数学理·河南省郑州市一中网校联考2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析x 15页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省郑州市一中网校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在△ABC中，b=2，A=，B=，则a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在等比数列{an}中，a1=1，q=，an=，则n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎3．下列不等式中解集为实数集R的是（　　）‎ A．x2+4x+4＞0 B． C．x2﹣x+1≥0 D．‎ ‎4．设a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最小值为（　　）‎ A．4 B．8 C．1 D．‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a2﹣b2+c2=ac，则角B为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，命题q：∅={0}，则下面判断正确的是（　　）‎ A．p假q真 B．“p∨q”为真 C．“p∧q”为真 D．“￢q”为假 ‎7．在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎8．设x，y满足，则z=x+y（　　）‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎9．在等比数列an中a7•a11=6，a4+a14=5，则等于（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎10．不等式≥2的解集为（　　）‎ A．[﹣1，0） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）‎ ‎11．若数列{an}的通项公式an=，则其前n项和Sn等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知p：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根，q：a≤1，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13．已知△ABC中，a=2，∠A=60°，则△ABC的外接圆直径为　　．‎ ‎14．an=2n﹣1，Sn=　　．‎ ‎15．的最小值是　　．‎ ‎16．若数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，Sn=an+1+n，则其通项公式为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积S．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2），a1=．‎ ‎（1）求证：{}是等差数列；‎ ‎（2）求an的表达式．‎ ‎19．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+（a﹣1）x0﹣1＜0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．‎ ‎20．设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，求α的取值范围．‎ ‎21．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（50≤x≤100）（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ ‎22．已知等差数列{an}中，a1=﹣2，公差d=3；数列{bn}中，Sn为其前n项和，满足：2nSn+1=2n（n∈N+）‎ ‎（Ⅰ）记An=，求数列An的前n项和S；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）设数列{cn}满足cn=anbn，Tn为数列{cn}的前n项积，若数列{xn}满足x1=c2﹣c1，且xn=，求数列{xn}的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省郑州市一中网校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在△ABC中，b=2，A=，B=，则a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值．‎ ‎【解答】解：∵b=2，A=，B=，‎ ‎∴由正弦定理可得：a===．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．在等比数列{an}中，a1=1，q=，an=，则n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：an==，解得n=6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．下列不等式中解集为实数集R的是（　　）‎ A．x2+4x+4＞0 B． C．x2﹣x+1≥0 D．‎ ‎【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】选项A中x不能为﹣2，选项B中x不能为0，选项D中x也不能为0，选项C中根的判别式小于0，故不等式恒成立，即解集为R，即可得到正确的选项为C．‎ ‎【解答】解：A、x2+4x+4＞0变形为：（x+2）2＞0，‎ ‎∴不等式的解集为x≠﹣2，不合题意；‎ B、＞0，则x是不为0的实数，不合题意；‎ C、x2﹣x+1≥0，‎ 令x2﹣x+1=0，∵a=1，b=﹣1，c=1，∴b2﹣4ac=﹣3＜0，‎ ‎∴x2﹣x+1=0无解，‎ 则x2﹣x+1≥0解集为R，符合题意；‎ D、，当x≠0时，去分母得：﹣1＜0，恒成立，‎ 则不等式的解集为x≠0，不合题意，‎ 故选C ‎　‎ ‎4．设a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最小值为（　　）‎ A．4 B．8 C．1 D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，‎ ‎∴=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a2﹣b2+c2=ac，则角B为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式代入得出cosB的值，由∠B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出∠B的度数．‎ ‎【解答】解：∵a2﹣b2+c2=ac，‎ ‎∴由余弦定理得：cosB===，‎ 又∠B为三角形的内角，‎ 则∠B=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，命题q：∅={0}，则下面判断正确的是（　　）‎ A．p假q真 B．“p∨q”为真 C．“p∧q”为真 D．“￢q”为假 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】解二次不等式，可判断命题p的真假，根据空集的定义，可判断命题q的真假，最后结合复合命题真假判断的真值表，可得答案．‎ ‎【解答】解：解（x+2）（x﹣3）＜0得：x∈（﹣2，3）； ‎ 故命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣3）＜0}为真命题；‎ 命题q：∅={0}为假命题；‎ 故p假q真，错误；‎ ‎“p∨q”为真，正确；‎ ‎“p∧q”为真，错误；‎ ‎“￢q”为真，错误；‎ 故选：B ‎　‎ ‎7．在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】任意角的概念．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理，化简表达式，通过两角和与差的三角函数化简，即可判断三角形的形状．‎ ‎【解答】解：因为在△ABC中，acosB=bcosA，由正弦定理可知，sinBcosA=sinAcosB，‎ 所以sin（A﹣B）=0，所以A﹣B=π，或A=B，因为A，B是三角形内角，所以A=B，三角形是等腰三角形．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．设x，y满足，则z=x+y（　　）‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：‎ 由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，‎ 因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，‎ 但z没有最大值．‎ 故选B ‎　‎ ‎9．在等比数列an中a7•a11=6，a4+a14=5，则等于（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比中项的性质可知a7•a11=a4•a14求得a4•a14的值，进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，求得a4和a14，则可求．‎ ‎【解答】解：a7•a11=a4•a14=6‎ ‎∴a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2‎ ‎∴=或 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．不等式≥2的解集为（　　）‎ A．[﹣1，0） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．‎ ‎【解答】解： ⇔⇔⇔⇔﹣1≤x＜0‎ 故选A ‎　‎ ‎11．若数列{an}的通项公式an=，则其前n项和Sn等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用裂项相消法求前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：∵an==2（﹣），‎ ‎∴Sn=2（1﹣+﹣+﹣+…﹣）‎ ‎=2（1﹣）‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知p：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根，q：a≤1，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根，考虑一次或二次线两种情况，对这两种情况分别讨论，解不等式可得a的范围刚好是小于或等于1，应该是充要条件．‎ ‎【解答】解：对于p：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根，可分如下两种情况：‎ ‎（1）当a=0时，方程是一个直线，可知有一个负实根 ‎（2）当a≠0，当关于x的方程ax2+2x+1=0有实根，△≥0，解可得a≤1；‎ ‎①当关于x的方程ax2+2x+1=0有一个负实根，有＜0，解可得a＜0；‎ ‎②当关于x的方程ax2+2x+1=0有二个负实根，有，解可得a＞0；，‎ 即有a≠0且a≤1‎ 综上可得，a≤1；‎ q与p的范围完全相同，‎ 故￢p是￢q的充要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13．已知△ABC中，a=2，∠A=60°，则△ABC的外接圆直径为　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据已知及正弦定理利用2R=，即可求得三角形外接圆的直径．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵a=2，∠A=60°，‎ ‎∴△ABC的外接圆的直径等于2R===‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．an=2n﹣1，Sn=　n2　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．‎ ‎【分析】判断数列是等差数列，然后求解数列的Sn．‎ ‎【解答】解：an=2n﹣1，可得an+1﹣an=2（n+1）﹣1﹣（2n﹣1）=2，所以数列是等差数列，公差为2，首项为：1，‎ Sn=n•1+=n2．‎ 故答案为：n2．‎ ‎　‎ ‎15．的最小值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先将化为形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因为等号取不到，可采用导数判单调性求最值．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，则t≥2，则 y′=≥0，所以在[2，+∝）上是增函数，‎ 所以在[2，+∝）上的最小值是2+=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．若数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，Sn=an+1+n，则其通项公式为　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知数列递推式可得Sn﹣1=an+n﹣1（n≥2），与原递推式作差可得数列{an﹣1}自第二项起构成以2为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：由Sn=an+1+n，得Sn﹣1=an+n﹣1（n≥2），‎ 两式作差得：an=an+1﹣an+1，即an+1=2an﹣1，‎ ‎∴an+1﹣1=2（an﹣1）（n≥2），‎ 由a1=1，Sn=an+1+n，得a2=0，‎ a2﹣1=﹣1，a1﹣1=0，不满足an+1﹣1=2（an﹣1），‎ ‎∴数列{an﹣1}自第二项起构成以2为公比的等比数列，‎ ‎∴，即（n≥2）．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积S．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）在△ABC中，由（2a﹣c）cosB=bcosC以及正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，求得cosB的值，‎ 可得 B的值．‎ ‎（2）由条件利用余弦定理可得 cosB==，可得ac=3，从而求得△ABC的面积S=ac•sinB 的值．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，由（2a﹣c）cosB=bcosC以及正弦定理可得 ‎2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，即 2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，‎ 求得cosB=，可得 B=．‎ ‎（2）若，由余弦定理可得 cosB====，‎ 故有ac=3，‎ 故△ABC的面积S=ac•sinB=×3×sin=．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2），a1=．‎ ‎（1）求证：{}是等差数列；‎ ‎（2）求an的表达式．‎ ‎【考点】等差关系的确定；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）本题关键是将an=Sn﹣Sn﹣1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可．‎ ‎（2）先求出Sn，利用Sn求an，必须分类讨论an=，求解可得．‎ ‎【解答】（1）证明：∵﹣an=2SnSn﹣1，‎ ‎∴﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3）．‎ ‎∴﹣=2．‎ 又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎（2）解：由（1），=2+（n﹣1）•2=2n，∴Sn=．‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣〔或n≥2时，an=﹣2SnSn﹣1=﹣〕；‎ 当n=1时，S1=a1=．‎ ‎∴an=‎ ‎　‎ ‎19．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+（a﹣1）x0﹣1＜0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】先分别求出命题p，q为真命题时，a的取值范围，然后根据复合函数的真假得到p，q中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若命题p为真，则∀x∈[1，2]，a≤x2，‎ ‎∵x∈[1，2]时，x2≥1，∴a≤1；‎ 若命题q为真，则△=（a﹣1）2﹣4＞0，得a＜﹣1，或a＞3；‎ ‎∵p∨q为真，p∧q为假 ‎∴p，q中必有一个为真，另一个为假，‎ 若p真q假，则，得﹣1≤a≤1；‎ 若p假q真，则，得a＞3．‎ 故a的取值范围为﹣1≤a≤1，或a＞3．‎ ‎　‎ ‎20．设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，求α的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】将不等式看成二次函数恒成立问题，利用二次函数≥0对一切x∈R恒成立，可得△≤0，转化成三角函数问题，即可求解实数α的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意：不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，‎ 由二次函数的性质可得：△≤0，‎ 即：（8sinα）2﹣4×8×cos2α≤0‎ 整理得：4sin2α≤1，‎ ‎∴‎ ‎∵0≤α≤π，‎ ‎∴或．‎ 所以α的取值范围是[0，]∪[，π]．‎ ‎　‎ ‎21．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（50≤x≤100）（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）求出车所用时间，根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用；‎ ‎（2）利用基本不等式，即可求得这次行车的总费用最低．‎ ‎【解答】解：（1）行车所用时间为，‎ 根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用：‎ y==（50≤x≤100）‎ ‎（2）y=≥26，当且仅当，即时，等号成立 ‎∴当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．‎ ‎　‎ ‎22．已知等差数列{an}中，a1=﹣2，公差d=3；数列{bn}中，Sn为其前n项和，满足：2nSn+1=2n（n∈N+）‎ ‎（Ⅰ）记An=，求数列An的前n项和S；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）设数列{cn}满足cn=anbn，Tn为数列{cn}的前n项积，若数列{xn}满足x1=c2﹣c1，且xn=，求数列{xn}的最大值．‎ ‎【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列的通项公式可得an=3n﹣5．利用裂项可得An=，利用“裂项求和”可得数列An的前n项和S．‎ ‎（II）由2nSn+1=2n（n∈N+），可得．当n=1时，b1=S1=；当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1．利用等比数列的通项公式即可证明．‎ ‎（III）数列{cn}满足cn=anbn=．数列{xn}满足x1=c2﹣c1=．当n≥2时，xn==cn+1﹣cn=．当n≤3时，数列{xn}单调递减；当n≥4时，数列{xn}单调递增，但是xn＜0，即可得出．‎ ‎【解答】（I）解：∵等差数列{an}中，a1=﹣2，公差d=3，‎ ‎∴an=﹣2+3（n﹣1）=3n﹣5．‎ ‎∴An===，‎ ‎∴数列An的前n项和S=++…+‎ ‎=‎ ‎=﹣．‎ ‎（II）证明：由2nSn+1=2n（n∈N+），可得．‎ 当n=1时，a1=S1=；‎ 当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1==．‎ 当n=1时也成立．‎ ‎∴=．‎ ‎∴数列{bn}是等比数列，首项为，公比为．‎ ‎（III）数列{cn}满足cn=anbn=．‎ 数列{xn}满足x1=c2﹣c1==．‎ 当n≥2时，xn===cn+1﹣cn==．‎ 当n=1时也成立．‎ 当n≤3时，数列{xn}单调递减；当n≥4时，数列{xn}单调递增，但是xn＜0．‎ ‎∴数列{xn}的最大值是．‎ ‎　‎ ‎2016年11月25日