数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市八中高三（实验班）上学期第二次月考（2017 14页

衡阳八中2017-2018学年高三上学期第二次月考试卷 文数（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色‎0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合M={x|﹣2x+1＞0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则a的范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（　　）‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎3.已知a=‎8.10.51‎，b=8.10.5，c=log30.3，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a ‎4.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于‎100克的个数是36，则样本中净重大于或等于‎98克并且小于104克的产品的个数是（　　）‎ A．90 B．‎75 ‎C．60 D．45‎ ‎5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，‎2a，2b，‎ ‎2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎7.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”‎的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（　　）‎ A．180 B．‎200 ‎C．128 D．162‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（　　）‎ A．B．C． D．‎ ‎9.函数y=exx2﹣1的部分图象为（　　）‎ A．B．‎ C．D．‎ ‎10.动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．2 D．‎ ‎11.已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] ‎ C．[，1） D．[，1）‎ ‎12.若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． ‎ C． D．‎ ‎   ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003•a2004＜0，则使前n项和Sn＞‎ ‎0成立的最大自然数n是　 　．‎ ‎14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为　　．‎ ‎15.已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于　　．‎ ‎16.已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则的值是　 　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的面积．‎ ‎（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎（1）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；‎ ‎（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．‎ 参考公式与临界值表：K2=．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=‎ ‎60°，E，F分别是BC，PC的中点．‎ ‎（1）证明：AE⊥平面PAD；‎ ‎（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，椭圆C1： =1（a＞0，b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）求△EPM面积最大值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．‎ 选做题 请考生从22、23两题中任选一题作答，并将选择的题号填涂在答题卡上，共10分。‎ ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数， r为大于零的常数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．‎ ‎（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若r=1，过曲线上C1任意一点P作曲线C2的切线，切于点Q，求|PQ|的最大值．‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 设函数f（x）=|x﹣a|．‎ ‎（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|‎ ‎（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，，求m+4n的最小值．‎ 文数参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A D A C C B A A D A D ‎13.4006‎ ‎14.‎ ‎15.32π ‎16.2‎ ‎17.‎ ‎（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ ‎，且，‎ ‎∴由正弦定理得：，即：b2+c2﹣a2=bc，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ 又∵0＜A＜π，∴，…（3分）‎ ‎∵且，即：5acosC=﹣5，即：，‎ 与联立解得：c=12，‎ ‎∴△ABC的面积是：；…（6分）‎ ‎（Ⅱ）数列{an}的公差为d且d≠0，由a1cosA=1，得a1=2，‎ 又a2，a4，a8成等比数列，得，解得d=2…（8分）‎ ‎∴an=2+（n﹣1）×2=2n，有an+2=2（n+2），‎ 则…（10分）‎ ‎∴‎ ‎=．…（12分）‎ ‎18.‎ ‎（1）假设成绩与班级无关，则K2=≈7.5（4分）‎ 则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求． …（6分）‎ ‎（2）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，‎ 所有的基本事件有：6×6=36个．…（8分）‎ 事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）、（6，4）共7个…（10分）‎ 所以P（A）=，即抽到9号或10号的概率为．…（12分）‎ ‎19.‎ ‎（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，‎ ‎∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．‎ 又BC∥AD，因此AE⊥AD．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AE．‎ 而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，‎ ‎∴AE⊥平面PAD；（6分）‎ ‎（2）解：设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．‎ 由（1）知AE⊥平面PAD，‎ 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．‎ 在Rt△EAH中，AE=，‎ ‎∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，‎ 此时，因此AH=．（9分）‎ ‎∴线段PD上存在点H，‎ 当DH=时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）依题意，b=1，则a=3b．∴椭圆方程为．（3分）‎ ‎（2）（Ⅰ）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥ME，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），‎ 则PE：y=kx﹣1．‎ 由，得，或，‎ ‎∴．（5分）‎ 用代替k，得，‎ ‎，（7分）‎ ‎∴‎ ‎=．（9分）‎ 设，则．当且仅当时取等号．（12分）‎ ‎21.‎ ‎（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，‎ 曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2． ‎ 从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）（2分）‎ 即y=2x﹣2． ‎ ‎（II）． ‎ 令h（x）=px2﹣2x+p，‎ 要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立． ‎ 由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，‎ ‎∴，只需，‎ 即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）． （5分）‎ ‎（III）∵在[1，e]上是减函数，‎ ‎∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，‎ 即g（x）∈[2，2e]，‎ 当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，‎ 所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．（6分）‎ 当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，‎ ‎，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．（7分）‎ ‎∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意； ‎ 当0＜p＜1时，由，所以．‎ 又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，‎ ‎∴，不合题意； （9分）‎ 当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，‎ 故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得（11分）‎ 综上所述，实数p的取值范围是．（12分）‎ ‎22.‎ ‎（Ⅰ）∵曲线C1：（θ为参数，r为大于零的常数），‎ ‎∴消去参数r，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=r2（r＞0），‎ ‎∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0，‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=1．‎ 若C1与C2有公共点，则r﹣1≤≤r+1，‎ 解得3≤r≤5，故r的取值范围是[3，5]．（5分）‎ ‎（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，‎ 得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，‎ 当且仅当sinα=﹣1时取最大值，故|PQ|的最大值为2．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（1）当a=2时，不等式为|x﹣2|+|x﹣1|≥7，‎ ‎∴或或，‎ ‎∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（5分）‎ ‎（2）解：f（x）≤1即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，‎ 而f（x）≤1的解集是[0，2]，∴，解得a=1，‎ ‎∴，∴‎ ‎（当且仅当时取等号）．‎ 即，∴时，．（10分）‎