2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数所对应的点在复平面的（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】复数所对应的点 在复平面的第二象限.‎ ‎2．已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】点为抛物线上一点， ，解得 ， ∴抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ， ∴点 到抛物线的准线的距离为 故选C ‎3．若函数有极大值和极小值，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的导数，问题转化为f′（x）＝0有两个不相等的实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ f′（x）＝3x2+2x+a+6，‎ 若f（x）有极大值和极小值，‎ 则f′（x）＝0有2个不相等的实数根，‎ 故△＝4﹣12（a+6）＞0，解得：a，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道基础题．‎ ‎4．下列说法错误的是（ ）‎ A．命题“”，则：“”‎ B．命题“若,则”的否命题是真命题 C．若为假命题，则为假命题 D．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件 ‎【答案】C ‎【解析】利用命题的否定形式判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；充要条件判断D的正误.‎ ‎【详解】‎ 命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”满足命题的否定形式，所以A正确；‎ 命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆命题是x＝3，则x2﹣4x+3＝0，逆命题为真命题，而逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，所以B正确；‎ 若p∧q为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是p∨q为假命题，所以C不正确；‎ 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四中命题的逆否关系的应用，涉及充要条件以及四种命题的逆否关系，复合命题的真假的判断．是基本知识的考查．‎ ‎5．下列推理不属于合情推理的是（ ）‎ A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电 C．两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则 D．在数列中，，，猜想的通项公式 ‎【答案】C ‎【解析】由合情推理及演绎推理的特征，逐一检验即可．‎ ‎【详解】‎ 解：对于A选项：由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理，‎ 对于B选项：由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电是归纳推理，‎ 对于C选项：两条直线平行，同位角相等，若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A＝∠B是演绎推理，‎ 对于D选项：在数列中，a1＝2，，猜想{an}的通项公式是归纳推理，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的合情推理及演绎推理，属简单题．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线方程为， ， 分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．‎ ‎【详解】‎ 解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得，∴a＝3．‎ 由双曲线的定义可得|PF2|﹣2＝6，∴|PF2|＝8，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键．‎ ‎7．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2，由此能求出△PF1F2的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：∵椭圆1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，‎ ‎∴F1（，0），F2（，0），‎ ‎|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2，则△PF1F2是直角三角形，‎ ‎∴△PF1F2的面积为S2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．‎ ‎8．已知函数，其导函数的图像如图所示，则（ ）‎ A．在上为减函数 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在处取极大值 ‎【答案】C ‎【解析】：由导函数的图像可知：时，，时，，因此在为增函数，在为减函数，所以x=0取得极大值，x=2取得极小值，x=4取得极大值，因此选C。‎ ‎9．执行下图所示的程序框图,如果输入的,则输出的等于（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因当；当,当,此时输出,应选C.‎ ‎【考点】算法流程图的识读和理解.‎ ‎【易错点晴】算法是高中数学新增内容中重要知识点之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.这类题型的求解关键要读懂算法流程图中提供的有效信息,这是非常重要的一个环节.因为只有读懂和理解算法流程图中的操作程序才能解决问题中所提供的问题.本题在求解时,充分运用题设中算法流程图中的信息,搞明白和的含义,抓住的计算方式,进而求得,从而使本题获解.‎ ‎10．在中， ，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设另一焦点为D，则可再Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知AC+AB+BC＝4a求得a．再利用AC+AD＝2a求得AD最后在Rt△ACD中根据勾股定理求得CD，得到椭圆半焦距，进一步求得离心率．‎ ‎【详解】‎ 设另一焦点为D，‎ ‎∵Rt△ABC中，AB＝AC＝1，‎ ‎∴BC，‎ ‎∵AC+AD＝2a，‎ ‎∴AC+AB+BC＝1+14a，‎ ‎∴a，‎ 又∵AC＝1，∴AD．‎ 在Rt△ACD中焦距CD，‎ 则c，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用．要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系是关键，是中档题．‎ ‎11．已知点A，抛物线C： ‎ 的焦点F。射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、直线与抛物线相交的基础知识，考查几何能力.‎ ‎12．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，得到方程a﹣x2＝﹣2lnx⇔﹣a＝2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）＝2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 由已知，得到方程a﹣x2＝﹣2lnx⇔﹣a＝2lnx﹣x2在上有解．‎ 设f（x）＝2lnx﹣x2，求导得：f′（x）2x，‎ ‎∵x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，‎ ‎∵f（）＝﹣2，f（e）＝2﹣e2，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1，且知f（e）＜f（），‎ 故方程﹣a＝2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．‎ 从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2＝﹣2lnx⇔﹣a＝2lnx﹣x2在上有解．‎ 二、填空题 ‎13．已知数列为等差数列，则有 类似上三行,第四行的结论为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察前三个式子，可知三个式子的项数分别是，所以第四个式子有项，前三个式子奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式，所以第四项的结论：，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题通过观察几组多项式式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为：‎ 根据题意：，所以 所以，‎ 所以答案应填：.‎ ‎【考点】双曲线的标准方程与简单几何性质 ‎15．已知函数f（x）＝x2，，若函数在上是单调递增的，则实数的取值范围为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）在x∈[2，+∞）单调递增，得出f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝x2在x∈[2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f′（x）＝2x0在x∈[2，+∞）上恒成立；‎ ‎∴2x3﹣a≥0，‎ ‎∴a≤2x3在x∈[2，+∞）上恒成立，‎ ‎∴a≤2×23＝16‎ ‎∴实数a的取值范围为a≤16．‎ 故答案为：（﹣∞，16]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查不等式恒成立问题，是基础题目．‎ ‎16．设函数是奇函数的导函数， ，当时， ，则使不等式成立的的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：当时，令，又 ‎，所以当时，由，满足；因为为偶函数，因此当时，由，满足；从而使得成立的的取值范围是 ‎【考点】利用导数研究函数性质，利用导数解不等式 三、解答题 ‎17．已知，，其中.‎ ‎（1）若，且为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）为真时的条件,当且仅当与都为真时才为真；（2）判断充分不必要条件时,如果无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系,得出答案．‎ 试题解析：解：（1）由，解得，所以 又，因为，解得，所以．‎ 当时，，又为真，都为真，所以．‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，‎ 由（1），，所以，即．‎ ‎【考点】1．一元二次不等式．2．命题及其关系．3．充分必要条件．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．‎ ‎18．设函数，若在处有极值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）若对任意的，都有，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) 或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先对函数求导，因为在处有极值，所以，即可求出的值；（2）根据（1）可知，令，解得，然后判断极值点左右两边的符号，进而求出的极值；（3）对任意的，都有，则，利用导数求出函数的最大值，求出的取值范围。‎ 试题解析：(1) ，由已知得，解得.‎ ‎(2) 由（1）得， 则，令，解得，当，当，当，所以在处取得极大值，极大值，在处取得极小值，极小值. ‎ ‎(3)由（2）可知极大值，极小值，又，所以函数在上的最大值为，对任意的，都有，则，解得或.‎ 点睛：恒成立和存在问题相关结论：（1）对于,都有函数恒成立，则在区间上函数的最大值小于等于，即；（2）对于,都有函数恒成立，则在区间上函数的最小值大于等于，即；（3）对于,有函数成立，则在区间上函数的最小值小于等于，即；（4）对于,有函数成立，则在区间上函数的最大值大于等于，即.‎ ‎19．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的距离为．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设直线与抛物线的另一交点为，求的值 ‎【答案】（1） (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意，解得即可求出p的值，写出抛物线的方程即可；‎ ‎（2）先求出直线MF的方程为4x+3y﹣4＝0，联立方程得方程组，求出x，y的值，由由焦半径公式|MF|，|NF|＝5，问题得以解决．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意 ，消去得，‎ 因为，解得，所以，‎ 所以抛物线标准方程为.‎ ‎（2）因为，,所以,‎ 直线的方程为，‎ 联立方程得方程组，消去得，‎ 解得或，‎ 将代入，解得，‎ 由焦半径公式,又 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，方程组的解法，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎20．若函数，当时，函数有极值.‎ ‎（1）求函数的解析式及函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据f（2），f′（2）＝0列方程解出a，b得出f（x）的解析式，利用导数的几何意义求出切线方程；‎ ‎（2）求出f（x）的极大值和极小值，则k介于f（x）的极大值与极小值之间．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,由题意得，‎ 解得 故所求函数的解析式为. ‎ ‎， ，‎ 在点处的切线方程为： ，‎ 即. ‎ ‎（2）由(1)可得，‎ 令，得或.‎ 当变化时， ， 的变化情况如下表：‎ 因此，当时， 有极大值，当时， 有极小值，‎ 所以函数的图象大致如图所示．‎ 若有个不同的根，‎ 则直线与函数的图象有个交点 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性，极值的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题．‎ ‎21．已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ，或 ‎【解析】（1）由椭圆的性质可知：，解得a和c的值，即可求得椭圆C 的标准方程；‎ ‎（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得：，，λ，根据向量的坐标坐标，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由已知，解得，‎ 所以 ，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由已知,设，‎ 联立方程组，消得，‎ 由韦达定理得 ①② ‎ 因为，所以，‎ 所以③，将③代入①②‎ ‎，，‎ 消去得，‎ 所以. ‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 解得，所以，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的坐标表示，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若有两个零点，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为；极小值，无极大值.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进而求得函数的极值； （2）求出函数的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调性，求出实数的范围.‎ 试题解析：（1）根据，‎ 令，解得，当变化时，，的变化情况如下表：‎ 递减 递增 ‎∴函数的增区间为，减区间为；‎ 函数在处取的极小值，无极大值.‎ ‎（2）由，则，‎ 当时，，易知函数只有一个零点，不符合题意，‎ 当时，在上，单调递减；在上，单调递增，又，，当时，，所以函数有两个零点，‎ 当时，在和上，单调递增，在上，单调递减.又 ，所以函数至多一个零点，不符合题意，‎ 当时，在和上，单调递增，在上，单调递减.‎ 又，所以函数至多一个零点，不符合题意，‎ 当时，，函数在上单调递增，所以函数至多一个零点，不符合题意，‎ 综上，实数的取值范围是.‎