2018届二轮复习（文科）　导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题课件（全国通用） 45页

第 5 讲　导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题 高考定位　 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点 ( 方程的根 ) 、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题 . 1. (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ ln x － x ＋ 1. 2. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ (1 － x 2 )e x . (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 当 x ≥ 0 时， f ( x ) ≤ ax ＋ 1 ，求 a 的取值范围 . 考 点 整 合 1. 利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解 . 2. 三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x →∞ 时，函数值也趋向 ∞ ，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可 . 存在两个极值点 x 1 ， x 2 且 x 1 < x 2 的函数 f ( x ) ＝ ax 3 ＋ bx 2 ＋ cx ＋ d ( a ≠ 0) 的零点分布情况如下： a 的符号 零点个数 充要条件 a ＞ 0( f ( x 1 ) 为极大值， f ( x 2 ) 为极小值 ) 一个 f ( x 1 ) ＜ 0 或 f ( x 2 )>0 两个 f ( x 1 ) ＝ 0 或者 f ( x 2 ) ＝ 0 三个 f ( x 1 ) ＞ 0 且 f ( x 2 ) ＜ 0 a ＜ 0( f ( x 1 ) 为极小值， f ( x 2 ) 为极大值 ) 一个 f ( x 1 )>0 或 f ( x 2 ) ＜ 0 两个 f ( x 1 ) ＝ 0 或者 f ( x 2 ) ＝ 0 三个 f ( x 1 ) ＜ 0 且 f ( x 2 ) ＞ 0 3. 利用导数解决不等式问题 (1) 利用导数证明不等式 . 若证明 f ( x )< g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ，可以构造函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，如果能证明 F ( x ) 在 ( a ， b ) 上的最大值小于 0 ，即可证明 f ( x )< g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ). (2) 利用导数解决不等式的 “ 恒成立 ” 与 “ 存在性 ” 问题 . ① f ( x )> g ( x ) 对一切 x ∈ I 恒成立 ⇔ I 是 f ( x )> g ( x ) 的解集的子集 ⇔ [ f ( x ) － g ( x )] min >0( x ∈ I ). ② ∃ x ∈ I ，使 f ( x )> g ( x ) 成立 ⇔ I 与 f ( x )> g ( x ) 的解集的交集不是空集 ⇔ [ f ( x ) － g ( x )] max >0( x ∈ I ). ③ 对 ∀ x 1 ， x 2 ∈ I 使得 f ( x 1 ) ≤ g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) max ≤ g ( x ) min . ④ 对 ∀ x 1 ∈ I ， ∃ x 2 ∈ I 使得 f ( x 1 ) ≥ g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) min ≥ g ( x ) min . 温馨提醒 　 解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键 . 热点一　利用导数研究函数的零点 ( 方程的根 ) 【例 1 】 (2017· 淄博诊断 ) 已知 a ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ e x － ax (e ＝ 2.718 28 … 是自然对数的底数 ). 探究提高　 1. 三步求解函数零点 ( 方程根 ) 的个数问题 . 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与 x 轴 ( 或直线 y ＝ k ) 在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值 ( 最值 ) 、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解 . 2. 根据函数零点情况求参数范围： (1) 要注意端点的取舍； (2) 选择恰当的分类标准进行讨论 . 【训练 1 】 (2016· 北京卷节选 ) 设函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ c . (1) 求曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， f (0)) 处的切线方程； (2) 设 a ＝ b ＝ 4 ，若函数 f ( x ) 有三个不同零点，求 c 的取值范围 . 解　 (1) 由 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ c ， 得 f ′( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 ax ＋ b . ∵ f (0) ＝ c ， f ′(0) ＝ b ， ∴ 曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y ＝ bx ＋ c . 命题角度 2 　不等式恒成立问题 【例 2 － 2 】 (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ 1)ln x － a ( x － 1). (1) 当 a ＝ 4 时，求曲线 y ＝ f ( x ) 在 (1 ， f (1)) 处的切线方程； (2) 若当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， f ( x )>0 ，求 a 的取值范围 . 探究提高 　 1.(1) 涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题，在转化过程中，一定要注意等价性 . (2) 对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化 . 2. “ 恒成立 ” 与 “ 存在性 ” 问题的求解是 “ 互补 ” 关系，即 f ( x ) ≥ g ( a ) 对于 x ∈ D 恒成立，应求 f ( x ) 的最小值；若存在 x ∈ D ，使得 f ( x ) ≥ g ( a ) 成立，应求 f ( x ) 的最大值 . 应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍 . 【训练 2 】 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ ax 2 ＋ (2 a ＋ 1) x . 由上表可得， x ＝ 4 时，函数 f ( x ) 取得极大值，也是最大值， 所以，当 x ＝ 4 时，函数 f ( x ) 取得最大值，且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元 / 千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 . x (3 ， 4) 4 (4 ， 6) f ′( x ) ＋ 0 － f ( x ) 单调递增 极大值 42 单调递减 探究提高　 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1) 建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f ( x ). (2) 求导：求函数的导数 f ′( x ) ，解方程 f ′( x ) ＝ 0. (3) 求最值：比较函数在区间端点和使 f ′( x ) ＝ 0 的点的函数值的大小，最大 ( 小 ) 者为最大 ( 小 ) 值 . (4) 结论：回归实际问题作答 . 令 h ′( x ) ＝ 0 得 x ＝ 80 ， 当 x ∈ (0 ， 80) 时， h ′( x )<0 ， h ( x ) 是减函数； 当 x ∈ (80 ， 120] 时， h ′( x )>0 ， h ( x ) 是增函数， 当 x ＝ 80 时， h ( x ) 取到极小值 h (80) ＝ 11.25 ， 因为 h ( x ) 在 (0 ， 120] 上只有一个极值，所以它是最小值 . 故当汽车以 80 千米 / 时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升 . 1. 重视转化思想在研究函数零点中的应用，如方程的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点，充分利用函数的图象与性质，借助导数求解 . 2. 对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与 x 轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件 . 3. 利用导数方法证明不等式 f ( x )> g ( x ) 在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数 h ( x )>0. 其中找到函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点是解题的突破口 . 4. 不等式恒成立、能成立问题常用解法 (1) 分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如 a ＞ f ( x ) max 或 a ＜ f ( x ) min . (2) 直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论 . (3) 数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视函数性质的灵活应用 .