高三数学总复习学案19 9页

学案19　三角函数的图像与性质 导学目标： 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ 自主梳理 ‎1．三角函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 在______________________上增，在__________________________________上减 在__________________________上增，在______________________________上减 在定义域的每一个区间________________________________内是增函数 ‎2.正弦函数y＝sin x 当x＝____________________________________时，取最大值1；‎ 当x＝____________________________________时，取最小值－1.‎ ‎3．余弦函数y＝cos x 当x＝__________________________时，取最大值1；‎ 当x＝__________________________时，取最小值－1.‎ ‎4．y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x的对称中心分别为____________、___________、______________.‎ ‎5．y＝sin x、y＝cos x的对称轴分别为______________和____________，y＝tan x没有对称轴．‎ 自我检测 ‎1．(2010·十堰月考)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为 (　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎2．函数y＝sin图象的对称轴方程可能是 (　　)‎ A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ ‎3．(2010·湖北)函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为 (　　)‎ A. B．π C．2π D．4π ‎4．(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x的最小正周期为 (　　)‎ A．4π B．3π C．2π D．π ‎5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为 (　　)‎ A. B. C. D. 探究点一　求三角函数的定义域 例1　(2011·衡水月考)求函数y＝＋的定义域．‎ 变式迁移1　函数y＝＋lg(2sin x－1)的定义域为________________________．‎ 探究点二　三角函数的单调性 例2　求函数y＝2sin的单调区间．‎ 变式迁移2　(2011·南平月考)(1)求函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间；‎ ‎(2)求函数y＝3tan的周期及单调区间．‎ 探究点三　三角函数的值域与最值 例3　已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．‎ 变式迁移3　设函数f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋)的周期．‎ 转化与化归思想的应用 例　(12分)求下列函数的值域：‎ ‎(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2；‎ ‎(2)y＝3cos x－sin x，x∈[0，]；‎ ‎(3)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x.‎ ‎【答题模板】‎ 解　(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x ‎＝2(cos x＋)2－，cos x∈[－1,1]．‎ 当cos x＝1时，ymax＝4，‎ 当cos x＝－时，ymin＝－，故函数值域为[－，4]．[4分]‎ ‎(2)y＝3cos x－sin x＝2cos(x＋)‎ ‎∵x∈[0，]，∴≤x＋≤，‎ ‎∵y＝cos x在[，]上单调递减，‎ ‎∴－≤cos(x＋)≤ ‎∴－≤y≤3，故函数值域为[－，3]．[8分]‎ ‎(3)令t＝sin x＋cos x，则sin xcos x＝，且|t|≤.‎ ‎∴y＝t＋＝(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；‎ 当t＝时，ymax＝＋.‎ ‎∴函数值域为[－1，＋]．[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ ‎1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形 如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．‎ ‎2．关于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．‎ 提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．‎ ‎1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．‎ ‎2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x的单调区间来求． ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·黄山月考)已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的值不可能是 (　　)‎ A. B. C．π D. ‎2．(2010·安徽6校高三联考)已知函数y＝tan ωx (ω>0)与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝sin ωx－cos ωx的单调增区间是 (　　)‎ A. (k∈Z)‎ B. (k∈Z)‎ C. (k∈Z)‎ D. (k∈Z)‎ ‎3．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是 (　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．－1 D. ‎4．函数y＝－xcos x的部分图象是图中 (　　)‎ ‎5．(2011·三明模拟)若函数y＝sin x＋f(x)在[－，]上单调递增，则函数f(x)可以是(　　)‎ A．1 B．cos x C．sin x D．－cos x 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是________．‎ ‎7．函数f(x)＝2sin 对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为________．‎ ‎8．(2010·江苏)定义在区间上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·厦门月考)已知函数f(x)＝，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．‎ ‎10．(12分)(2010·福建改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)＋a(ω>0)与g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递减区间；‎ ‎(3)当x∈[0，]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．‎ ‎11．(14分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a＝(sin x，2sin x)，b＝(2cos x，sin x)，定义f(x)＝a·b－.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；‎ ‎(2)若函数y＝f(x＋θ) (0<θ<)为偶函数，求θ的值．‎ 答案 自主梳理 ‎1．R　R　{x|x≠kπ＋，k∈Z}　[－1,1]　[－1,1]　R　2π　2π　π　奇函数　偶函数　奇函数　[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)　[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　(kπ－，kπ＋)(k∈Z)‎ ‎2．2kπ＋(k∈Z)　2kπ－(k∈Z)　3.2kπ(k∈Z)　2kπ＋π(k∈Z)　4.(kπ，0)(k∈Z)　(k∈Z)　(k∈Z)　5.x＝kπ＋(k∈Z)　x＝kπ(k∈Z)‎ 自我检测 ‎1．C　2.D　3.D　4.D　5.A 课堂活动区 例1　解题导引　求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．‎ 解　要使函数有意义，‎ 则 得 所以函数的定义域为 .‎ 变式迁移1　，k∈Z 解析　由题意得 ⇒，‎ 解得，‎ 即x∈，k∈Z.‎ 例2　解题导引　求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．‎ 解　y＝2sin可看作是由y＝2sin u与u＝－x复合而成的．‎ 又∵u＝－x为减函数，‎ ‎∴由2kπ－≤u≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 即2kπ－≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)，‎ 得－2kπ－≤x≤－2kπ＋ (k∈Z)，‎ 即(k∈Z)为 y＝2sin的递减区间．‎ 由2kπ＋≤u≤2kπ＋ (k∈Z)，‎ 即2kπ＋≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)，‎ 得－2kπ－≤x≤－2kπ－ (k∈Z)，‎ 即(k∈Z)为 y＝2sin的递增区间．‎ 综上可知，y＝2sin的递增区间为 (k∈Z)；‎ 递减区间为 (k∈Z)．‎ 变式迁移2　解　(1)由y＝sin，‎ 得y＝－sin，‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 又x∈[－π，π]，‎ ‎∴－π≤x≤－π，－≤x≤π，π≤x≤π.‎ ‎∴函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间为，，.‎ ‎(2)函数y＝3tan的周期 T＝＝4π.‎ 由y＝3tan 得y＝－3tan，‎ 由－＋kπ<－<＋kπ得 ‎－π＋4kπ0，则，解得；‎ 若a<0，则，‎ 解得.‎ 综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12 或a＝－12＋6，b＝19－12.‎ 变式迁移3　解　∵x∈R，‎ ‎∴cos x∈[－1,1]，‎ 若a>0，则，解得；‎ 若a<0，则，解得.‎ 所以g(x)＝－sin(2x＋)或g(x)＝－sin(－2x＋)，周期为π.‎ 课后练习区 ‎1．A　[画出函数y＝sin x的草图(图略)，分析知b－a的取值范围为[，]，故选A.]‎ ‎2．B　[由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，‎ 故f(x)＝sin ωx－cos ωx ‎＝2sin的单调增区间满足：‎ ‎2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)‎ 解得2kπ－≤x≤2kπ＋.]‎ ‎3．A ‎4．D ‎5．D　[因为y＝sin x－cos x＝sin(x－)，－≤x－≤，即－≤x≤，满足题意，所以函数f(x ‎)可以是－cos x．]‎ ‎6. 解析　依题意得＝，所以最小正周期T＝.‎ ‎7．4π 解析　由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)、f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，而当＝2kπ－，即x＝8kπ－2π (k∈Z)时，f(x)取最小值；而＝2kπ＋，即x＝8kπ＋2π (k∈Z)时，f(x)取最大值，‎ ‎∴|x1－x2|的最小值为4π.‎ ‎8. 解析　线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x＝5tan x，x∈，解得sin x＝.所以线段P1P2的长为.‎ ‎9．解　由题意知cos 2x≠0，得2x≠kπ＋，‎ 解得x≠＋ (k∈Z)．‎ ‎∴f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}．‎ ‎……………………………………………………………………………………………(3分)‎ 又f(x)＝ ‎＝ ‎＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………(6分)‎ 又∵定义域关于原点对称，‎ ‎∴f(x)是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)‎ 显然－sin2x∈[－1,0]，‎ 又∵x≠＋，k∈Z，‎ ‎∴－sin2x≠－.‎ ‎∴原函数的值域为 .……………………………………………………………(12分)‎ ‎10．解　(1)∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，‎ ‎∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋)＋a(3分)‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝π.…………………………………………………………(4分)‎ ‎(2)当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递减，‎ 故函数f(x)的单调递减区间为 ‎[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．…………………………………………………………………(8分)‎ ‎(3)当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，…………………………………………………(10分)‎ ‎∴2sin(2·＋)＋a＝－2，‎ ‎∴a＝－1.………………………………………………………………………………(12分)‎ ‎11．解　f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋2·－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.………………………………………………………(4分)‎ ‎(1)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 解得单调递减区间是，k∈Z.‎ ‎……………………………………………………………………………………………(8分)‎ ‎(2)f(x＋θ)＝2sin.‎ 根据三角函数图象性质可知，‎ y＝f(x＋θ) 在x＝0处取最值，‎ ‎∴sin＝±1，‎ ‎∴2θ－＝kπ＋，θ＝＋，k∈Z.……………………………………………………(12分)‎ 又0<θ<，解得θ＝.…………………………………………………………………(14分)‎