江西省赣州市十五县（市）2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 20页

高二数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查；③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.较为合理的抽样方法是（ ）‎ A. ①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样 B. ①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样 C. ①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样 D. ①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三种情况所对应的样本容量与总量大小、样本差异性大小的特点即可确定抽样方法.‎ ‎【详解】①中总量和样本容量都比较小，且样本无明显差异，可采用简单随机抽样 ‎②中不同收入家庭的差异性较大，对统计结果有直接影响，可采用分层抽样 ‎③中，总量较大，抽取样本数量与排数相同，采用系统抽样较为简便 故选：‎ ‎【点睛】本题考查统计中的抽样方法，关键是明确不同的抽样方法所适用的情况，属于基础题.‎ ‎2.圆心为且过原点的圆的一般方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程．‎ ‎【详解】根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，‎ 且其半径，‎ 则其标准方程为，变形可得其一般方程是，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程．‎ ‎3.已知向量，，且，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行可得，由同角三角函数的商数关系可求得结果.‎ ‎【详解】由得： ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示、同角三角函数关系的求解；关键是明确向量平行的坐标表示为：.‎ ‎4.经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为 则直线为，即 ‎ 由到直线的距离等于到直线的距离得：‎ ‎，‎ 化简得：或（无解），解得 直线的方程为 综上，直线的方程为或 故选 ‎5.设表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（ ）‎ A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合直线与直线，平面与平面平行判定定理，即可得出答案．‎ ‎【详解】A选项，可能m在平面内，故错误；B选项，如果m平行与交线，而该两平面相交，故错误；C选项，m可能在平面内，故错误；D选项，满足平面平行判定条件，故正确，故选D．‎ ‎【点睛】本道题考查了直线与直线，平面与平面平行判定定理，属于较容易题．‎ ‎6.具有线性相关关系的变量，，满足一组数据如表所示，与的回归直线方程为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ 中心点为：代入回归方程 故答案选A ‎【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则几何体最长棱的长度为（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可还原几何体，确定几何体的各边长，从而可知最长棱为；结合垂直关系，利用勾股定理可求得结果.‎ ‎【详解】由三视图可知几何体为如下图所示的三棱锥：‎ 其中平面，且 最长棱为，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查几何体最长棱的求解问题，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题.‎ ‎8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的，分别为16，20，则输出的（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，直到满足时输出结果即可.‎ 详解】按照程序运行框图，输入，，则且 ‎ 此时，，则且 ‎ 此时，，则且 ‎ 此时，，则且 ‎ 此时，输出 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果，关键是能够准确判断输出的条件，从而确定最终输出值，属于基础题.‎ ‎9.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　‎ A. B. 与相交 C. D. 与所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为．‎ ‎【详解】解：一个正方体的展开图如图所示，‎ 为原正方体的顶点，‎ 还原成正方体如下图，‎ ‎，是与所成角，‎ ‎，，‎ 在原来的正方体中与所成的角为．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题．‎ ‎10.已知三棱锥内接于球，平面，为直角，，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三棱锥补全为长方体，则所求的球即为长方体的外接球；由长方体外接球半径为体对角线长的一半可知，利用勾股定理求得半径后，代入球的表面积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】将三棱锥补全为如下图所示的长方体，则球为长方体的外接球 长方体的外接球半径 球的表面积 故选：‎ ‎【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解问题，关键是能够通过将三棱锥补为长方体的方式，将问题转化为长方体外接球的求解问题，同时明确长方体外接球的半径为其体对角线长度的一半.‎ ‎11.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点 与点的距离结合上述观点，可得的最小值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得，表示平面上点与点，的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 表示平面上点与点，的距离和，‎ 连接NH，与x轴交于，‎ 由题得，‎ 所以，‎ 的最小值为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键．‎ ‎12.过坐标原点作圆的两条切线，切点为，直线被圆截得弦的长度为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆的圆心坐标和半径，借助，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，设圆圆心坐标为，半径为，‎ 则,，‎ 则，可得，‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用斜二测直观图的画图规则，可得为一个直角三角形，且，得，从而得到边上的中线的实际长度为.‎ ‎【详解】利用斜二测直观图的画图规则，平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变；‎ 平行于轴或在轴上的线段，长度减半，‎ 利用逆向原则，所以为一个直角三角形，且，‎ 所以，所以边上的中线的实际长度为.‎ ‎【点睛】本题考查斜二测画法的规则，考查基本识图、作图能力.‎ ‎14.已知实数，满足约束条件，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件可求得的范围，根据余弦函数的单调性可求得所求范围.‎ ‎【详解】由约束条件可知：‎ 在上单调递减 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查余弦函数值域的求解问题，关键是能够利用不等式的性质求得角所处的范围，进而结合余弦函数的单调性求得结果.‎ ‎15.下列四种说法中正确的有______‎ ‎.（填序号）①数据2，2，3，3，4，6，7，3的众数与中位数相等；②数据1，3，5，7，9的方差是数据2，6，10，14，18的方差的一半；③一组数据的方差大小反映该组数据的波动性，若方差越大，则波动性越大，方差越小，则波动性越小.④频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由众数和中位数概念可知①正确；由方差的性质可知②错误，③正确；由频率分布直方图的特点可知④错误.‎ ‎【详解】①中，数据众数为，中位数为，故①正确；‎ ‎②中，第二组数据为第一组数据对应数字的倍，则方差应为第一组数据方差的倍，即第一组数据的方差为第二组数据方差的，故②错误；‎ ‎③中，方差用来描述数据的稳定性，方差越小数据越稳定，③正确；‎ ‎④中，频率分布直方图中各小长方形的面积对应各组数据的频率，而非频数，故④错误.‎ 故答案为：①③‎ ‎【点睛】本题考查统计中的基础命题的辨析，涉及到众数与中位数、方差的性质、频率分布直方图的特点等知识，属于基础题.‎ ‎16.已知圆为坐标原点，点的坐标为，点为线段垂直平分线上的一点，若为钝角，则点横坐标的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用垂直斜率关系和中点坐标可求得垂直平分线所在直线方程，设，由为钝角可知，由此构造不等式求得的范围；当三点共线时不合题意，需舍去，从而得到最终结果.‎ ‎【详解】设垂直平分线斜率，则，即 ‎ 又中点为 垂直平分线方程为：，即 为钝角 ‎ 设 ，‎ ‎，解得：‎ 又当时，三点共线，此时，不合题意 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的综合应用、平面向量夹角的运算求解问题；关键是能够通过垂直且平分的关系求得直线方程，同时利用角为钝角确定向量数量积所处的范围；易错点是忽略向量数量积小于零时，夹角有可能为平角的情况，造成增根出现.‎ 三、解答题 ‎17.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现.某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了200名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为5组，如下表:‎ 组别 一 二 三 四 五 满意度评分 频数 ‎12‎ ‎28‎ ‎68‎ ‎40‎ 频率 ‎0.06‎ ‎0.34‎ ‎0.2‎ ‎（1）求表格中的，，的值；‎ ‎（2）估计用户的满意度评分的平均数；‎ ‎（3）若从这200名用户中随机抽取50人，估计满意度评分高于6分的人数为多少？‎ ‎【答案】（1），，；（2）；（3）人.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据总体容量可计算得到，利用频数除以总体容量即可求得；‎ ‎（2）利用区间中点值代替每组数据，与频率作积，加和可得平均数；‎ ‎（3）根据表格得到评分高于分的频率，利用乘以频率即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）总体容量为 ‎ ‎，‎ ‎（2）估计平均数为：‎ ‎（3）满意度评分高于分的频率为 抽取人，估计满意度评分高于分的人数为：人 ‎【点睛】本题考查统计中的频数与频率的计算、利用样本估计总体的问题；利用样本估计平均数的基本方法是用每组数据区间的中点值代替本组数据，将中点值与对应频率作积，加和即可得到平均数.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，，、分别是、的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直三棱柱特点和等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理可证得平面，由线面垂直的性质可证得结论；‎ ‎（2）由体积桥的方式可知，利用三棱锥体积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）三棱柱为直三棱柱 平面 又平面 ‎ ‎，为中点 ‎ 平面， 平面 平面 ‎ ‎（2）由（1）知：为点到平面的距离 ‎，‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解；在证明线线垂直时，需首先证明线面垂直关系，利用线面垂直得到线线垂直；求解三棱锥体积的常用方法为体积桥的方式，将问题转化为高易求的三棱锥的体积的求解问题.‎ ‎19.设数列的前n项和为，为等比数列，且，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可求得；通过和求得和，由等比数列通项公式求得；‎ ‎（2）由（1）可得：；利用分组求和的方式，结合等比数列求和公式和等差数列求和公式求得结果.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 当时，‎ 验证与相符合 故数列的通项公式为：‎ 由得：；由得： ∴‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎【点睛】本题考查等差和等比数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和，涉及到等差和等比数列前项和公式的应用，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小.‎ ‎（2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将化简为，代入求得；（2）根据正弦定理求得，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，又为锐角 ‎（2）的外接圆半径为 由正弦定理得：‎ 由余弦定理：‎ 得：‎ 即（当且仅当时取等号）‎ 则三角形的面积（当且仅当时取等号）‎ 故三角形面积最大值为 ‎【点睛】本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果.‎ ‎21.如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面平面，，为的中点，在棱上，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，试说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，由三角形中位线和已知长度关系可知且为中点，三线合一得到；由面面垂直性质可得平面，由线面垂直性质知 ‎；由线面垂直的判定定理可证得结论；‎ ‎（2）假设存在满足题意的点，由线面平行的性质可知；根据重心的性质可得到比例关系，即，从而可说明存在点.‎ ‎【详解】（1）取中点，连接 分别为中点 ‎ 又， ‎ ‎ ，即为中点 ‎ 为等边三角形，为中点 ‎ 平面平面，平面平面 平面 平面 ‎ 平面， 平面 ‎（2）假设上存在点，使得平面 连接，交于点，连接 平面，平面，平面平面 为等边的两条中线 为的重心 ‎ ‎，即 ‎ 存在点，满足时，平面 ‎【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、存在性问题的求解，涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理、线面平行的性质定理的应用；解决本题中的线面平行的存在性问题的关键是能够假定存在后，利用线面平行的性质确定平面内与所证直线平行的直线，进而确定比例关系.‎ ‎22.已知圆与圆关于直线对称.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条相异直线分别与圆相交于、两点，若直线、的倾斜角互补，问直线与直线是否垂直？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）垂直，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆方程可得到圆心和半径；利用点关于直线对称点的求法可求得圆心关于直线的对称点的坐标，从而得到圆的圆心，又圆半径与圆，从而可得圆的方程；‎ ‎（2）设斜率为，斜率为，将直线与圆方程联立，结合在圆上可求得，用替换可得；利用两点连线斜率公式求得，从而得到，可知两直线垂直.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ 圆的圆心，半径 设圆的圆心，则，解得：‎ 圆的圆心为，半径为 圆的方程为：‎ ‎（2）直线与直线垂直，理由如下：‎ 由题意可知：直线斜率都存在 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为：，即 由得：‎ 在圆上 ‎ 同理可得：‎ 又 直线与直线垂直 ‎【点睛】本题考查圆关于直线对称圆的方程的求解、两直线位置关系的求解问题；求解圆关于直线对称的圆的方程时，只需利用点关于直线对称点的求法求解出圆心关于直线对称的点，即为对称圆的圆心，半径不变.‎ ‎ ‎