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- 2021-06-10 发布
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湖南省2020届高三六校联考试题
数学(理科)
考生注意:
1.本试卷分第Ι卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.时量120分钟,满分150分.
答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.作答选择题,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.作答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束时,监考员将题卷、答题卡一并收回.
第Ι卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数型函数的值域化简集合A,求解不等式化简集合B,按并集的定义即可求解.
【详解】,,
.
故选:C.
【点睛】本题考查集合间的运算,掌握指数函数性质是解题的关键,属于基础题.
2. 若复数满足(为虚数单位),则在复平面内复数对应的点在( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
【答案】D
【解析】
【分析】
- 26 -
根据复数乘法、除法的运算法则,求出,得到对应的点的坐标,即可得出结论.
【详解】,
复数在复平面内对应的点坐标为,在第一象限.
故选:D.
【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义,属于基础题.
3. 已知条件,条件直线与圆相切,则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出直线与圆相切时的值,再由充分必要条件的定义判定,即可得出结论.
【详解】设圆心到直线距离为,
由直线与圆相切,
则,解得,
成立则成立,成立不一定成立,
所以是的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系,属于基础题.
4. 若,,,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
- 26 -
根据已知可得分别为与三个函数交点的横坐标,做出函数图象,即可求解结论.
【详解】做出函数的图象,
根据图象可得,.
故选:B.
【点睛】本题考查方程的解与函数图象间的关系,熟练掌握基本初等函数性质是解题关键,属于基础题.
5. 《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是:“一位老公公有九个儿子,九个儿子从大到小排列,相邻两人的年龄差三岁,并且儿子们的年龄之和为207岁,请问大儿子多少岁,其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中,记这位公公的第个儿子的年龄为,则( )
A. 17 B. 29 C. 23 D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得等差数列,由,求出,再结合公差,即可得出结论.
【详解】依题意为等差数列,且,
- 26 -
,
.
故选:B.
【点睛】本题以数学文化为背景,考查等差数列的前项和以及通项的基本量运算,属于基础题.
6. 函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断函数奇偶性、走势,利用排除法快速得出答案.
【详解】由题意得,
即为偶函数,故排除A;
当,根据图像走势,排除B,D
故选:C
【点睛】解答此类问题可从函数奇偶性、特殊点的值、渐近线和走势等多方面入手,利用排除法快速得到答案.
- 26 -
7. 已知非等向量与满足,且,则为( )
A. 等腰非等边三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 三边均不相等的三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由的几何意义结合已知可得,即可得出结论.
【详解】不妨设,
即为角平分线所在直线上的向量,
又,,又,
所以为等腰非等边三角形.
故选:A.
【点睛】本题考查三角形形状的判断,掌握向量的几何意义是解题的关键,属于中档题
8. 在正方体内随机放入个点,恰有个点落入正方体的内切球内,则的近似值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据几何概型来计算的近似值,先求出两个图形的体积,求出点落在内切球的概率,根据比例得出的近似值.
【详解】设正方体的边长为,则其内切球的半径为,
正方体与其内切球的体积分别为,
恰有个点落入正方体的内切球概率为,
- 26 -
根据几何概型体积型概率得.
故选:C.
【点睛】本题考查模拟方法估计概率的应用问题,利用体积比表示概率,属于基础题.
9. 执行如图所示的程序框图,若输出的数,那么判断框内可以填写的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由程序框图,写出运行结果,根据程序输出结果是,可得判断框内应填入的条件.
【详解】初始,第一次运行不输出,
第二次运行不输出,
第三次运行不输出,
第四次运行不输出,
第五次运行不输出,
第六次运行,停止运行输出,
- 26 -
所以判断框要填.
故选:C.
【点睛】本题考查补全循环结构程序框图,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.
10. 已知函数,给出下列四个说法:①,②函数的一个周期为;③在区间上单调递减;④的图象关于点(,0)中心对称;其中正确说法的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式,结合特殊角的三角函数值、函数周期定义、正弦型三角函数的单调性、以及对称中心的定义,逐项判断.
【详解】所以①错;
,所以②对;
,
此时单调递减,所以③对;
,
,所以④错.
故选:D.
【点睛】本题考查三角函数的求值、周期、单调性和对称性的综合应用,熟练掌握三角函数的性质是解题的关键,属于中档题.
11. 定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有,若,则不等式的解集为( )
- 26 -
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
考虑用单调性解不等式,求结合已知,可得在上单调性,再由的奇偶性得到在的单调性,即可求解.
【详解】在上是奇函数,,
所以当时,恒有,
,
在单调递增,,
是偶函数,在单调递减,
等价于,
两边平方得解得或,
所以不等式的解集为.
故选:D.
【点睛】本题考查不等式的求解,利用函数导数、单调性、奇偶性是解题的关键,意在考查逻辑推理、数学计算,属于中档题.
12. 如图所示是一款热卖的小方凳,其正、侧视图如图所示,如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到,当正方形边长为时,则切面的面积为( )
- 26 -
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设直棱柱的底面为,切面为,由对称性得,连,可得, 根据面面平行的性质定理,可得截面为菱形,过点做于,可证,根据已知,可求出,进而求出即可.
【详解】设直棱柱的底面为,切面为,根据对称性,
,在直棱柱中,平面平面,
平面切面,
平面切面,,
同理,切面菱形,
连,则,
过点做于,则,,
,,
,
在中,,
,
,
所以切面面积为.
故选:A.
- 26 -
【点睛】本题考查实际应用问题,考查正四棱柱的结构特征以及切面的面积,利用线面关系确定切面的形状特征是解题的关键,意在考查直观想象、逻辑推理能力,属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 在的展开式中的系数为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出展开式中的常数项和项分别与中的相乘即可.
【详解】展开式通项
,所以常数项为,
含的项为,
所以的展开式中的系数为.
故答案为:
【点睛】本题考查二项展开式定理,掌握二项展开式通项是解题的关键,属于基础题.
14. 记为数列的前n项和,若,,则__________.
- 26 -
【答案】
【解析】
【分析】
根据递推公式,当求出,当,求出关系,即可求解.
【详解】,,
当时,,
当时,,两式相减得,
,又,
是为首项公比为等比数列,,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查数列的前项和与通项关系,还考查运算求解能力及化归与转化思想,属于基础题.
15. 若实数满足不等式,则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
做出满足条件的可行域,根据斜率的几何意义,利用图形转化为求可行域内的点与点连线斜率的最大值.
【详解】做出满足的可行域,如下图阴影部分,
几何意义为可行域内的点与点连线的斜率,
根据图形,当直线为时,斜率最大,
- 26 -
联立,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,运用斜率的几何意义求目标函数的最值,属于基础题.
16. 若点是曲线上的动点,点是曲线上的动点,点为坐标原点,则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
曲线圆心是抛物线焦点,半径为,所以,转化为求的最小值,设,利用焦半径公式和抛物线方程将表示为的函数,化简运用二次函数的最值,即可求解.
【详解】抛物线的焦点为,
曲线圆心,半径为,
- 26 -
三点共线时等号成立,设,
则
,令,则,
,
当,即时,取得最小值为,
所以时,取得最小值为.
故答案为:.
【点睛】与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线定义有关,利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可以使运算化繁为简,“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦半径有关问题的重要途径.属于中档题.
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题,共60分.
17. 在三角形中,内角的对边分别是,且.
(1)求角的大小;
(2)若时,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
- 26 -
(1)利用二倍角余弦公式和正弦定理将条件等式转化为角的关系,再由两角和差公式化简,求出,即可求解;
(2)由和正弦定理,将用角表示,再化为正弦型函数,结合角范围,即可得出结论.
【详解】(1)由,点,
由正弦定理得,
,
,
;
(2)由正弦定理得,
,
,
,
,
的取值范围是.
【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.
18. 如图,在三棱柱中,,,,为棱上的动点.
- 26 -
(1)若为的中点,求证:平面;
(2)若平面平面ABC,且是否存在点,使二面角的平面角的余弦值为?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)连交与,连,为中点,结合已知可得,即可证明结论;
(2)根据已知可得平面,以为坐标原点建立空间直角坐标系,由已知确定坐标,假设满足条件的点存在,设,求出平面的法向量坐标,取平面一个法向量为,按照空间向量的面面角公式,建立的方程,求解即可得出结论.
【详解】(1)连交与,连,
四边形为平行四边形,为中点,
又为的中点,平面,
平面,平面;
(2)平行四边形为菱形,,
又平面平面ABC,平面平面,
平面,
- 26 -
过点作的平行线,即两两互相垂直,
以为坐标原点,以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,
,
故
,
假设存在点,使二面角的平面角的余弦值为,
设,
,
平面一个法向量为,
设平面的法向量为,
,即,
令,则,
由,
整理得或,
解得舍去)或,
,
满足条件的点存在,且.
- 26 -
【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明直线与平面平行,以及空间向量二面角公式的应用,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.
19. 已知圆:,点,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹方程.
(2)设点,是的轨迹上异于顶点的任意两点,以为直径的圆过点.求证直线过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)直线过定点,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据已知可得,从而得点的轨迹为椭圆,即可求出方程;
(2)设直线方程为,与椭圆方程联立,得到两点横坐标的关系,再由已知可得,利用和两点横坐标的关系,整理出关系或求出为定值,即可求出结论.
【详解】(1)圆:,得圆心,半径,
的垂直平分线交线段于点,
,
点的轨迹为椭圆,且焦点在轴,,
- 26 -
,
点的轨迹方程为;
(2)依题意直线斜率存在,设其方程为,
联立,消去得,,
,
设,则,
以为直径的圆过点,,
,
,
整理得,此时恒成立,
所以直线过定点.
【点睛】本题考查定义法求椭圆轨迹方程、直线与椭圆的位置关系、证明直线过定点等知识,要掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.
20. 自从新型冠状病毒爆发以来,全国范围内采取了积极的措施进行防控,并及时通报各项数据以便公众了解情况,做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.
日期
23
24
25
26
27
28
29
30
31
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
9
新增确诊人数
15
19
26
31
43
78
56
55
57
- 26 -
经过医学研究,发现新型冠状病毒极易传染,一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期,这个期间如果不采取防护措施,则感染者与一位健康者接触时间超过15秒,就有可能传染病毒.
(1)将1月23日作为第1天,连续9天的时间作为变量x,每天新增确诊人数作为变量y,通过回归分析,得到模型用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理,得到下面的一些统计量的值(部分数据已作近似处理):,.根据相关数据,求该模型的回归方程(结果精确到0.1),并依据该模型预测第10天新增确诊人数.
(2)如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3,在一次12人的家庭聚餐中,只有一位感染者参加了聚餐,记余下的人员中被感染的人数为,求最有可能(即概率最大)的值是多少.
附:对于一组数据,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【答案】(1)回归方程为,估计第10天新增确诊人数为人;(2).
【解析】
【分析】
(1)由模型,根据提供公式,结合数据,,求出,利用在回归方程上求出,将
- 26 -
代入回归方程,即可估算结论;
(2)根据已知可得余下的人员中被感染的人数为,服从二项分布,
由,且,即可求出最有可能(即概率最大)的值.
【详解】(1),
,
回归方程为,
当时,,
估计第10天新增确诊人数为人;
(2)设余下11人中被感染的人数为,则,
,要使最大,
需,
即,
得,
所以最有可能(即概率最大)的值为.
【点睛】本题考查回归方程及其应用、二项分布的随机变量概率最大值,考查计算求解能力,属于中档题.
- 26 -
21. 已知函数.
(1)证明:当时,有最小值,无最大值;
(2)若在区间上方程恰有一个实数根,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)当,求,进而求出单调区间,极小值,即可证明结论;
(2)分离参数转化为,令,求与只有一个交点时,的范围,通过求导求出在单调区间,作出图象,数形结合即可求解.
【详解】(1)当时,,
当恒成立,
当,单调递增,,
所以存在的,使得,
在单调递减,在单调递增,
当时,取得极小值,也是最小值,
当时,,
所以有最小值,无最大值;
(2)方程恰有一实根,
恰有一实根,
- 26 -
与恰有一个公共点,
,
令或,
当时,,
当时,,
在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增,即极大值为,
极小值为,
做出在上的图象,如下图所示,
又与恰有一个公共点,
的取值范围是.
【点睛】本题考查函数导数综合应用,涉及到函数的单调性、极值最值、方程的根等知识,注意分离参数在解题中的应用,也考查数形结合思想以及直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.
- 26 -
(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 已知平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线的极方程为,若射线与曲线,分别交于异于原点的两点,且,求的值.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
【分析】
(1)消去方程中的参数化为普通方程,再由化为极坐标方程;
(2)将代入极坐标方程,由已知,利用,建立方程,求解即可.
【详解】(1)曲线的参数方程为(为参数,),
消去参数得曲线的普通方程为,
将代入得,
或,包含,
的极坐标方程为;
(2)射线与曲线,分别交于异于原点的两点,
设的极坐标方程为,
则,
- 26 -
依题意,
又,
或.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化,以及极坐标方程的求解,考查数学计算能力,属于中档题.
23. 若不等式的解集非空.
(1)求实数的取值范围;
(2)设的最大值为,若,且,求的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)只需,根据绝对值不等式性质求出,即可求解;
(2)由(1)得,将所求式子化为,利用基本不等式,即可求解.
【详解】(1)
不等式的解集非空,,
,
的取值范围是;
(2)由(1)得,又,
- 26 -
当且仅当时,等号成立,
的最小值为.
【点睛】本题考查运用绝对值三角不等式求最小值,以及利用基本不等式求最值,需要注意考虑最值等号成立的条件,考查计算求解能力,属于中档题.
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