数学卷·2018届江苏省南通中学高二上学期期末考试（2017-01） 7页

江苏省南通中学2016～2017学年度第一学期期末考试 高二数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位 置上.‎ ‎1． 若直线经过、两点, 则直线的倾斜角为　▲　．‎ 答案：‎ ‎2． 已知平面平面，若直线平面，则直线与平面的位置关系为　▲　． ‎ 答案：垂直 ‎ ‎3． 函数，则　▲　．‎ 答案：‎ ‎4． 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为　▲　．‎ 答案：x2＋(y－2)2＝1‎ ‎5． 准线方程为的抛物线的标准方程是　▲　．‎ 答案：‎ ‎6． 棱长为的正方体的外接球表面积为　▲　．‎ 答案: ‎ ‎7． 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎　▲　．‎ 答案:‎ ‎8． 已知函数，若函数在点处切线与直线平行，‎ 则　▲　．‎ 答案：‎ ‎9． 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程 为　▲　．‎ 答案：‎ ‎10．若椭圆和圆（其中为椭圆的半焦距）， 有四个不同的交点，则该椭圆离心率的取值范围为　▲　．‎ 答案：‎ ‎11．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为　▲　．‎ 答案：‎ ‎12．若直线平分圆：的周长,则的取值范围是　▲　．‎ 答案：‎ ‎13．定义在上的单调函数，对任意，成立，若方程的解在区间内，则　▲　．‎ 答案：‎ ‎14．过点的动直线与抛物线交于，两点，在，两点处的切线分别为、‎ ‎，若和交于点，则圆上的点与动点距离的最小值为　▲　．‎ 答案：‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）若函数在区间上的最大值为，求的值．‎ 解：（1）因为，所以，‎ 令，即，解得， ‎ 所以函数的单调减区间为. ‎ ‎（2）由函数在区间内的列表可知：‎ x ‎－4‎ ‎－1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ 函数在和上分别是减函数，在上是增函数. ‎ 又因为，所以，‎ 所以是在上的最大值， 所以，即．‎ ‎16．如图，在三棱锥中，，平面，，分别为，的 中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎17．已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点 作圆的切线、，切点为、． ‎ ‎（1）若点的坐标为，求；‎ ‎（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直 线的方程；‎ ‎（3）经过、、三点的圆是否经过异于点的定点，若经过，请求出此定点的坐 标；若不经过，请说明理由．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 解：（1）因为点坐标为 ，所以，‎ 又因为，所以，故． ‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，不合题意；‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为 因为，所以圆心到直线的距离为，‎ 由，解得或，‎ 故直线的方程为或．‎ ‎（3）设，的中点，‎ 因为为圆的切线，‎ 所以经过、、三点的圆是以为圆心，为半径的圆，‎ 故其方程为 化简得 由，解得或 所以经过、、三点的圆经过异于点的定点．‎ ‎18．请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆 ‎ 柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价 分别为4百元/，1百元/，设圆锥母线与底面所成角为，且．‎ ‎（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出关于的函数关系式；‎ ‎（2）问为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．‎ 解：（1），； ‎ ‎ （2）由得，，‎ ‎ （第18题）‎ 所以，列表：‎ ‎0‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m． ‎ ‎19.已知椭圆的离心率为，一条准线方程为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于,两点.‎ ‎①若，当面积最大时，求直线的方程；‎ ‎②当时，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.‎ 解：（1）.‎ ‎（2）由 得 ‎，整理得（*）‎ 设，，则，（**）‎ ‎①当时，代入（*）和（**）式得：，，.‎ 所以，‎ 又到直线的距离，‎ 所以.‎ 令，则，则 当且仅当，即时等号成立，且 因此面积最大时，直线的方程为：.‎ ‎②由已知，，且椭圆右顶点为 所以 即【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 整理得：‎ 解得或，均满足（*）式，‎ 所以当时，直线的方程为，过定点与题意矛盾；‎ 当时，直线的方程为，过定点，得证.‎ ‎20. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（1）求的值及的极值；‎ ‎（2）是否存在区间，使函数在此区间上存在极值和零点？若存在，‎ 求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值.‎ 解：（1）由，得．‎ 因为在点处的切线与直线垂直，‎ 所以，解得，‎ 所以，令，得．‎ 因为当时，，当时，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 故在处取得极大值1，无极小值；‎ ‎（2）因为在上单调递减，且 又由（1）知在上单调递增，且，‎ 所以由零点存在原理得在区间存在唯一零点，函数的图象如图所示：‎ 因为函数在区间上存在极值和零点，‎ 所以由，解得．‎ 所以存在符合条件的区间，实数t的取值范围为；‎ ‎（3）当时，不等式可变形为 设，，则 设，，则 因为时，，所以在上单调递增，‎ 又因为，‎ 所以存在唯一的，使得，即，‎ 当时，，即，当时，，即，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，‎ 因为，且，所以整数的最大值为.‎