数学理卷·2018届山东省济南市历城第二中学高三模拟考试（一）（2018 17页

2018 高三数学（理）模拟试题 （历城二中数学组命制） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数 z 满足 (1 ) 3z i i   ，则 z = ( ) A．1 B． 5 C． 2 D．3 2．已知 20 ,    ，满足 5 3 10,sin5 10cos   ，求   的值 ( ) A． 4  B． 3 4 4  或 C． 3 4  D． 4  +2k 3． “ ln lna b ”是“ a be e ”的( ) A 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若 1 2 2017, , ,x x x 的平均数为 4，标准差为 3，且  3 2i iy x   ， 1,2, ,2017i   ， 则新数据 1 2 2017, , ,y y y 的平均数和标准差分别为（ ） A ．-6 9 B．-6 27 C ．-12 9 D．-12 27 5．如图，AB 是⊙ o 的直径，VA 垂直⊙ o 所在的平面，点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的是( ） A．MN//AB B．MN 与 BC 所成的角为 45° C．OC⊥平面 VAC D．平面 VAC⊥平面 VBC 6．已知点 1 2F F、 分别是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   的左、右焦点，过 1F 且垂直于 x 轴的 直线与椭圆交于 M、N 两点，若 2MNF 为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( ) A． 2 2 B． 1 2 C． 1 2  D． 3 3 7．已知向量 3OA  ， 2OB  ， OC mOA nOB    ，若OA  与 OB  的夹角为 60°，且 OC AB  ，则实数 m n 的值为（ ） A． 1 4 B． 1 6 C． 6 D． 4 8．已知 ( )f x = 22 cos ( )A x A   （ 2 π0,0,0  A ），直线 3 πx 和点（ 12 π ，0） 分别是 ( )f x 图象上相邻的一条对称轴和一个对称中心，则函数 ( )f x 的单调增区间为 （ ） A．[ 2ππ 3k  ， ππ 6k  ]（ k Z ） B．[ ππ 6k  ， ππ+ 3k ]（ k Z ） C．[ 5ππ 12k  ， ππ+12k ]（ k Z ） D．[ ππ+12k ， 7ππ+ 12k ]（ k Z ） 9．执行如图所示的程序框图，则输出的 a  （ ） A．1 B． 5 11 C． 2 D． 4 13 10．在 122018 2 2017 xx     的展开式中， 5x 项的系数为（ ） A．252 B．264 C． 512 D．528 11．已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 41666π24  ，则该 几何体的体积为（ ） A． 48π24  B． 41690π24  C． 48π48  D． 41666π24  12．已知函数 1( ) (ln | | )2f x a x  与函数 2( )g x x 有 4 个不同的交点，则实数 a 的取值范 围是（ ） A． 2e(0, )2 B． 2e( , )2  C． 2(0,2e ) D． 2(2e , ) 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知 0,a  且 1a  ，函数    25 1 ln 11 x x af x x xa     设函数 ( )f x 的最大值为 M , 最小值为 N ,则 M N = ． 14．设双曲线   2 2 2 2 1 0 0x y a ,ba b     的左、右顶点分别为 A , B ，点 P 在双曲线上且异于 A , B 两点， O 为坐标原点．若直线 PA 与 PB 的斜率之积为 7 9 ，则双曲线的离心率为________． 15．若 yx, 满足约束条件       0 01 01 y yx yx ，则 3x y 的最小值为 ． 16． ABC ，已知 ABCABCDBCACAB  ,4,3,5 ， 的平分线与CD 交于点 E ， 则 CEB 的外接圆面积是 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． 17．（本小题满分 12 分） 等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，数列 }{ nb 是等比数列，满足 1,3 11  ba ， 1022  Sb ， 323 2 aba  ． (Ⅰ）求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式； （Ⅱ）令 2 , = , nn n nSc b n    为奇数 为偶数 ，设数列 nc 的前 n 项和 nT ，求 nT2 ． 18．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PC  平面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， AB AD ， PAB DC ， 2 2 2AB AD CD   ， E 是 PB 上的点． （Ⅰ）求证：平面 EAC  平面 PBC ； （Ⅱ）若E 是 PB 的中点，且二面角P AC E  的余弦值为 6 3 ，求直线PA 与平面EAC 所成角的余弦值． 19．（本小题满分 12 分）为了调查历城区城乡居民人民生活水平，随机抽取了 10 个家庭， 得到第 )10,2,1( ii 个家庭月收入 ix （单位：千元）与月流动资金 iy （单位：千元）的数 据资料如下表： 其中 ii x ， y 与 x 满足函数模型 xcdy  ；（Ⅰ）求方程 xcdy  ； (Ⅱ)已知某家庭 9 月收入为 9 千元，该家庭计划用当月流动资金购置价格为 499 元的九阳豆 浆机，问计划能否成功？ 附 ： 对 一 组 数 据   ),,2,1(, niyx ii  其 回 归 直 线   axby 的 最 小 二 乘 法 估 计 为 ., 2 1 2 1 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii           20．（本小题满分 12 分）已知抛物线 y2＝4x，直线 : 2 2 0l x y b   与抛物线交于 A，B 两点． (Ⅰ)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程； (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交，求△AOB(O 为坐标原点)面积的最大值．   10 1i ix   10 1i iy 720 20 21． （本小题满分 12 分） 已知函数  f x 2 2 2 1 x ax x e   ,     211 x g x f xx       （Ⅰ）讨论函数  f x 的单调性; （Ⅱ）当 0a  时,函数  g x 在 (0, ) 是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说 明理由． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．[选修 4-4，坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 1C 的极坐 标方程为 sin 4   ，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 1 0        ，曲线 3C 的极坐标方程为 ( )4 R   （Ⅰ）求 1C 与 2C 的直角坐标方程; （Ⅱ）若 2C 与 1C 的交于 P 点， 2C 与 3C 交于 A、B 两点，求 PAB 的面积． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 123)(  xaxxf ， （Ⅰ）当 3a 时，解不等式 1)( xf ； (Ⅱ)若不等式 16)(  xxf 有解，求实数 a 的取值范围． 2018 高三数学（理）模拟试题参考答案及评分标准 （历城二中数学组命制） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A A D C B A C B A D 1． 【解析】 ， 选 B． 2．【解析】 ， 选 C． 3． 【解析】答案 A． 等价于 ，当 或 时， 不成立； 而 等价于 ,能推出 ； 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件． 答案 A． 4．【解析】选 A．数据的变化，会引起其数字特征的变化．变化规律总结为： 若数据由 ,则平均值由 方差由 ，标准差由 ． 7．【解析】 】 8．【解析】 9．【解析】 10．【解析】 必须满足 ， 项的系数 选 B． 11．【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为 、高为 的 圆锥与底面为直角边 长为 等腰直角三角形，侧棱 垂直底面，高为 的三棱锥组成的组合体，圆锥的底面 半径为 ，母线长为 ，其表面积为 + + + = ，解得 =2，所以圆锥的底面半 径为 6，母线长为 10，所以该几何体的体积为 = ，故选 A． 12．【解析】由题意，函数 与函数 有 4 个不同的交点，即方 程 有 4 个解，设 ，显然函数 为偶 函数，且 ，函数 有四个零点等价于函数 在 内有 2 个零点． 显然当 时， ． （1）当 时，函数 在 上单调递增，最多只有一个零点，显然不满足题意； （2）当 时， ． 由 得 ；由 得 ． 所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． 所以函数 ． 又当 时， ；当 时， ， 由函数 在区间 上有两个零点可得 ，即 ，解之得 ．故选 D． 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．6 14． 15． 16． 13．【解析】 设 则 为 奇 函 数 ， 所 以 14．【解析】对双曲线来说, , 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． 17．【解析】（Ⅰ）设数列 的公差为 ，数列 的公式为 ， 由 ． 得 ，解得 ． ∴ ．………6 分 （Ⅱ）由 得 ， 则 为奇数， ， 为偶数， ． ∴ ………12 分 18． 解析：（Ⅰ） ,又 …………4 分 ．………5 分 （Ⅱ）以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则 ， , 设 （ ），则 ， ， ， ，．．．．．．．6 分 取 则 ，∴ 为面 的法向量 设 为面 的法向量，则 ， 即 ，取 ， ， ，则 ，．．．．．．．．．．．．．． 8 分 依题意， ，则 ．．．．．．．．．．．．．．．9 分 于是 ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， ,则直线 与平面 所成角的余弦值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 故 可 以 购 买 豆 浆 机 。 20．解：(Ⅰ)联立 x＋b， y2＝4x， 消去 x 并化简整理得 y2＋8y－8b＝0． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 分 依题意应有Δ＝64＋32b＞0，解得 b＞－2． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b， 设圆心 Q(x0，y0)， 则应有 x0＝x1＋x2 2 ，y0＝y1＋y2 2 ＝－4． 因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，得到圆的半径为 r＝|y0|＝4， 又|AB|＝＝＝＝． 所以|AB|＝2r＝＝8， 解得 b＝－8 5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 分 所以 x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝48 5 ， 所以圆心为 24，－4． 故所求圆的方程为 24 5 2＋(y＋4)2＝16． ……5 分 (Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交，所以 b＜0， 又 l 与抛物线交于两点，由(1)知 b＞－2， 所以－2＜b＜0，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分 直线 l：y＝－1 2x＋b 整理得 x＋2y－2b＝0，点 O 到直线 l 的距离 d＝|－2b| 5 ＝ －2b 5 ， 所以 S△AOB＝1 2|AB|d＝－4b＝4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分 令 g(b)＝b3＋2b2，－2＜b＜0，g′(b)＝3b2＋4b＝3b4 3， b 4 3 － 4 3 4 ，0 g′(b) ＋ 0 － g(b)  极大值  由上表可得 g(b)的最大值为 g4 3＝32 27．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 故 S△AOB≤4× 32 27＝3 9． 所以当 b＝－4 3时，△AOB 的面积取得最大值3 9．……12 分 21．解: （Ⅰ）函数 的定义域为 , ．………………1 分 ①当 时， ， 1 + 0 - 极大值 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． ………………2 分 ②当 时，令 ，得 或 显然 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；……3 分 ③当 时，令 ，得 或 (i)当 时, 时 恒成立, 上单调递增; …………4 分 （ⅱ）当 时, 1 + 0 - 0 + 极小值 极大值 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ；………5 分 （ⅲ）当 时， 1 -+ 0 - 0 + 极小值 极大值 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ………6 分 综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ； 当 时, 上单调递增； 当 时, 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ； 当 时 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ．………7 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 , 在 处取得极大值也是最大值 ………8 分 等价于 ， ， 令 得 ，所以 ， 所以先增后减，在 处取最大值 0，所以 ．………10 分 所以 进而 ,所以 即 , ………11 分 又 所以函数 在 不存在零点． …………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．[选修 4-4，坐标系与参数方程]（10 分） 【解析】 （Ⅰ）根据题意， 的普通方程为 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 分 的普通方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 分 （Ⅱ） 的普通方程为 ，联立 与 ，得 ， 得 ，所以点 P 坐标(1,4) 点 P 到 的距离 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分 设 , ．将 代入 得 则 ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10 分 23 解：（Ⅰ） (2)