数学理卷·2017届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考（2016 9页

‎2016—2017学年度上学期12月阶段测试 ‎ 高三（17届） 数学理科试题 命题：高三数学备课组 ‎ 说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分 ‎ 2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上 ‎ ‎ 第Ⅰ卷（60分）‎ 一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D.　‎ ‎2．若奇函数f（x）的定义域为R，则有（　）‎ ‎　　A．f（x）＞f（-x）　　　　　　　　C．f（x）≤f（-x）‎ ‎　　C．f（x）·f（-x）≤0　　　　　D．f（x）·f（-x）＞0‎ ‎3．若a,b是异面直线，且a∥平面a ，那么b与平面a 的位置关系是（　）‎ ‎　　A．b∥a　　　　　　　　　　　　B．b与a 相交 ‎　　C．ba　　　　　　　　　　　　D．以上三种情况都有可能 ‎4.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎5.已知等比数列{}的前n项和，则…等于（　）‎ ‎　　A．　　　　　　　　　　B．‎ ‎　　C．　　　　　　　　　　　 D．‎ ‎6．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎7．设变量x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最小值为（　　）‎ ‎　 A． ﹣7 B． ﹣‎6 C． ﹣1 D． 2‎ ‎8．下列函数中在上为减函数的是（　　）‎ A．y=﹣tanx B．‎ C．y=sin2x+cos2x D．y=2cos2x﹣1‎ ‎9.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( ) ‎ ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎10.已知三个互不重合的平面，且，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题个数为（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎11．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．e+﹣1‎ ‎12．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（　　）‎ ‎ A． 3 B. ‎4 C． 5 D． 6‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分， 共20分）‎ ‎15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为______．‎ ‎16 ．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为　　．‎ 三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数的最小正周期为，当时，‎ 函数的最小值为0.‎ ‎（Ⅰ）求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC，若的值 ‎18. （本小题满分12分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.‎ ‎(1) 证明:;‎ ‎(2) 求数列的通项公式;‎ ‎(3) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=‎2a，点E是SD上的点，且 ‎（Ⅰ）求证：对任意的，都有 ‎（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值. ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求的面积范围；‎ ‎（3）设，，求证为定值 ‎21. （本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,;‎ ‎(Ⅱ)设当时,,求a的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 作答时请在答题卡涂上题号.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ ‎2016—2017学年度上学期12月阶段测试 ‎ 高三（17届） 数学理科试题答案 选择填空 7. C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.C 7. A 8.B 9.B 10.C 11.C 12. B ‎13. 3 14. 15．5π 16．．‎ ‎17．解：………2分 ‎ 依题意函数 ‎ 所以 …………4分 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎18．解：(1)当时,, ‎ ‎(2)当时,, ‎ ‎, [‎ 当时,是公差的等差数列. ‎ 构成等比数列,,,解得, ‎ 由(1)可知, ‎ ‎ 是首项,公差的等差数列. ‎ 数列的通项公式为. ‎ ‎(3) ‎ ‎19．解：19. （Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。‎ SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE ‎（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,‎ SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。‎ 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.‎ 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，‎ 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。‎ 在Rt△BDE中，BD=‎2a，DE=‎ 在Rt△ADE中, ‎ 从而 在中，. ‎ 由，得.‎ 由，解得，即为所求.‎ 证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），‎ ‎， ‎ 即。‎ 24． 解法2：‎ 由（I）得 设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得 ‎。‎ 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.‎ ‎. ‎ ‎0<，，‎ ‎.‎ 由于，解得，即为所求。‎ ‎20.解：（1）由题知点的坐标分别为，，‎ 于是直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为，即为． ‎ ‎（2）设两点的坐标分别为，‎ 由得，‎ 所以，． 于是．‎ 点到直线的距离，‎ 所以.‎ 因为且，于是，‎ 所以的面积范围是． ‎ ‎（3）由（2）及，，得 ‎，，‎ 于是，（）.‎ 所以．‎ 所以为定值． ‎ ‎21.解：(I)当时, ‎ 当且仅当 ‎ 令 ‎ 当,是增函数; ‎ 当是减函数. ‎ 于是在x=0处达到最小值,因而当时, ‎ 所以当 、 ‎ ‎(II)由题设 ‎ 当不成立; ‎ 当则 ‎ 当且令当 ‎ ‎ ‎ ‎(i)当时,由(I)知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是减函数, ‎ ‎(ii)当时,由(I)知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时, ‎ 综上,a的取值范围是 ‎