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- 2021-06-10 发布
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第四节 二次函数与幂函数
[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念;(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,
y=x,y=的图象,了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质,
能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k);
零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象与性质
2.幂函数
(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α
是常数.
(2)五种常见幂函数的图象与性质
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( )
(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).( )
(4)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为( )
A. B.±
C.± D.9
D [由题意可知4α=22α=2,所以α=.
所以f(x)=x=,
故f(m)==3⇒m=9.]
3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C [由题意知即得a>.]
4.(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)=2x2+bx-3(b∈R)零点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.4
C [因为判别式Δ=b2+24>0,所以原二次函数有2个零点,故选C.]
5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0)且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是________.
【导学号:01772037】
y=-x2+2x+8 [设y=a(x+2)(x-4),对称轴为x=1,
当x=1时,ymax=-9a=9,∴a=-1,
∴y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.]
求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
【导学号:01772038】
[解] 法一(利用一般式):
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 2分
由题意得8分
解得
∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7. 12分
法二(利用顶点式):
设f(x)=a(x-m)2+n.
∵f(2)=f(-1),
∴抛物线的图象的对称轴为x==. 3分
∴m=.又根据题意函数有最大值8,∴n=8.
∴y=f(x)=a2+8. 8分
∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7. 12分
法三(利用零点式):
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,2分
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f(x)=ax2-ax-2a-1. 6分
又函数的最大值是8,即=8,
解得a=-4,
∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 12分
[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式,选法如下
[变式训练1] 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x
轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
[解] ∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,
∴f(x)的对称轴为x=2. 2分
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,
∴f(x)=0的两根为1和3. 6分
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又∵f(x)的图象过点(4,3),
∴3a=3,a=1. 10分
∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3. 12分
二次函数的图象与性质
☞角度1 二次函数图象的识别及应用
(1)设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )
A B C D
(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.
(1)D (2) [(1)由A,C,D知,f(0)=c<0.
∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴x=->0,知A,C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=-<0,B错误.
(2)作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有
即解得-<m<0.]
☞角度2 二次函数的最值问题
(1)(2017·广西一模)若xlog52≥-1,则函数f(x)=4x-2x+1-3的最小值为( )
A.-4 B.-3
C.-1 D.0
(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,则a的值为( )
【导学号:01772039】
A.2 B.-1或-3
C.2或-3 D.-1或2
(1)A (2)D [(1)xlog52≥-1⇒log52x≥log55-1⇒2x≥,
令t=2x,则有y=t2-2t-3=(t-1)2-4,
当t=1≥,即x=0时,f(x)取得最小值-4.故选A.
(2)函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:
①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,
∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.
②当0<a≤1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,a]上是增函数,在[a,1]上是减函数,
∴f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,
由a2-a+1=2,解得a=或a=.∵0<a≤1,∴两个值都不满足,舍去.
③当a>1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,
∴f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,∴a=2.
综上可知,a=-1或a=2.]
☞角度3 二次函数中的恒成立问题
已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈
[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.
[解] 由题意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,-3<0,适合;
当x≠0时,a<2-. 4分
因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
当x=1时,右边取最小值,所以a<. 10分
综上,实数a的取值范围是. 12分
[规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
2.由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max,a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
幂函数的图象与性质
(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )
A B C D
(2)已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则m的值为________.
(1)C (2)1 [(1)令f(x)=xα,则4α=2,∴α=,
∴f(x)=x.
(2)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.
又m∈N*,∴m=1或m=2.
由于f(x)的图象关于y轴对称.
∴m2-2m-3的值应为偶数,
又当m=2时,m2-2m-3为奇数,
∴m=2舍去.因此m=1.]
[规律方法] 1.幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断.
3.若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
[变式训练2] (1)设a=0.5,b=0.9,c=log50.3,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b B.c>a>b
C.a>b>c D.b>a>c
(2)若(a+1) <(3-2a) ,则实数a的取值范围是________.
(1)D (2) [(1)a=0.5=0.25,b=0.9,所以根据幂函数的性质知b>a>0,而c=log50.3<0,所以b>a>c.
(2)易知函数y=x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以解得-1≤a<.]
[思想与方法]
1.二次函数的三种形式的选法
(1)已知三个点的坐标时,宜用一般式.
(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点式.
(3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f(x)更方便.
2.研究二次函数的性质要注意
(1)结合图象分析;
(2)含参数的二次函数,要进行分类讨论.
3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法
在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
4.幂函数y=xα(α∈R)图象的特征
α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;
α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.
[易错与防范]
1.对于函数y=ax2+bx+c,若是二次函数,就隐含着a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要分a=0,a≠0两种情况讨论.
2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.