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  • 2021-06-10 发布

2018届高三数学一轮复习: 第2章 第4节 二次函数与幂函数

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第四节 二次函数与幂函数 ‎[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念;(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,‎ y=x,y=的图象,了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质,‎ 能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.‎ ‎1.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);‎ 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k);‎ 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.‎ ‎(2)二次函数的图象与性质 ‎2.幂函数 ‎(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α 是常数.‎ ‎(2)五种常见幂函数的图象与性质 ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(  )‎ ‎(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.(  )‎ ‎(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).(  )‎ ‎(4)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(教材改编)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为(  )‎ A.         B.± C.± D.9‎ D [由题意可知4α=22α=2,所以α=.‎ 所以f(x)=x=,‎ 故f(m)==3⇒m=9.]‎ ‎3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. C [由题意知即得a>.]‎ ‎4.(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)=2x2+bx-3(b∈R)零点的个数是(  )‎ A.0    B.1‎ C.2    D.4‎ C [因为判别式Δ=b2+24>0,所以原二次函数有2个零点,故选C.]‎ ‎5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0)且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是________. ‎ ‎【导学号:01772037】‎ y=-x2+2x+8 [设y=a(x+2)(x-4),对称轴为x=1,‎ 当x=1时,ymax=-‎9a=9,∴a=-1,‎ ‎ ∴y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.]‎ 求二次函数的解析式 ‎ 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.‎ ‎ 【导学号:01772038】‎ ‎[解] 法一(利用一般式):‎ 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 2分 由题意得8分 解得 ‎∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7. 12分 法二(利用顶点式):‎ 设f(x)=a(x-m)2+n.‎ ‎∵f(2)=f(-1),‎ ‎∴抛物线的图象的对称轴为x==. 3分 ‎∴m=.又根据题意函数有最大值8,∴n=8.‎ ‎∴y=f(x)=a2+8. 8分 ‎∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,‎ ‎∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7. 12分 法三(利用零点式):‎ 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,2分 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),‎ 即f(x)=ax2-ax-‎2a-1. 6分 又函数的最大值是8,即=8,‎ 解得a=-4,‎ ‎∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 12分 ‎[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式,选法如下 ‎[变式训练1] 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.‎ ‎[解] ∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,‎ ‎∴f(x)的对称轴为x=2. 2分 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,‎ ‎∴f(x)=0的两根为1和3. 6分 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).‎ 又∵f(x)的图象过点(4,3),‎ ‎∴‎3a=3,a=1. 10分 ‎∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),‎ 即f(x)=x2-4x+3. 12分 二次函数的图象与性质 ‎☞角度1 二次函数图象的识别及应用 ‎ (1)设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(  )‎ A        B       C     D ‎(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.‎ ‎(1)D (2) [(1)由A,C,D知,f(0)=c<0.‎ ‎∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴x=->0,知A,C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=-<0,B错误.‎ ‎(2)作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有 即解得-<m<0.]‎ ‎☞角度2 二次函数的最值问题 ‎ (1)(2017·广西一模)若xlog52≥-1,则函数f(x)=4x-2x+1-3的最小值为(  )‎ A.-4       B.-3‎ C.-1 D.0‎ ‎(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,则a的值为(  ) ‎ ‎【导学号:01772039】‎ A.2 B.-1或-3‎ C.2或-3 D.-1或2‎ ‎(1)A (2)D [(1)xlog52≥-1⇒log52x≥log55-1⇒2x≥,‎ 令t=2x,则有y=t2-2t-3=(t-1)2-4,‎ 当t=1≥,即x=0时,f(x)取得最小值-4.故选A.‎ ‎(2)函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:‎ ‎①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,‎ ‎∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.‎ ‎②当0<a≤1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,a]上是增函数,在[a,1]上是减函数,‎ ‎∴f(x)max=f(a)=-a2+‎2a2+1-a=a2-a+1,‎ 由a2-a+1=2,解得a=或a=.∵0<a≤1,∴两个值都不满足,舍去.‎ ‎③当a>1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,‎ ‎∴f(x)max=f(1)=-1+‎2a+1-a=2,∴a=2.‎ 综上可知,a=-1或a=2.]‎ ‎☞角度3 二次函数中的恒成立问题 ‎ 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈‎ ‎[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] 由题意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.‎ 当x=0时,-3<0,适合;‎ 当x≠0时,a<2-. 4分 因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 当x=1时,右边取最小值,所以a<. 10分 综上,实数a的取值范围是. 12分 ‎[规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.‎ ‎2.由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max,a≤f(x)⇔a≤f(x)min.‎ 幂函数的图象与性质 ‎ (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是(  )‎ A       B       C      D ‎(2)已知幂函数f(x)=xm2-‎2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则m的值为________.‎ ‎(1)C (2)1 [(1)令f(x)=xα,则4α=2,∴α=,‎ ‎∴f(x)=x.‎ ‎(2)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,‎ ‎∴m2-‎2m-3<0,解得-1<m<3.‎ 又m∈N*,∴m=1或m=2.‎ 由于f(x)的图象关于y轴对称.‎ ‎∴m2-‎2m-3的值应为偶数,‎ 又当m=2时,m2-‎2m-3为奇数,‎ ‎∴m=2舍去.因此m=1.]‎ ‎[规律方法] 1.幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.‎ ‎2.若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断.‎ ‎3.若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.‎ ‎[变式训练2] (1)设a=0.5,b=0.9,c=log50.3,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a>c>b      B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c ‎(2)若(a+1) <(3-‎2a) ,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(1)D (2) [(1)a=0.5=0.25,b=0.9,所以根据幂函数的性质知b>a>0,而c=log50.3<0,所以b>a>c.‎ ‎(2)易知函数y=x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以解得-1≤a<.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.二次函数的三种形式的选法 ‎(1)已知三个点的坐标时,宜用一般式.‎ ‎(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点式.‎ ‎(3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f(x)更方便.‎ ‎2.研究二次函数的性质要注意 ‎(1)结合图象分析;‎ ‎(2)含参数的二次函数,要进行分类讨论.‎ ‎3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.‎ ‎4.幂函数y=xα(α∈R)图象的特征 α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;‎ α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.对于函数y=ax2+bx+c,若是二次函数,就隐含着a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要分a=0,a≠0两种情况讨论.‎ ‎2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.‎

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