ,令,解得,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,所以使得取最小值时的为,故选B.
15.已知等差数列中,,,记,则( )
A.78 B.152 C.156 D.168
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为,公差为,则①,②,联立①②,得.
16.若是等差数列,首项,,,则使前项和成立的最大正整数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
17.等差数列中,为前项和,已知,且,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 因为,故是以为首项,为公差的等差数列,所以,解得,又
18.若数列是等差数列,则称数列为“等方差数列”,给出以下判断:
①常数列是等方差数列;
②若数列是等方差数列,则数列是等差数列;
③若数列是等方差数列,则数列是等方差数列;
④若数列是等方差数列,则数列也是等方差数列,其中正确的序号为( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】B
二、填空题
19.设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时,等于 .
【答案】
【解析】当时,取最小值.
20.设是等差数列,若,则 .
【答案】63
【解析】由得,所以.
21.已知数列为等差数列,为的前项和,若,,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由,.
22.在等差数列中,,则该数列的前14项和为 .
【答案】
【解析】由得,
,.
23.设等差数列的前项和为,若,,则的最大值为 .
【答案】
三、解答题
24.已知等差数列的前项和为,,且,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求证:.
【答案】(1), (2)详见解析
【解析】(1)设等差数列的公差为.,,,
解得 ,.
(2)
.
25.已知正项数列的前项和为,且是1与的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的前项和,证明:().
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1)由是1与的等差中项,得,即,
则当时,,当时,,,
是以为首项,为公差的等差数列,即.
26.设等差数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)若不等式对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设公差为,则,∴.
∴的通项公式为.
(2),则,又.
所以原不等式可化为,当为奇数时,;当为偶数时,,
∵,当且仅当时取等号,∴当为奇数时,的最小值为7;当为偶数时,时,取最小值,∴.
27.已知数列为等差数列,,公差,且.
(1)求数列的通项公式以及它的前n项和;
(2)若数列满足,为数列的前项和,求;
(3)在(2)的条件下,若不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
(3)①当为偶数时,要使不等式恒成立,
只需不等式恒成立即可,
∵,等号在时取得,∴,
②当为奇数时,要使不等式恒成立,
只需不等式恒成立即可,
∵随的增大而增大,∴时,取得最小值,∴.
综合①②可得的取值范围是.