2017-2018学年宁夏银川一中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版） 24页

‎2017-2018学年宁夏银川一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）下列四个命题中，其中为真命题的是（　　）‎ A．∀x∈R，x2+3＜0 B．∀x∈N，x2≥1 C．∃x∈Z，使x5＜1 D．∃x∈Q，x2=3‎ ‎2．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为（　　）‎ A．y=﹣ B．y= C．y= D．y=﹣‎ ‎3．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎4．（5分）若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．5‎ ‎6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：‎ ‎①（﹣）﹣；‎ ‎②（）﹣；‎ ‎③（）﹣2；‎ ‎④（+）+．‎ 其中能够化简为向量的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎7．（5分）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；‎ ‎②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；‎ ‎③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ‎ ‎④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；‎ 关于上述样本的下列结论中，正确的是（　　）‎ A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样 ‎8．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（　　）‎ A．me=mo= B．me=mo＜ C．me＜mo＜ D．mo＜me＜‎ ‎9．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）‎ ‎10．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B．+ C．7+ D．6‎ ‎12．（5分）点P是椭圆上任意一动点，F1、F2分别为左、右焦点，过F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）抛物线y2=4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是　 　．‎ ‎14．（5分）如图给出的是计算+++…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是　 　‎ ‎15．（5分）设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　 　．‎ ‎16．（5分）等腰直角△AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则 的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，求线段AC1的长．‎ ‎18．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中x的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数．‎ ‎19．（12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．‎ ‎（1）求双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围．‎ ‎20．（12分）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点 ‎（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；‎ ‎（2）在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率．‎ ‎21．（12分）曲线C上任意一动点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=﹣1的距离．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）是否存在正数a，对于过点M（a，0）且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程 ‎（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年宁夏银川一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）下列四个命题中，其中为真命题的是（　　）‎ A．∀x∈R，x2+3＜0 B．∀x∈N，x2≥1 C．∃x∈Z，使x5＜1 D．∃x∈Q，x2=3‎ ‎【分析】借助x2≥0这个结论判断A和B，再由数学常识判断C和D．‎ ‎【解答】解：由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2+3≥3，所以命题“∀x∈R，x2+3＜0”为假命题；‎ 由于0∈N，当x=0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；‎ 由于﹣1∈Z，当x=﹣1时，x5＜1，所以命题“∃x∈Z，使x5＜1”为真命题；‎ 由于使x2=3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2=3”为假命题，故选C．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查四种命题真假的判断，解题时要合理运用x2≥0这个结论．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为（　　）‎ A．y=﹣ B．y= C．y= D．y=﹣‎ ‎【分析】先将抛物线化简为标准形式，进而可确定p的值，即可得到准线方程．‎ ‎【解答】解：由x2=y，∴p=．准线方程为y=﹣．‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+‎ ‎=1的右焦点重合，则P的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．‎ ‎【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，‎ ‎∴到椭圆的右焦点为（2，0），‎ ‎∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），‎ ‎∴p=4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k﹣3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件．‎ ‎【解答】解：依题意：“方程﹣=1表示双曲线”‎ 可知（k﹣3）（k+3）＞0，求得k＞3或k＜﹣3，‎ 则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【分析】由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．‎ ‎【解答】解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，‎ 故满足条件的点在双曲线右支上，‎ 则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：‎ ‎①（﹣）﹣；‎ ‎②（）﹣；‎ ‎③（）﹣2；‎ ‎④（+）+．‎ 其中能够化简为向量的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【分析】由空间向量的加法和减法法则分别求下列各式的结果，再判断是否符合题意．‎ ‎【解答】解：①；‎ ‎②（）﹣=+=；‎ ‎③；‎ ‎④，‎ 综上①②符合题意．‎ 故选A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了空间向量的加法和减法的混合运算及加法和减法法则的运用能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；‎ ‎②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；‎ ‎③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ‎ ‎④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；‎ 关于上述样本的下列结论中，正确的是（　　）‎ A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样 ‎【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来，①，③可能是系统抽样或分层抽样，②是简单随机抽样，④一定不是系统抽样和分层抽样．‎ ‎【解答】解：观察所给的四组数据，‎ ‎①，③可能是系统抽样或分层抽样，‎ ‎②是简单随机抽样，‎ ‎④一定不是系统抽样和分层抽样，‎ 故选D．‎ ‎【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（　　）‎ A．me=mo= B．me=mo＜ C．me＜mo＜ D．mo＜me＜‎ ‎【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．‎ ‎【解答】解：由图知m0=5，‎ 有中位数的定义应该是第15个数与第16个数的平均值，‎ 由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，‎ 所以 ‎＞5.9‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查利用众数、中位数、平均值的定义求出一组数据的众数、中位数、平均值；注意：若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）‎ ‎【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，‎ 若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，‎ 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，‎ ‎∴≥，离心率e2=，‎ ‎∴e≥2，故选C ‎【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ ‎∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，‎ M是线段AB的中点，‎ ‎∴两式相减可得，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴c==b，‎ ‎∴e==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查椭圆C的离心率的求法，考查学生的计算能力，正确运用点差法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B．+ C．7+ D．6‎ ‎【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．‎ ‎【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则 ‎∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，‎ ‎∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，‎ ‎∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）点P是椭圆上任意一动点，F1、F2分别为左、右焦点，过F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【分析】如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2QP=∠MPQ．可得MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．连接OQ，利用三角形中位线定理、椭圆与圆的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，设F2Q交F1P于点M，‎ 由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2QP=∠MPQ．‎ ‎∴MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．‎ 连接OQ，则OQ为△F1F2M的中位线，∴．‎ ‎∵MF1=F1P+F2P=2a．‎ ‎∴OQ=a．‎ ‎∴Q点的轨迹是以点O为圆心，a为半径的圆．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、三角形中位线定理、椭圆与圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）抛物线y2=4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是　5　．‎ ‎【分析】根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，‎ ‎∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于6，‎ ‎∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为5．‎ 故答案为：5；‎ ‎【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离，要求该点的横坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）如图给出的是计算+++…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是　“i≥11”或“i＞10”　‎ ‎【分析】由本程序的功能是计算+++…+的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i≥11应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．‎ ‎【解答】解：∵S=+++…+‎ 并由流程图中S=S+‎ 故循环的初值为1‎ 终值为10、步长为1‎ 故经过10次循环才能算出S=+++…+的值，‎ 故i≤10，应不满足条件，继续循环 ‎∴当i≥11，应满足条件，退出循环 填入“i≥11”或“i＞10”．‎ 故答案为：“i≥11”或“i＞10”．‎ ‎【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出规律，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设双曲线﹣‎ ‎=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：a2=9，b2=16，故c=5，‎ ‎∴A（3，0），F（5，0），‎ 不妨设BF的方程为y=（x﹣5），‎ 代入双曲线方程解得：B（，﹣）．‎ ‎∴S△AFB=|AF|•|yB|=•2•=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意关键在与求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）等腰直角△AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为　　．‎ ‎【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M ‎ 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为 ==，换元，利用基本不等式求得最大值．‎ ‎【解答】解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2．‎ 由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，‎ ‎∴x12﹣x22+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，‎ ‎∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，‎ ‎∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．‎ ‎∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，‎ 与抛物线联立，解得或，‎ 故AB=4p，‎ ‎∴S△OAB=×2p×4p=4p2．‎ ‎∵△AOB的面积为16，∴p=2；‎ 焦点F（1，0），设M（m，n），则n2=4m，m＞0，设M 到准线x=﹣1的距离等于d，‎ 则==，‎ 令 m+1=t，t＞1，则=≤（当且仅当 t=3时，等号成立）．‎ 故则的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，求线段AC1的长．‎ ‎【分析】由题设知=++，利用向量的平方以及数量积化简求解，由此能求出线段AC1的长度．‎ ‎【解答】解：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，‎ ‎=1，=2，=3，则=++，‎ ‎2=+2+2+2•+2•+2•‎ ‎=1+4+9+2×1×2×cos60°+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°‎ ‎=25，因此||=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题以平行六面体为载体考查向量在几何中的应用，解题时要认真审题，关键是利用条件向量、、两两的夹角均为60°，进行合理转化．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中x的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数．‎ ‎【分析】（1）由频率和为1，列出方程求出x的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图计算众数和中位数的数值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由直方图的性质可得 ‎（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，‎ 解得x=0.0075；‎ ‎（2）月平均用电量的众数是=230，‎ ‎∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，‎ 月平均用电量的中位数在[220，240）内，‎ 设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5，‎ 可得a=224，‎ ‎∴月平均用电量的中位数为224．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．‎ ‎（1）求双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出双曲线的几何量，然后求解双曲线方程．‎ ‎（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），将y=kx+代入﹣y2=1，利用韦达定理以及判别式列出不等式组，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设双曲线方程为：=1（a＞0，b＞0）．‎ 由已知得：a=，c=2，再由a2+b2=c2，∴b2=1，‎ ‎∴双曲线方程为：﹣y2=1．‎ ‎（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），将y=kx+代入﹣y2=1，‎ 得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0．由题意知：，‎ 解得＜k＜1．‎ ‎∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点 ‎（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；‎ ‎（2）在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率．‎ ‎【分析】（1）这是一个古典概型问题，我们可以列出从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，可能组成的所有三角形的个数，然后列出其中是直角三角形的个数，代入古典概型公式即可求出答案．‎ ‎（2）这是一个几何概型问题，我们可以求出所有事件对应平面区域的面积，再求出满足条件平面区域面积，代入几何概型公式即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP3个，‎ 所以这3个点组成直角三角形的概率P=．‎ ‎（2）连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，‎ 易求得OD=2，‎ 当S点在线段MP上时，S△ABS=×2×8=8，‎ 所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8，而 S阴影=S扇形OMP﹣S△OMP=××42﹣×42=4π﹣8，‎ 所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=．‎ ‎【点评】本题考查的是几何概型和古典概型，掌握几何概型和古典概型的计算步骤和计算公式是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）曲线C上任意一动点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=﹣1的距离．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）是否存在正数a，对于过点M（a，0）且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用抛物线的定义转化求解抛物线方程即可．‎ ‎（2）设过点M（a，0）（a＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+a，由，得y2﹣4ty﹣4a=0利用判别式以及韦达定理，结合向量的数量积，转化求解a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由曲线C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=﹣1的距离，‎ 由抛物线的定义可得：y2=4x．‎ ‎（2）设过点M（a，0）（a＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 设l的方程为x=ty+a，由，得y2﹣4ty﹣4a=0，△=16（t2+a）＞0‎ 于是…①‎ 又．…②‎ 又，于是不等式②等价于…..③‎ 由①式，不等式③等价于a2﹣6a+1＜4t2…④‎ 对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于a2﹣6a+1＜0，．‎ 由此可知，存在正数a，对于过点M（a，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且a的取值范围是．‎ ‎【点评】‎ 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆锥曲线的范围问题的解决方法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程 ‎（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为2c．由题意可得，解出即可得到椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用即可得到m，n，t的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点P的坐标代入椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．‎ 则，解得，∴椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，‎ 则△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=4（2m2+4﹣2n2）＞0，（*）‎ ‎，，‎ ‎∴|AB|=‎ ‎==．‎ 原点O到直线AB的距离d=，‎ ‎∵，‎ ‎∴=，化为．（**）‎ 另一方面，=，‎ ‎∴xE=myE+n==，即E．‎ ‎∵，∴．‎ 代入椭圆方程得，‎ 化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4﹣16t2+16=0，解得．‎ ‎∵t＞0，∴．经验证满足（*）．‎ 当AB∥x轴时，设A（u，v），B（﹣u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．‎ 则，，解得，或．‎ 又，∴，‎ ‎∴．‎ 综上可得：．‎ ‎【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、向量共线等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的能力及化归思想方法．‎ ‎　‎