黑龙江省哈尔滨二十六中2019年高三9月月考考试文科数学试卷 9页

‎2018-2019学年度上学期九月高三考试（文科）数学试题 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}‎ ‎2．函数f（x）=lnx+2x﹣1零点的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3．若a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎4．已知α为第二象限的角，且tanα=﹣，则sinα+cosα=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎5．若sinα=，且α为第二象限角，则tanα的值等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎6．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．已知函数（x∈R），下列说法错误的是（　　）‎ A．函数f（x）最小正周期是π B．函数f（x）是偶函数 C．函数f（x）在上是增函数 D．函数f（x）图象关于对称 ‎8．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎9．函数f（x）=的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C． D．1‎ ‎11．已知平面向量=（1，1），=（x，﹣3），且⊥，则|2+|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（　　）‎ A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=　 　；ω=　 　．‎ ‎14．=　 　．‎ ‎15．如图函数f（x）的图象在点P处的切线为：y=﹣2x+5，则f（2）+f′（2）=　 　．‎ ‎16．已知向量，，若，则实数t=　 　．‎ ‎　三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα ‎18．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x．（x∈R）．‎ ‎（1）求f（x）的最小值及取得最小值时所对应的x的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调递增区间．‎ ‎19．已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣b）•cosC=c•cosB．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2，△ABC的面积为，求该三角形的周长．‎ ‎21．已知函数，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；‎ ‎（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．‎ ‎22．已知函数f（x）=﹣x+alnx．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ C D D C D B C A B D A D　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．﹣；．‎ ‎14．﹣　‎ ‎15．如图函数f（x）的图象在点P处的切线为：y=﹣2x+5，则f（2）+f′（2）=　﹣1　．‎ ‎16．已知向量，，若，则实数t=　　．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα ‎【解答】解：∵α∈（0，π），∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x．（x∈R）．‎ ‎（1）求f（x）的最小值及取得最小值时所对应的x的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）‎ ‎（1）当 2x+=﹣时，即x=，k∈Z．函数f（x）取得最小值为﹣2，‎ ‎（2）当 （2x+）≤，k∈Z．函数f（x）单调递增，‎ 得：≤x≤，k∈Z．‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎19．已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，‎ f（x）=．‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 令：（k∈Z），‎ 解得：（k∈Z），‎ 故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．‎ ‎（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，‎ 则：（0＜A＜π），‎ 解得：A=，‎ 利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．‎ 解得：bc=1‎ 所以△ABC的面积为：．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣b）•cosC=c•cosB．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2，△ABC的面积为，求该三角形的周长．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理知===2R，‎ 又因为（2a﹣b）•cosC=c•cosB，‎ 所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，‎ 即2sinAcosC=sinA； ………………（4分）‎ ‎∵0＜A＜π，∴sinA＞0；‎ ‎∴cosC=； ………………（6分）‎ 又0＜C＜π，∴C=； ………………（8分）‎ ‎（2）∵S△ABC=absinC=ab=，‎ ‎∴ab=4 ………………（10分）‎ 又c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=4，‎ ‎∴（a+b）2=16，‎ ‎∴a+b=4；‎ ‎∴周长为6．………………（14分）‎ ‎　‎ ‎21．已知函数，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；‎ ‎（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．‎ ‎【解答】解：（1）…．（3分）‎ ‎∵，∴，∴f（x）的最大值为0，‎ 最小正周期是…（6分）‎ ‎（2）由，可得 ‎∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得①…（9分）‎ 由余弦定理得 ‎∵c=3‎ ‎∴9=a2+b2﹣ab②‎ 由①②解得，…（12分）‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=﹣x+alnx．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．‎ ‎【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），‎ 函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，‎ 设g（x）=x2﹣ax+1，‎ 当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，‎ 当a＞0时，判别式△=a2﹣4，‎ ‎①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，‎ ‎②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：‎ ‎ x ‎ （0，）‎ ‎ ‎ ‎ （，）‎ ‎ ‎ ‎ （，+∞）‎ ‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ ‎ 递减 ‎ 递增 递减 综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，‎ 当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，‎ 则（，）上是增函数．‎ ‎（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，‎ 则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），‎ 则=﹣2+，‎ 则问题转为证明＜1即可，‎ 即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，‎ 则lnx1﹣ln＞x1﹣，‎ 即lnx1+lnx1＞x1﹣，‎ 即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，‎ 设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，‎ 求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，‎ 则h（x）在（0，1）上单调递减，‎ ‎∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，‎ 故2lnx＞x﹣，‎ 则＜a﹣2成立．‎ ‎（2）另解：注意到f（）=x﹣﹣alnx=﹣f（x），‎ 即f（x）+f（）=0，‎ 由韦达定理得x1x2=1，x1+x2=a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1=，‎ 可得f（x2）+f（）=0，即f（x1）+f（x2）=0，‎ 要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，‎ 即证2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1），‎ 构造函数h（x）=2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）=≤0，‎ ‎∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴h（x）＜h（1）=0，‎ ‎∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1）成立．‎ 即＜a﹣2成立．‎ ‎　‎