江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次调研考试+数学 16页

‎2019届高三模拟考试试卷 数　　学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ ‎2019．5‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 已知集合U＝{－1，0，2，3}，A＝{0，3}，则∁UA＝________．‎ ‎2. 已知复数z＝(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．‎ ‎3. 右图是一个算法流程图．若输出y的值为4时，则输入x的值为________．　‎ ‎4. 已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy＝90，则该组数据的方差为________．‎ ‎5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．‎ ‎6. 已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________．　‎ ‎7. 已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn.若a3－a2＝4，a4＝16，则S3的值为________．‎ ‎8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎9. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝3 cm，BC＝1 cm，CD＝2 cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm3.‎ ‎10. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝sin 2x与y＝tan x在(，π)上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为________．‎ ‎11. 如图，在正六边形ABCDEF中，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．‎ ‎(第11题)‎ ‎　　　　(第12题)‎ ‎12. 如图，有一壁画，最高点A处离地面6 m，最低点B处离地面3.5 m．若从离地高2 m的C处观赏它，则离墙________m时，视角θ最大．‎ ‎13. 已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．‎ ‎14. 在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1.若·＋·＝·，则CB＋CD的最小值为________．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)．‎ ‎(1) 求角C的值；‎ ‎(2) 若a＝4b，求sin B的值．‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP＝BC，点E，F分别是PC，AD的中点．求证：‎ ‎(1) BE⊥CD；‎ ‎(2) EF∥平面PAB.‎ ‎(本小题满分14分)‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为A(0，)，圆O：x2＋y2＝经过点M(0，1)．‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N.若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.‎ ‎(1) 若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；‎ ‎(2) 当风筝面AEA′F的面积为 m2时，求点A′到AB距离的最大值．‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知数列{an}满足(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1(n≥2)，bn＝－n(n∈N*)．‎ ‎(1) 若a1＝3，求证：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2) 若存在k∈N*，使得，，成等差数列．‎ ‎①求数列{an}的通项公式；‎ ‎②求证：ln n＋an＞ln(n＋1)－an＋1.‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)＝(a≠0)，e是自然对数的底数．‎ ‎(1) 当a＞0时，求f(x)的单调增区间；‎ ‎(2) 若对任意的x≥，f(x)≥2eb－1(b∈R)，求的最大值；‎ ‎(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋ex＜0的解集.‎ ‎2019届高三模拟考试试卷 数学附加题 ‎(满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. (选修42：矩阵与变换)‎ 已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝的逆矩阵A－1＝.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线y＝2x＋1，求曲线C的方程．‎ B. (选修44：坐标系与参数方程)‎ 在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为(4，)，(2，)，曲线C的方程为ρ＝r(r>0)．‎ ‎(1) 求直线AB的直角坐标方程；‎ ‎(2) 若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．‎ C.(选修45：不等式选讲)‎ 已知a∈R，若关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，求a的取值范围．‎ ‎【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. 现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．‎ ‎　　　　　　　　　　表1‎ 文章学习积分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎　　　　　　　表2‎ 视频学习积分 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ 概率 ‎(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；‎ ‎(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．‎ ‎(1) 求2P2－Q2的值；‎ ‎(2) 化简nPn－Qn.‎ ‎2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1. {－1，2}　2. －3　3. －1　4. 　5. 　6. (－2，0)∪(2，＋∞)　7. 14　8. 2　9. 　10. － ‎11. 　12. 　13. －　14. ‎15. 解：(1) 在△ABC中， 因为a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)，‎ 由正弦定理＝＝，‎ 所以a(a－b)＝(b＋c)(c－b)，(3分)‎ 即a2＋b2－c2＝ab.‎ 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得cos C＝.(5分)‎ 因为00，所以sin B＝.(14分)‎ ‎16. 证明：(1) 在△PBC中，因为BP＝BC，点E是PC的中点，所以BE⊥PC.(2分)‎ 因为平面BPC⊥平面DPC，平面BPC∩平面DPC＝PC，BE平面BPC，‎ 所以BE⊥平面PCD.(5分)‎ 因为CD平面DPC，所以BE⊥CD.(7分)‎ ‎(2) 如图，取PB的中点H，连结EH，AH.‎ 在△PBC中，因为点E是PC的中点，‎ 所以HE∥BC，HE＝BC.(9分)‎ 又底面ABCD是平行四边形，点F是AD的中点，‎ 所以AF∥BC，AF＝BC.‎ 所以HE∥AF，HE＝AF，‎ 所以四边形AFEH是平行四边形，‎ 所以EF∥HA.(12分)‎ 因为EF平面PAB，HA平面PAB，所以EF∥平面PAB.(14分)‎ ‎17. 解：(1) 因为椭圆C的上顶点为A(0，)，所以b＝.‎ 又圆O：x2＋y2＝a2经过点M(0，1)，所以a＝2.(2分)‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.(4分)‎ ‎(2) 若直线l1的斜率为0，则PQ＝，MN＝2，‎ 所以△PQN的面积为，不合题意，所以直线l1的斜率不为0.(5分)‎ 设直线l1的方程为y＝kx＋1，‎ 由消y，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＝，x2＝，‎ 所以PQ＝＝＝.(8分)‎ 由题可知，直线l2的方程为y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0，‎ 所以MN＝2＝.(11分)‎ 所以△PQN的面积S＝PQ·MN＝×·＝3，‎ 解得k＝±，即直线l1的斜率为±.(14分)‎ ‎18. 解：(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系，‎ 则B(2，0)，D(0，)，‎ 直线BD的方程为3x＋4y－6＝0.(2分)‎ 设F(0，b)(b>0)，‎ 因为点F到AB与BD的距离相等，‎ 所以b＝，解得b＝或b＝－6(舍去)．(4分)‎ 所以△ABF的面积为×2×＝ m2，‎ 所以四边形ABA′F的面积为 m2.‎ 答：风筝面ABA′F的面积为 m2.(6分)‎ ‎(解法2)设∠ABF＝θ，则∠ABA′＝2θ.‎ 在直角三角形ABD中，tan 2θ＝＝，(2分)‎ 所以＝，解得tan θ＝或tan θ＝－3(舍去)．‎ 所以AF＝ABtan θ＝.(4分)‎ 所以△ABF的面积为×2×＝ m2，所以四边形ABA′F的面积为 m2.‎ 答：风筝面ABA′F的面积为 m2.(6分)‎ ‎(2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系．‎ 设AE＝a，AF＝b，A′(x0，y0)，‎ 则直线EF的方程为bx＋ay－ab＝0.‎ 因为点A，A′关于直线EF对称，‎ 所以 解得y0＝.(10分)‎ 因为四边形AEA′F的面积为，所以ab＝，所以y0＝＝.‎ 因为0ln(n＋1)－an＋1，‎ 即证(an＋an＋1)>ln，即证＋>2ln.‎ 设t＝，则＋＝t－1＋＝t－，且t>1，‎ 从而只需证：当t>1时，t－>2ln t．(12分)‎ 设f(x)＝x－－2ln x(x>1)，则f′(x)＝1＋－＝(－1)2>0，‎ 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x－>2ln x.‎ 因为t>1，所以t－>2ln t，所以原不等式得证．(16分)‎ ‎20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e－1)∪(e－1，＋∞)．‎ 由f′(x)＝＝，(2分)‎ 令f′(x)>0，因为a>0，得x>e－.‎ 因为e－>e－1，所以f(x)的单调增区间是(e－，＋∞)．(4分)‎ ‎(2) 当a<0时，f(1)＝a<0<2eb－1，不合题意；‎ 当a>0时，令f′(x)<0，得00，则≤.(8分)‎ 设g(b)＝(b>0)，则g′(b)＝.‎ 当00；当b>1时，g′(b)<0，‎ 所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，‎ 所以g(b)≤g(1)，即≤，‎ 所以的最大值为.(10分)‎ ‎(3) 由(2)知，当a>0时，f(x)无极大值．‎ 当a<0时，f(x)在(0，e－1)和(e－1，e－)上单调递增，在(e－，＋∞)上单调递减，‎ 所以f(x)在x＝e－处取极大值，所以f(e－)＝＝－2，即a＝－e.(12分)‎ 设F(x)＝f(x)＋ex，即F(x)＝ex－，‎ 当x∈(0，e－1)，1＋ln x<0，所以F(x)>0；‎ 当x∈(e－1，＋∞)，F′(x)＝ex－，‎ 由(2)知ex≤ex，又1＋2ln x≤(1＋ln x)2，‎ 所以F′(x)≥0，且F(x)不恒为零，所以F(x)在(e－1，＋∞)上单调递增．‎ 不等式f(x)＋ex<0，即为F(x)<0＝F(1)，所以e－10)，其直角坐标方程为x2＋y2＝r2.‎ 又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切，‎ 所以圆心到直线AB的距离为＝，即r的值为.(10分)‎ C. 解：因为关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，‎ 所以Δ＝16－4(|a－1|＋|a|)≥0，即|a－1|＋|a|≤4.(4分)‎ 当a≥1时，2a－1≤4，得1≤a≤；‎ 当0