数学理卷·2018届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三期中联考（2017 10页

宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期中联考 高三（理科）数学 命题人：胡华 审题人：刘世军 ‎（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．的值是（ ）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ ‎ . ． ． ．‎ ‎3.已知且，则的值为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎4.已知命题：，，命题：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数＝sin(ωx＋φ)+1(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有≤成立，则图象的一个对称中心的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．若等比数列的首项为，且，则公比等于(　　)‎ A．－3 B．2 C．3 D．－2‎ ‎7．函数（其中且）的 图象如图所示，为了得到的图象，‎ 只需把的图象上所有点( )‎ ‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎ ‎8、函数的零点包含于区间（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.若在上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.设，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D. ‎ ‎11.已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）‎ ‎13.已知，则 .‎ ‎14．若函数是奇函数，则a＝ ．‎ ‎15.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________‎ ‎16.已知数列与满足，若的前项和为且对一切恒成立，则实数的取值范围是 . ‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．）‎ ‎17．（本小题10分）已知命题：函数为定义在上的单调递减函数，实数m满足 不等式. 命题：当x∈时,方程有解.‎ 求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 在中，角所对的边为，且满足. ‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中第二小组频数为14．‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值及抽取的学生人数n；‎ ‎（2）现从跳绳次数在[179.5，199.5］内的学生中随机选取3人，记3人中跳绳次数在[189.5，199.5］内的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎20. (本小题满分12分) ‎ 已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：‎ ‎21．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，，，，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于.‎ ‎（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；‎ ‎（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为，求的值；‎ ‎（3）若时，有不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期中联考 高三（理科）数学参考答案 一、选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B C B C A C C B A D 二、填空题 ‎13、 14、3 15、 16、‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．）‎ ‎17．解：对于命题p:由函数f(x)为 上的单调递减函数得 解得 ………………………2分 对于命题q:当x∈时,sin x∈[0,1], ‎ m=cos2x-2sin x=-sin2x-2sin x+1=-(sin x+1)2+2∈[-2,1], ………………………6分 综上,要使“p且q”为真命题，只需p真q真，‎ 即解得实数m的取值范围是. ………………………10分 ‎18.（1）由已知 ‎ 得 ， 化简得 ‎ 故． ————————4分 ‎ ‎（2）因为，所以， ————————6分 ‎ 由正弦定理，得a=2sinA,c=2sinC， —————8分 ‎ ————————10分 因为，所以， ‎ 所以． ————————12分 ‎19．（Ⅰ）由直方图知，，‎ ‎，‎ 所以抽取的学生人数为(人）．————————4分 ‎（Ⅱ）跳绳次数在内的学生人数有(人），‎ 其中跳绳次数在内的学生人数有(人）．————————6分 由题意，X的取值可为．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎——————10分 随机变量X的数学期望为————————12分 ‎20. （1）时， ————————1分 时，，又，‎ 两式相减得 ‎，∴为是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ 即. ……………………6分 ‎（2）‎ ‎，‎ ‎——————10分 ‎ 又，‎ 综上成立. —————12分 ‎21．（1）证明：∵平面平面ABCD，‎ 平面平面，‎ ‎，，∴平面ABCD，‎ 又平面ABCD，．‎ 平面ABCD，为BE与平面ABCD所成的角，‎ 设，则，‎ 在中，，，‎ 在直角梯形ABCD中，，‎ 在中，，‎ ‎，，‎ 又，平面BDE，‎ 又，∴平面平面．————————6分 ‎（2）解：由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 取平面CDE的一个法向量，‎ 设平面BDF的一个法向量，‎ 则即 令，则，‎ 所以．‎ 设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为，‎ 则，‎ 所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是．————————12分 ‎22.（1）易知定义域为，，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数. ————————3分 ‎（2）∵，，，‎ ‎①若，则，从而在上是增函数，‎ ‎∴，不合题意.‎ ‎②若，则由，即，‎ 若，在上是增函数，由①知不合题意.‎ 由，即.‎ 从而在上是增函数，在为减函数，‎ ‎∴= - 3，‎ ‎∵，∴所求的. ————————8分 ‎（3）∵时，恒成立，‎ ‎∴，‎ 令，‎ ‎∴恒大于0，∴在为增函数，‎ ‎∴，∴. ————————12分