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- 2021-06-10 发布
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学案19 三角函数的图像与性质
导学目标: 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
自主梳理
1.三角函数的图象和性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
在______________________上增,在__________________________________上减
在__________________________上增,在______________________________上减
在定义域的每一个区间________________________________内是增函数
2.正弦函数y=sin x
当x=____________________________________时,取最大值1;
当x=____________________________________时,取最小值-1.
3.余弦函数y=cos x
当x=__________________________时,取最大值1;
当x=__________________________时,取最小值-1.
4.y=sin x、y=cos x、y=tan x的对称中心分别为____________、___________、______________.
5.y=sin x、y=cos x的对称轴分别为______________和____________,y=tan x没有对称轴.
自我检测
1.(2010·十堰月考)函数y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数y=sin图象的对称轴方程可能是 ( )
A.x=- B.x=-
C.x= D.x=
3.(2010·湖北)函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为 ( )
A. B.π C.2π D.4π
4.(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x的最小正周期为 ( )
A.4π B.3π C.2π D.π
5.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为 ( )
A. B. C. D.
探究点一 求三角函数的定义域
例1 (2011·衡水月考)求函数y=+的定义域.
变式迁移1 函数y=+lg(2sin x-1)的定义域为________________________.
探究点二 三角函数的单调性
例2 求函数y=2sin的单调区间.
变式迁移2 (2011·南平月考)(1)求函数y=sin,x∈[-π,π]的单调递减区间;
(2)求函数y=3tan的周期及单调区间.
探究点三 三角函数的值域与最值
例3 已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
变式迁移3 设函数f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=bsin(ax+)的周期.
转化与化归思想的应用
例 (12分)求下列函数的值域:
(1)y=-2sin2x+2cos x+2;
(2)y=3cos x-sin x,x∈[0,];
(3)y=sin x+cos x+sin xcos x.
【答题模板】
解 (1)y=-2sin2x+2cos x+2=2cos2x+2cos x
=2(cos x+)2-,cos x∈[-1,1].
当cos x=1时,ymax=4,
当cos x=-时,ymin=-,故函数值域为[-,4].[4分]
(2)y=3cos x-sin x=2cos(x+)
∵x∈[0,],∴≤x+≤,
∵y=cos x在[,]上单调递减,
∴-≤cos(x+)≤
∴-≤y≤3,故函数值域为[-,3].[8分]
(3)令t=sin x+cos x,则sin xcos x=,且|t|≤.
∴y=t+=(t+1)2-1,∴当t=-1时,ymin=-1;
当t=时,ymax=+.
∴函数值域为[-1,+].[12分]
【突破思维障碍】
1.对于形如f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[a,b]的函数在求值域时,需先确定ωx+φ的范围,再求值域.同时,对于形
如y=asin ωx+bcos ωx+c的函数,可借助辅助角公式,将函数化为y=sin(ωx+φ)+c的形式,从而求得函数的最值.
2.关于y=acos2x+bcos x+c(或y=asin2x+bsin x+c)型或可以为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题.
提醒:不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域.
1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础,三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组).
2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题.
3.函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x的单调区间来求.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2011·黄山月考)已知函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的值不可能是 ( )
A. B. C.π D.
2.(2010·安徽6校高三联考)已知函数y=tan ωx (ω>0)与直线y=a相交于A、B两点,且|AB|最小值为π,则函数f(x)=sin ωx-cos ωx的单调增区间是 ( )
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
3.函数f(x)=tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y=所得线段长为,则f的值是 ( )
A.0 B.1 C.-1 D.
4.函数y=-xcos x的部分图象是图中 ( )
5.(2011·三明模拟)若函数y=sin x+f(x)在[-,]上单调递增,则函数f(x)可以是( )
A.1 B.cos x
C.sin x D.-cos x
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.设点P是函数f(x)=sin ωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是________.
7.函数f(x)=2sin 对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为________.
8.(2010·江苏)定义在区间上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011·厦门月考)已知函数f(x)=,求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性.
10.(12分)(2010·福建改编)已知函数f(x)=2sin(ωx+)+a(ω>0)与g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)当x∈[0,]时,f(x)的最小值为-2,求a的值.
11.(14分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a=(sin x,2sin x),b=(2cos x,sin x),定义f(x)=a·b-.
(1)求函数y=f(x),x∈R的单调递减区间;
(2)若函数y=f(x+θ) (0<θ<)为偶函数,求θ的值.
答案 自主梳理
1.R R {x|x≠kπ+,k∈Z} [-1,1] [-1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2kπ-,2kπ+](k∈Z) [2kπ+,2kπ+π](k∈Z) [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) (kπ-,kπ+)(k∈Z)
2.2kπ+(k∈Z) 2kπ-(k∈Z) 3.2kπ(k∈Z) 2kπ+π(k∈Z) 4.(kπ,0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 5.x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z)
自我检测
1.C 2.D 3.D 4.D 5.A
课堂活动区
例1 解题导引 求三角函数的定义域时,需要转化为三角不等式(组)求解,常常借助于三角函数的图象和周期解决,求交集时可以利用单位圆,对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可.
解 要使函数有意义,
则
得
所以函数的定义域为
.
变式迁移1 ,k∈Z
解析 由题意得
⇒,
解得,
即x∈,k∈Z.
例2 解题导引 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ (ω>0)”视为一个“整体”;②A>0 (A<0)时,所列不等式的方向与y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).
解 y=2sin可看作是由y=2sin u与u=-x复合而成的.
又∵u=-x为减函数,
∴由2kπ-≤u≤2kπ+(k∈Z),
即2kπ-≤-x≤2kπ+ (k∈Z),
得-2kπ-≤x≤-2kπ+ (k∈Z),
即(k∈Z)为
y=2sin的递减区间.
由2kπ+≤u≤2kπ+ (k∈Z),
即2kπ+≤-x≤2kπ+ (k∈Z),
得-2kπ-≤x≤-2kπ- (k∈Z),
即(k∈Z)为
y=2sin的递增区间.
综上可知,y=2sin的递增区间为
(k∈Z);
递减区间为 (k∈Z).
变式迁移2 解 (1)由y=sin,
得y=-sin,
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
又x∈[-π,π],
∴-π≤x≤-π,-≤x≤π,π≤x≤π.
∴函数y=sin,x∈[-π,π]的单调递减区间为,,.
(2)函数y=3tan的周期
T==4π.
由y=3tan
得y=-3tan,
由-+kπ<-<+kπ得
-π+4kπ0,则,解得;
若a<0,则,
解得.
综上可知,a=12-6,b=-23+12
或a=-12+6,b=19-12.
变式迁移3 解 ∵x∈R,
∴cos x∈[-1,1],
若a>0,则,解得;
若a<0,则,解得.
所以g(x)=-sin(2x+)或g(x)=-sin(-2x+),周期为π.
课后练习区
1.A [画出函数y=sin x的草图(图略),分析知b-a的取值范围为[,],故选A.]
2.B [由题意知,函数的最小正周期为π,则ω=1,
故f(x)=sin ωx-cos ωx
=2sin的单调增区间满足:
2kπ-≤x-≤2kπ+ (k∈Z)
解得2kπ-≤x≤2kπ+.]
3.A
4.D
5.D [因为y=sin x-cos x=sin(x-),-≤x-≤,即-≤x≤,满足题意,所以函数f(x
)可以是-cos x.]
6.
解析 依题意得=,所以最小正周期T=.
7.4π
解析 由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知,f(x1)、f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,而当=2kπ-,即x=8kπ-2π (k∈Z)时,f(x)取最小值;而=2kπ+,即x=8kπ+2π (k∈Z)时,f(x)取最大值,
∴|x1-x2|的最小值为4π.
8.
解析 线段P1P2的长即为sin x的值,且其中的x满足6cos x=5tan x,x∈,解得sin x=.所以线段P1P2的长为.
9.解 由题意知cos 2x≠0,得2x≠kπ+,
解得x≠+ (k∈Z).
∴f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠+,k∈Z}.
……………………………………………………………………………………………(3分)
又f(x)=
=
=cos2x-1=-sin2x,……………………………………………………………………(6分)
又∵定义域关于原点对称,
∴f(x)是偶函数.…………………………………………………………………………(8分)
显然-sin2x∈[-1,0],
又∵x≠+,k∈Z,
∴-sin2x≠-.
∴原函数的值域为
.……………………………………………………………(12分)
10.解 (1)∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同,
∴二者的周期相同,即ω=2,f(x)=2sin(2x+)+a(3分)
∴f(x)的最小正周期T==π.…………………………………………………………(4分)
(2)当2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递减,
故函数f(x)的单调递减区间为
[kπ+,kπ+](k∈Z).…………………………………………………………………(8分)
(3)当x∈[0,]时,2x+∈[,],…………………………………………………(10分)
∴2sin(2·+)+a=-2,
∴a=-1.………………………………………………………………………………(12分)
11.解 f(x)=2sin xcos x+2sin2x-
=sin 2x+2·-
=sin 2x-cos 2x=2sin.………………………………………………………(4分)
(1)令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得单调递减区间是,k∈Z.
……………………………………………………………………………………………(8分)
(2)f(x+θ)=2sin.
根据三角函数图象性质可知,
y=f(x+θ) 在x=0处取最值,
∴sin=±1,
∴2θ-=kπ+,θ=+,k∈Z.……………………………………………………(12分)
又0<θ<,解得θ=.…………………………………………………………………(14分)